
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1、練習(xí)1、 利用數(shù)列極限的定義證明.(1)證明:(2)證明:(3)證明:(4)證明:(5)證明:(6)證明:(7)證明:(8)證明:(9)證明:(10)證明:(11)證明:(12)證明:(13)證明: 當(dāng)時(shí),存在,對(duì)時(shí),有(14)證明:(15)證明: 由 故對(duì)上述,取,有.(16)證明:(17)證明:(18)證明:(19)證明:設(shè),則,所以. 因此有, 有(20)證明:,有2證明下列數(shù)列是收斂的。(1)證明:遞增,又因?yàn)楣蕟握{(diào)有界,收斂.(2)證明:,所以所以有下界,收斂.(3)證明:遞增,又因?yàn)楣适菃握{(diào)有界的,收斂.(4)證明:遞增,又因?yàn)楣适菃握{(diào)有界的,收斂. (5)證明:,又故是單調(diào)有界的
2、,收斂. (6)證明:遞增,又因?yàn)橛傻?,故單調(diào)有界,收斂. (7)證明:,所以,減少,又,有下界,收斂.(8)證明:,遞減,又因?yàn)楣蕟握{(diào)有界,收斂.(9)證明:,有(10)證明:由,所以.3證明數(shù)0和1不是下列數(shù)列的極限。(1)證明:(2)證明: (3)證明: 4證明下列數(shù)列沒(méi)有極限.(1)證明:,故存在不收斂于同一數(shù)的兩子列,所以數(shù)列沒(méi)有極限.(2)證明:,故存在不收斂于同一數(shù)的兩子列,所以數(shù)列沒(méi)有極限.(3)證明:,故存在不收斂于同一數(shù)的兩子列,所以數(shù)列沒(méi)有極限.(4)證明:,故存在不收斂于同一數(shù)的兩子列,所以數(shù)列沒(méi)有極限.(5)證明:(6)證明:,故存在不收斂于同一數(shù)的兩子列,所以數(shù)列
3、沒(méi)有極限.(7)證明:(8)證明: (9)證明:存在 對(duì)任意,存在正整數(shù), ,有(10)證明:5已知,求(1)解:(2)解:(3)解:(4)解:(5)解:(6)解:(7)解:(8)解:6、已知,試證明下列等式成立.(1) 證明:由(2) 證明:當(dāng)時(shí),使得,有;若,由,于是 (3)證明: 則 , 可得,故,有,則(4)證明:,則(5)證明:(6)證明:7、求下列極限.(1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)(13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (2
4、6) (27) (28)解:(1),(2)0,(3)0,(4),(5),(6),(7)0,(8)1,(9),(10)1,(11),(12),(13)1,(14)-1,(15),(16)(17)0,(18),(19),(20)-1,(21)1,(22)0,(23)0,(24)5,(25),(26),(27),(28)0.(18) (19)8、證明:(1) 證明:令, 得,取,則 有,即當(dāng)時(shí),遞減,又因?yàn)?,有下界,故存在極限,記為,對(duì)兩端取極限,得.(2)證明:當(dāng)時(shí),記,由貝努利不等式得 所以,即,有.當(dāng), 則,綜上,.(3) 證明:,所以遞減,又因?yàn)椋邢陆?,故存在極限,記為,對(duì)兩端取極限,得.
5、(4) 證明:證明: 設(shè),有,則(5) 證明:令,得,取,則 有,即當(dāng)時(shí),遞減,又因?yàn)?,有下界,故存在極限,記為,對(duì)兩端取極限,得.(6)證明:當(dāng)時(shí),由,知9、求極限.(1) 解:原式=(2) 解:原式=(3) 解:原式= (4)解:原式=(5) 解:原式=所以 (6) 解:原式=(7) 解:原式=(8) 解:原式=(9) 解:原式=(10)解:原式(11) 解:原式=(12) 解:原式=(13) 解:原式=3(14) 解:原式=(15) 解:原式=(16)解:由 所以 .10、求極限.(1) 解:原式=(2)解:原式=(3) 解:原式=(4) 解:原式=(5) 解:原式=(6) 解:原式 由
6、1.1練習(xí)題32(4)(7) 解:(8) 解: (9) 解:原式=(10) 解:原式=(11)解:原式=(12)解:原式=(13)解:11、證明下列數(shù)列有極限并求極限.(1)證明:.因?yàn)?,則所以,遞增數(shù)列. 極限存在,設(shè)為,對(duì)兩端取極限,有,得.(2)證明:因?yàn)?,所以,故. 又,所以遞減數(shù)列, 極限存在,設(shè)為,對(duì)兩端取極限,有,得.(3)證明:,由遞推關(guān)系可知. 因?yàn)?,設(shè),那么, 遞增數(shù)列. ,設(shè),則,即. 極限存在,設(shè)為,對(duì)兩端取極限,有,得.(4)證明:,由遞推關(guān)系可知. 又又因?yàn)?,所以為遞減數(shù)列,極限存在,設(shè)為,對(duì)兩端取極限,有,得.(5)證明:,顯然 . , 設(shè),所以,即當(dāng)時(shí),遞減,故極限存在,設(shè)為,有,得.12、設(shè)與是任意正數(shù)且. 證明:數(shù)列收斂于. 并利用這一結(jié)論求下列各數(shù)的近似值.(1) 精確到(2) 精確到(3) 精確到證明:顯然,又因?yàn)椋? 又,有,遞減,有下界,故極限存在,設(shè)為,有 .(1) 取,當(dāng)時(shí),;(2) 取,當(dāng)時(shí),;(3)取,當(dāng)時(shí),13、求極限.(1) 解:原式=(2)解:原式=(3) 解:(4)解:原式=(5) 解:原式=(6)解:原式=(7) 解:原式= (8)解:原式=14、試證明下列數(shù)列或發(fā)散到或,或?yàn)闊o(wú)窮大數(shù)列.(1) 證明:,即(2) 證明:,即(3) 證明:,即(4) 證明:,
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