定義命題公理與定理湘教版

1、定義 命題 公理與定理一. 本周教學(xué)內(nèi)容： §2.1 定義 §2.2 命題 §2.3 公理與定理教學(xué)目標(biāo) 知識與技能： 1. 了解定義、命題、真命題、假命題的含義，會區(qū)分命題的條件和結(jié)論，奠定推理論證的基礎(chǔ)。 2. 了解公理與定理的含義以及二者的區(qū)別。 過程與方法： 3. 初步體會命題真假判斷的過程，體會公理化思想。情感、態(tài)度與價值觀： 4. 探索命題真假的過程，體會學(xué)數(shù)學(xué)的樂趣。 5. 通過歐幾里得的原本，感受公理化方法對數(shù)學(xué)發(fā)展和促進(jìn)人類文明進(jìn)步的價值。二. 重點、難點：（一）教學(xué)重點： 1. 了解定義的概念、命題的構(gòu)成，會區(qū)分真命題和假命題。 2. 公理與定

2、理是作為判斷命題真假過程中的依據(jù)。一般來說，命題真假的判斷不能憑直覺和想當(dāng)然，每一步推理必須有理有據(jù)，而定義、公理、定理就是我們推理過程的主要依據(jù)。（二）教學(xué)難點： 1. 能舉反例說明一個命題是假命題。 2. 判定逆定理的存在性。方法指導(dǎo) 1. 會判定一個語句是否為命題，注意兩條： （1）命題必須是一個完整的句子，通常是陳述句（包括肯定句和否定句）。 （2）必須對某件事情作出肯定或者否定的判斷。 2. 要能找出命題的條件和結(jié)論，一般情況下，命題也可寫成“如果，那么”或“若，則”等形式。其中“如果”或“若”引出的部分是條件，有時這些字樣前面還有前提條件。這個前提條件也屬于條件，“那么”或“則”引

3、出的部分是結(jié)論。對于條件和結(jié)論不明顯的命題，要經(jīng)過分析，先把它改寫成“如果，那么”的形式，然后再確定條件和結(jié)論。 3. 要會判定一個命題是真命題還是假命題。真命題需要依據(jù)公理、定理等推理證明，假命題需要舉出反例加以說明。 4. 公理是人們在長期的實踐中總結(jié)出來的公認(rèn)的正確的命題，是判定其他命題真假的根據(jù)；定理是經(jīng)過推理論證為真命題的命題。主要內(nèi)容（一）定義 1. 定義是對于一個概念的特征性質(zhì)的描述。 （1）定義必須是嚴(yán)密的，要避免使用含糊不清的術(shù)語，比如：“一些”，“大概”，“差不多”等不能在定義中出現(xiàn)。 （2）定義是幾何推理的依據(jù)，教材中列舉的定義要正確理解、熟練識記，為以后的推理做好知識準(zhǔn)

4、備。比如： 若ABCD于O，則AOC90°（垂直定義） 反過來，若AOC90°，則ABCD（垂直定義） 定義既可當(dāng)性質(zhì)用，也可當(dāng)判定用，是我們思考問題的出發(fā)點和目標(biāo)。（二）命題的定義及結(jié)構(gòu)、形式 （1）判斷一件事情的句子，叫做命題。 不是所有的句子都稱為命題，只有那些能判斷是非，辨別真假的句子才是命題，各種形式的句子，只有構(gòu)成為“是”或“不是”的形式，才能稱為命題。例如：“我很喜歡老師”，“今天的天氣多么好??！”“這個道理你明白嗎？”等都不是命題。要想使之成為命題，都需改為“是”或“不是”的形式。 （2）每個命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成。 條件是已知的事項，結(jié)論是由已知事

5、項推斷出的事項。 一般地，命題都可以寫成“如果，那么”的形式，其中“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結(jié)論。 （3）真命題和假命題 如果一個命題敘述的事情是真的，那么稱它是真命題。 如果一個命題敘述的事情是假的，那么稱它是假命題。 要說明一個命題是假命題，通?？梢耘e一個例子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子稱為反例。 （4）互逆命題。 如果一個命題的條件和結(jié)論是另一個命題的結(jié)論和條件，這樣的兩個命題稱為互逆的命題，其中一個作為另一個的逆命題。 例如：命題“相等的角是對頂角”與命題“對頂角相等”是互逆的命題。一個命題為真，但不一定能保證它的逆命題為真。（三）公理與定理

6、1. 公理就是公認(rèn)的真命題，是人們在長期實踐中總結(jié)出來的認(rèn)定的真命題，它作為證明的原始依據(jù)。 我們湘教版教材到目前為止選擇的十條公理： （1）等量加等量，和相等。 （2）等量減等量，差相等。 （3）等量代換（即：如果ab，且bc，那么ac）。 （4）整體大于部分。 （5）通過兩點有且只有一條直線。 （6）連結(jié)兩點的所有連線中，線段最短。 （7）經(jīng)過一條直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。 （8）平移不改變圖形的形狀和大小，平移不改變直線的方向。 （9）軸反射不改變圖形的形狀和大小。 （10）旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小。 2. 定理是經(jīng)過證明的真命題。 定理可以作為判斷其他命題的真假的依據(jù)

7、。 如果一個定理的逆命題也是定理，那么稱它是原來定理的逆定理，這兩個定理稱為互逆的定理。 要求同學(xué)們熟記教材中列舉的定理和逆定理，為后面的幾何推理、論證奠定基礎(chǔ)。【典型例題】 知識點1：定義和命題 例1. 在下列空格上填寫適當(dāng)?shù)母拍睢?（1）能夠完全重合的兩個圖形叫做_。 （2）兩組對邊分別平行的四邊形叫做_。 （3）連結(jié)三角形一個頂點與對邊中點的線段叫做三角形的_。 （4）_是有公共端點的兩條射線組成的幾何圖形。 請同學(xué)們?nèi)ナ煜旧系囊恍┒x，并能說出來。 例2. 下列語句中不是命題的有（ ） （1）兩點之間，直線最短。 （2）不許大聲講話。 （3）連結(jié)A、B兩點。 （4）花兒在春天開放。

8、 （5）不相交的兩條直線叫做平行線。 A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個 知識點2：命題的結(jié)構(gòu)和種類劃分 例3. 把下列命題改寫成“如果那么”的形式，并指出其條件和結(jié)論。 （1）兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。 （2）菱形的四條邊都相等。 （3）全等的兩個三角形的面積相等。 （4）對頂角相等。 （5）等角的余角相等。 （6）兩點確定一條直線。 解：條件：結(jié)論： （1）如果兩個三角形的兩角和其 中一角的對邊對應(yīng)相等那么這兩個三角形全等 （2）如果一個四邊形是菱形那么這個四邊形的四條邊相等 （3）如果兩個三角形全等那么這兩個三角形的面積相等 （4）如果兩個角是對頂角那么這兩個角

9、相等 （5）如果兩個角相等那么它們的余角也相等 （6）如果過兩已知點畫直線那么能夠畫而且只能畫一條 說明：有些命題條件和結(jié)論不明顯，這時一般先添上省略去的詞語，改寫成“如果，那么”的形式，有時需要適當(dāng)增減詞語，保證句子敘述通順而不改變原意。 例4. 判斷下列語句是不是命題，如果是命題，是真命題，還是假命題，對于假命題請舉出反例。 （1）畫線段AB3cm。 （2）平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 （3）兩條直線相交，有幾個交點？ （4）相等的角都是直角。 （6）直角都相等。 解：（1）、（3）不是命題，因為句子中沒有作出任何判斷。 （2）、（6）是真命題。 （4）、（5）是假命題。 對于（4

10、），比如：A30°，B30°，AB，但A、B都不是直角。 知識點3：公理與定理 例5. 如圖，BC，B、A、D在同一直線上，DACBC，AE是DAC的平分線。 求證：AEBC 證明：BCDAC 且BC（ ） AE是DAC的平分線（ ） B1（ ） AEBC（ ） 請同學(xué)們閱讀上述證法，并填寫推理根據(jù)。 知識點4：逆定理與互逆定理 例6. 下列定理有逆定理嗎？如果有，把它寫出來；如果沒有，說明理由。 （1）角平分線上的點到角兩邊的距離相等。 （2）對頂角相等。 解：（1）有逆定理 到一個角兩邊距離相等的點，在這個角的角平分線上。 利用三角形全等可以證明。 （2）沒有逆定理 比

11、如：相等的角可能是平行線內(nèi)錯角、同位角或全等圖形的對應(yīng)角，但它們不是對頂角。 創(chuàng)新題：根據(jù)命題推理 例7. 小王、小張和小李在一起，一位是工人，一位是農(nóng)民，一位是戰(zhàn)士，現(xiàn)在知道：小李比戰(zhàn)士年齡大，小王和農(nóng)民不同歲，農(nóng)民比小張年齡小，那么誰是工人，誰是農(nóng)民、戰(zhàn)士？ 分析推理： “小李比戰(zhàn)士年齡大”說明小李不是戰(zhàn)士；小李年齡大于戰(zhàn)士年齡。 “農(nóng)民比小張年齡小”說明小張不是農(nóng)民，小張年齡大于農(nóng)民年齡。 “小王與農(nóng)民不同歲”說明小王不是農(nóng)民。 既然小王和小張都不是農(nóng)民，那么小李是農(nóng)民。 根據(jù)上面結(jié)論知道他們年齡從大到小順序是：小張、農(nóng)民、戰(zhàn)士。 因此，小王是戰(zhàn)士，小張是工人。（答題時間：40分鐘）一.

12、 填空題。 1. 梯形的定義是：_。 2. 把命題“等邊三角形的每一個內(nèi)角都為60°”改成“如果，那么”的形式為_。 3. 定理“等角對等邊”的逆定理是：_。 4. “兩負(fù)數(shù)之積為正數(shù)”的條件是_，結(jié)論是_。 5. 下列語句是命題的，請將序號填在橫線上：_。 延長線段AB到C，使BCAB 若，則 畫角AOB的平分線OC 角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等 開發(fā)大西北 你好，小燕子！ 快走！不然就遲到了。 “WTO”所指的是什么？ 6. 寫出一條平行線的性質(zhì)定理：_。二. 選擇題。 1. 命題“度數(shù)之和為90°的兩個角互為余角”的條件是（ ） A. 90° B.

13、 兩個角 C. 度數(shù)之和為90° D. 度數(shù)之和為90°的兩個角 2. 下列命題中假命題有（ ）（1）一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形。 （2）一組對邊平行，一個對角相等的四邊形是平行四邊形。 （3）正比例函數(shù)一定是一次函數(shù)。 （4）速度一定，路程和時間成正比例關(guān)系。 A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個 3. 舉反例說明“一個角的余角大于這個角”是假命題錯誤的是（ ）A. 設(shè)這個角是45°，它的余角是45°，但45°45° B. 設(shè)這個角是30°，它的余角是60°，但30°60

14、6; C. 設(shè)這個角是60°，它的余角是30°，但30°60° D. 設(shè)這個角是50°，它的余角是40°，但40°50° 4. “兩直線相交只有一個交點”這個命題的條件是（ ） A. 兩條直線B. 相交 C. 只有一個交點D. 兩條直線相交 5. 若m、n、p為三個正實數(shù)，如果，那么之成立的依據(jù)是（ ） A. 等量加等量和相等 B. 等量減等量差相等 C. 不等式的基本性質(zhì) D. 整體大于部分 6. 下列定理存在逆定理的有（ ）（1）等腰梯形的兩條對角線相等。 （2）矩形的對角線相等。（3）正方形的四個角都是直角。

15、（4）如果一個三角形的三邊a、b、c滿足，那么這個三角形是直角三角形。 A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個 7. 下列命題中是假命題的是（ ） A. 直角的補角是直角 B. 鈍角的補角是銳角 C. 垂線段最短 D. 同旁內(nèi)角互補三. 解答題。 1. 有下列三個結(jié)論：（1）；（2）；（3）請你以其中兩個為條件，寫出2個真命題。 2. 下列定理有逆定理嗎？如果有，把它寫出來；如果沒有，舉一個反例說明。（1）正方形的對角線互相垂直平分且相等。（2）對頂角相等。（3）若正n邊形的每一個外角為60°，則n6。（4）平行四邊形的對邊相等。 3. A、B、C三人在一起爭論一個問題時，A指責(zé)B

16、說謊話，B指責(zé)C說謊話，C指責(zé)A和B都說謊話?，F(xiàn)請你推測一下，到底誰說真話？誰說謊話？ 4. 地理老師在黑板上畫了一幅世界五大洲的圖形，并給每個洲上都寫了代號，他請5個同學(xué)認(rèn)出2大洲，五個同學(xué)的回答是： 甲：3號是歐洲，2號是美洲； 乙：4號是亞洲，2號是大洋洲； 丙：1號是亞洲，5號是非洲； ?。?號是非洲，3號是大洋洲； 戊：2號是歐洲，5號是美洲。 地理老師說：“你們每個人都認(rèn)對了一半”。請問每個號碼各代表哪個洲？參考答案一. 填空題。 1. 有一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。 2. 如果一個三角形是等邊三角形，那么它的每一個內(nèi)角都為60°。 3. 等邊對等角 4. 兩負(fù)數(shù)相乘，積是正數(shù)。 5. ，