人教版八年級上學期 數(shù)學三角形 輔導講義解析版

1、2019年秋八年級上學期 第十一章 三角形 輔導講義一解答題（共20小題）1正多邊形的一個內角是120度，多邊形是幾邊形？內角和是多少？2如圖（1）中是一個五角星，你會求A+B+C+D+E的值嗎？（2）圖中的點A向下移到BE上時，五個角的和（即CAD+B+C+D+E）有無變化？如圖（2）說明你的結論的正確性（3）把圖（2）中的點C向上移動到BD上時，五個角的和（即CAD+B+ACE+D+E）有無變化？如圖（3）說明你的結論的正確性3（1）如圖所示，在ABC中，AD丄BC于D，AE平分BAC，且C大于B，求證：EAD=（CB）（2）若把問題（1）中的“AD丄BC”改為“點F為EA上一點且FD丄B

2、C于D”，畫出新的圖形，并試說明EFD=（CB）（3）若把問題（2）中的“F為EA上一點”改為“F為AE延長線上的一點”，則問題（2）中的結論成立嗎？請說明你的理由4如圖，PB和PC是ABC的兩條外角平分線求證：BPC=90BAC根據(jù)第問的結論猜想：三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬于什么三角形？5如圖所示，AD，BE是BC，AC邊上的高，O是AD，BE的交點，若AOB=C+20度求OBD，C6一個多邊形的每個外角都相等，且比它的內角小140，求它的邊數(shù)和每個內角的度數(shù)7小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等，你認為這個結論成立嗎？如果成立，

3、你能證明它？8已知：ABC的周長為18cm，AB邊比AC邊短2cm，BC邊是AC邊的一半，求ABC三邊的長9如圖AM、CM分別平分BAD和BCD（1）若B=32，D=38，求M的度數(shù)；（2）求證：M=（B+D）10如圖，在ABC中，ABC=ACB，A=40，P是ABC內一點，且1=2，求BPC的度數(shù)11一個多邊形的每一個內角都相等，一個內角與一個外角的度數(shù)之比為m：n，其中m，n是互質的正整數(shù)，求這個多邊形的邊數(shù)（用m，n表示）及n的值12如圖1、圖2、圖3中，點E、D分別是正ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點為頂點的一邊延長線和另一邊反向延長線上的點，且ABE與BCD能互相

4、重合，BD延長線交AE于點F（1）求圖1中，AFB的度數(shù)；（2）圖2中，AFB的度數(shù)為 ，圖3中，AFB的度數(shù)為 13如圖所示A=10，ABC=90，ACB=DCE，ADC=EDF，CED=FEG求F的度數(shù)14 如圖，四邊形ABCD中，ABCD，P為BC上一點，設CDP=，CPD=，當點P在BC上移動時，猜想，與B的關系，并說明理由15請你來推算：（1）一只螞蟻繞一個矩形的水池邊緣爬行，爬完一圈后，它的身體轉過的角度之和是多少？（2）如果它繞一個不規(guī)則的四邊形的邊緣爬行呢？（如圖2），為什么？（3）如果它繞五邊形的水池邊緣爬行呢？你是怎么推算出來的？如果繞n邊形呢？16在ABC中，如果A=B=

5、C，求A，B，C分別等于多少度17如圖所示，在四邊形ABCD中，C與D的平分線相交于P，且A=70，B=80，求P的度數(shù)18已知四邊形ABCD中，A：B=7：5，AC=B，C=D40，求各內角的度數(shù)19AD是ABC的一條高，也是ABC的角平分線，若B=40，求BAC的度數(shù)20一個零件的形狀如圖所示，零件要求A必須等于90，B和C分別為45和35，檢驗工人量得BDC=159，就斷定這個零件不合格，你知道為什么嗎？2019年秋八年級上學期 第十一章 三角形 輔導講義參考答案與試題解析一解答題（共20小題）1【分析】一個正多邊形的每個內角都相等，根據(jù)內角與外角互為鄰補角，因而就可以求出外角的度數(shù)根據(jù)

6、任何多邊形的外角和都是360度，利用360除以外角的度數(shù)就可以求出外角和中外角的個數(shù)，即多邊形的邊數(shù)，根據(jù)內角和公式即可求出內角和【解答】解：外角是180120=60度，36060=6，則這個多邊形是六邊形內角和為：（62）180=720【點評】考查了多邊形內角與外角，根據(jù)外角和的大小與多邊形的邊數(shù)無關，由外角和求正多邊形的邊數(shù)，是常見的題目，需要熟練掌握2【分析】（1）如圖，連接CD，把五個角和轉化為同一個三角形內角和根據(jù)三角形中一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和，再根據(jù)三角形內角和定理可得（2）（3）五個角轉化為一個平角【解答】解：（1）如圖，連接CD在ACD中，根據(jù)三角形內角和定理，得出

7、A+2+3+ACE+ADB=1801=B+E=2+3，A+B+ACE+ADB+E=A+B+E+ACE+ADB=A+2+3+ACE+ADB=180；（2）無變化根據(jù)平角的定義，得出BAC+CAD+DAE=180BAC=C+E，EAD=B+D，CAD+B+C+D+E=BAC+CAD+DAE=180；（3）無變化ACB=CAD+D，ECD=B+E，CAD+B+ACE+D+E=ACB+ACE+ECD=180【點評】本題考查的是三角形外角的性質及三角形內角和定理，利用了轉化思想求解，（1）是把五個角轉化在一個三角形中求解，（2）（3）是把五個角轉化為一個平角求解3【分析】（1）在RtADE中，可得AED

8、+DAE=90，又由AED=AEC=180CCAE，且AE平分BAC，即可證得：EAD=（CB）（2）在EFD中，由三角形的外角性質知：FED=AEC=B+BAC，所以B+BAC+EFD=90；聯(lián)立ABC中，由三角形內角和定理得到的式子，即可推出EFD，B，C的關系（3）在EFD中，由三角形的外角性質知：FED=AEC=B+BAC，所以B+BAC+EFD=90；聯(lián)立ABC中，由三角形內角和定理得到的式子，即可推出EFD，B，C的關系【解答】（1）證明：在RtADE中，AED+DAE=90，DAE=90AED，AED=AEC=180CCAE，且AE平分BAC，CAE=BAC=（180CB），DA

9、E=90180C（180CB）=（CB）（2）由三角形的外角性質知：FED=AEC=B+BAC，故B+BAC+EFD=90；在ABC中，由三角形內角和定理得：B+BAC+C=180，即：C+B+BAC90，得：EFD=（CB）（3）由三角形的外角性質知：FED=AEC=B+BAC，故B+BAC+EFD=90；在ABC中，由三角形內角和定理得：B+BAC+C=180，即：C+B+BAC90，得：EFD=（CB）【點評】此題考查了三角形內角和定理、三角形的外角性質以及角平分線的定義此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用4【分析】根據(jù)三角形的內角和定理、角平分線定義和三角形的外角的性質即

10、可證明；根據(jù)的結論，知三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形的三個角都是銳角，則該三角形是銳角三角形【解答】證明：PB和PC是ABC的兩條外角平分線，P=180（PBC+PCB）=180（CBD+BCE）=180（A+ACB+BCE）=180（A+180）=90A；根據(jù)的結論，知三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形的三個角都是銳角，三個角都是銳角的三角形是銳角三角形，故該三角形是銳角三角形【點評】此題綜合運用了三角形的內角和定理、角平分線定義和三角形的外角的性質注意：三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形5【分析】從圖形中尋找OBD與C關系，運用外角和定理，直角三角形的

11、性質尋找OBD與C關系構建方程求解【解答】解：AOB=90+OBD=C+20，OBD+C=90，C=90OBD，90+OBD=90OBD+20，OBD=10，C=80【點評】此題的關鍵是尋找OBD與C關系，運用外角和定理尋找OBD與C關系構建方程求解6【分析】根據(jù)鄰補角的定義，內角和的公式與外角和的特征，即可求出多邊形的邊數(shù)和每個內角的度數(shù)【解答】解：設每個內角的度數(shù)為n，則每個外角的度數(shù)為（n140），由n+（n140）=180，得n=160即每個內角為160，從而每個外角為20由于36020=18，所以這個多邊形為十八邊形【點評】本題考查多邊形的內角和與外角和、方程的思想關鍵是記住內角和的

12、公式與外角和的特征同時考查了互為鄰補角的兩個角的和為1807【分析】先假設AB=AC，根據(jù)“等邊對等角”定理得出與已知條件相矛盾的結論，從而證明在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等【解答】證明：假設AB=AC，那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得C=B，但已知條件是BC“C=B”與已知條件“BC”相矛盾，因此ABAC【點評】本題考查了反證法先假設命題的結論不成立，然后由此推導出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結論一定成立這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法8【分析】設AC的邊長為xcm，分別表示出AB、BC邊的長為（x2）cm，xcm，根據(jù)三角形

13、的周長為18cm，列出方程即可求出三邊的長【解答】解：設AC邊長為xcm，則AB邊長為（x2）cm，BC邊長為x，根據(jù)題意，得x+（x2）+x=18，解得x=8，x2=6，x=4，即AB=6cm，BC=4cm，AC=8cm【點評】本題是三角形周長與一元一次方程相結合的題，根據(jù)周長列一元一次方程是解題的關鍵9【分析】（1）根據(jù)三角形內角和定理用B、M表示出BAMBCM，再用B、M表示出MADMCD，再根據(jù)角平分線的定義可得BAMBCM=MADMCD，然后求出M與B、D關系，代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解；（2）根據(jù)三角形內角和定理用B、M表示出BAMBCM，再用B、M表示出MADMCD，再根據(jù)角平分線

14、的定義可得BAMBCM=MADMCD，然后求出M與B、D關系【解答】（1）解：根據(jù)三角形內角和定理，B+BAM=M+BCM，BAMBCM=MB，同理，MADMCD=DM，AM、CM分別平分BAD和BCD，BAM=MAD，BCM=MCD，MB=DM，M=（B+D）=（32+38）=35；（2）證明：根據(jù)三角形內角和定理，B+BAM=M+BCM，BAMBCM=MB，同理，MADMCD=DM，AM、CM分別平分BAD和BCD，BAM=MAD，BCM=MCD，MB=DM，M=（B+D）【點評】本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義注意利用“8字形”的對應角相等求出角的關系是解題的關鍵，要注意整體

15、思想的利用10【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質求出ACB的度數(shù)，再由1=2得出2+3的度數(shù)，根據(jù)三角形內角和定理即可得出結論【解答】解：ABC=ACB，A=40，ACB=（18040）=70，即1+3=701=2，2+3=70，在BPC中，BPC=180（2+3）=18070=110【點評】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180是解答此題的關鍵11【分析】設多邊形的邊數(shù)為a，多邊形內角和為（a2）180度，外角和為360度得到m：n=180（a2）：360，從而用m、n表示出a的值【解答】解：設多邊形的邊數(shù)為a，多邊形內角和為（a2）180度，外角和為360度，m：n=180（a

16、2）：360a=，因為m，n 是互質的正整數(shù)，a為整數(shù)，所以n=2，故答案為：，2【點評】本題考查了多邊形的內角與外角，解答本題的關鍵在于熟練掌握多邊形內角和與多邊形外角和12【分析】（1）由全等三角形的性質可得出D=E，由對頂角相等結合三角形內角和定理即可得出BFE=BCD，再根據(jù)鄰補角互補即可得出AFB=ACB，結合等邊三角形內角的度數(shù)即可得出結論；（2）結合（1）即可得出：AFB=BCM，結合多邊形內角和定理以及正多邊形的性質即可得出結論【解答】解：（1）ABE與BCD能互相重合，D=E，DBC=EBF，BFE=180EEBF=180DB=BCDBCD+ACB=180，ACB=60，AF

17、B+BFE=180，AFB=ACB=60（2）同理可得出：AFB=BCM，四邊形ABCD為正方形，五邊形ABCMN為正五邊形，圖2中BCM=90，圖3中BCM=108故答案為：90；108【點評】本題考查了全等三角形的性質、正多邊形的性質、三角形內角和定理、鄰補角以及多邊形內角與外角，解題的關鍵是：（1）通過全等三角形的性質結合角的計算找出AFB=ACB；（2）根據(jù)多邊形內角和定理以及正多邊形的性質找出每個內角的度數(shù)13【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，得ACB=80，結合已知條件和三角形的外角的性質，求得ADC=70，依此類推即可求解【解答】解：在ABC中，A=10，ABC=90，ACB

18、=80，DCE=ACB=80，在ACD中，DCE是它的一個外角，DCE=A+ADC，ADC=70，EDF=ADC=70在ADE中，EDF是它的一個外角，EDF=A+AED，AED=60，F(xiàn)EG=AED=60在AEF中，F(xiàn)EG是它的一個外角，F(xiàn)EG=A+F，F(xiàn)=FEGA=6010=50【點評】此題綜合運用了三角形的內角和定理及其推論14【分析】在CDP中，先由三角形內角和為180，得出+=180C；再由ABCD，根據(jù)平行線的性質，得出B=180C；從而得出+=B【解答】解：在CDP中，CDP+CPD+C=180，CDP=，CPD=，+=CDP+CPD=180C；ABCD，B+C=180，B=18

19、0C；+=B【點評】本題主要考查了三角形內角和定理及平行線的性質15【分析】螞蟻身體轉過的角度之和就是多邊形的外角和，因而是360度多邊形的外角和與多邊形的邊數(shù)無關，因而水池是矩形，不規(guī)則的四邊形、五邊形，n邊形都有相同的結論【解答】解：（1）各角是矩形的外角，螞蟻身體轉過的角度之和是360故螞蟻的身體轉過的角度之和是360；（2）各角是不規(guī)則的四邊形的外角，螞蟻身體轉過的角度之和是360故螞蟻的身體轉過的角度之和是360；（3）各角是五邊形的外角，螞蟻身體轉過的角度之和是360；各角是n邊形的外角，螞蟻身體轉過的角度之和是360故螞蟻的身體轉過的角度之和都是360【點評】本題考查了多邊形的外角和定理多邊形的外角和是360度，多邊形的外角和與多邊形的邊數(shù)無關16【分析】由三角形內角和定理和已知條件得出A+2A+2A=180，求出A=36，即可得出B=C=72【解答】解：A=B=C，B=C=2A，A+B+C=180，A+2A+2A=180，解得：A=36，B=C=72【點評】本題考查了三角形內角和定理；熟練掌握三角形內角和定理，并能進行推理計算是解決問題的關鍵17【分析】已知A=70，B=80，根據(jù)四邊形的內角和是360度，就可以求出ACD+