高等數學同濟第七版第一章課件

1、二、二、 連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷 一、一、 函數函數 三、三、 極限極限 習題課習題課函數與極限函數與極限 第一章 )(xfy yxOD一、一、 函數函數1. 概念定義定義:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定義域 值域圖形圖形:DxxfyyxC, )(),( 一般為曲線 )設,RD函數為特殊的映射:其中2. 特性有界性 , 單調性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函數)(:DfDf設函數為單射, 反函數為其逆映射DDff)(:14. 復合函數給定函數鏈)(:11DfDf1)(:DDgDg則復合函數為 )(:DgfDgf5. 初等函數有限個常數及基本初等函數經有限次四則運算與復合而成

2、的一個表達式的函數.)(1DfD)(Dgg1Dfgf 思考與練習思考與練習1. 下列各組函數是否相同 ? 為什么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)(2xxx與axaaxxxf,)()2(2)(21)(xaxax與0,0,0)()3(xxxxf)()(xffx 與相同相同相同相同相同相同2. 下列各種關系式表示的 y 是否為 x 的函數? 為什么?1sin1) 1 (xy, 0,cos,sinmax)2(2xxxy22,arcsin)3(xuuy不是不是40 x,cosx24 x,sin x是是不是不是提示提示: (2)y0 x0,10,1)()4(33xxx

3、xxf0, 10, 1)()2(xxxf1,41,2)()3(xxxf,2xxxyO4211, 11, 13xx1) 1(32xx,16xOxy111xRx3. 下列函數是否為初等函數 ? 為什么 ?0,0,)() 1 (xxxxxf2x以上各函數都是初等函數 .xy1O4. 設,0)(,1)(,e)(2xxxfxfx且求)(x及其定義域 .5. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f6. 設,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf由)(2exx1得,)1ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x4. 解解:e)(x2 f5. 已知8,)5(8,3)

4、(xxffxxxf, 求. )5(f解解:)5(f)( f310)10(f)(7f f)12(f)( f312)(9f66. 設,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf解解:1sinsin1)sin1(sin22xxxxf3)sin1(sin2xx3)(2xxfxxxff1211)()(,2)()(1xfxfxx解解: 利用函數表示與變量字母的無關的特性 .,1xxt,11tx代入原方程得,)()(1211tttff,111uux,11ux代入上式得,)()() 1(2111uuuuuff1,0 xx設其中).(xf，求令即即令即畫線三式聯立1111)(xxxxf即xxxx

5、xff)1(2111)()(例例1.二、二、 連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷1. 函數連續(xù)的等價形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0時當 xx有)()(0 xfxf2. 函數間斷點第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點振蕩間斷點有界定理 ; 最值定理 ; 零點定理 ; 介值定理 .3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質例例2. 設函數)(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx

6、2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e) 1)(e)(xaxbxfx有無窮間斷點0 x及可去間斷點, 1x解解:為無窮間斷點,0 x) 1)(elim0 xaxbxx所以bxaxxxe) 1)(lim0ba101,0ba為可去間斷點 ,1x) 1(elim1xxbxx極限存在0)(elim1bxxeelim1xxb例例3. 設函數試確定常數 a 及 b .例例4. 設 f (x) 定義在區(qū)間),(上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 若 f (x) 在連續(xù),0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0( x

7、f)(xf閱讀與練習閱讀與練習且對任意實數證明 f (x) 對一切 x 都連續(xù) .P65 題 1 , 3(2) ; P74 題 *6證證:P74 題題*6. 證明: 若 令,)(limAxfx則給定,0,0X當Xx 時, 有AxfA)(又, ,)(XXCxf根據有界性定理,01M, 使,)(1XXxMxf取1,maxMAAM則),(,)(xMxf)(xf在),(內連續(xù),)(limxfx存在, 則)(xf必在),(內有界.)(xfXXA1MOyx0)()()(212xfxff上連續(xù) , 且恒為正 ,例例5. 設)(xf在,ba對任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一點證證:, ,21xx

8、使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 則,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21時當xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零點定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff,)()(21時當xfxf,21xx或取)()()(21xfxff證明:, 0)(F則有即 上連續(xù), 且 a c d b ,例例6. 設)(xf在,ba必有一點證證:, ,ba使)()()()(fnmdfncfm, ,)(baCx

9、fMbaxf上有最大值在,)()()(dfncfm)()()(fnmdfncfm即由介值定理,使存在, ,ba證明:Mnmdfncfmm)()()()()()(fnmdfncfm,m及最小值故 即 mnm)(Mnm)(三、三、 極限極限1. 極限定義的等價形式 (以 為例 )0 xx Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即 為無窮小)Axf)(, )(0 xxxnnn有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(002. 極限存在準則及極限運算法則3. 無窮小無窮小的性質 ; 無窮小的比較 ;常用等價無窮小: 4. 兩個重要極限 6. 判斷極限不存在的方法 sin xxtan

10、xxcos1x221xarctanxxarcsinxx)1ln(xx1e xx1xaaxln1)1 (xx5. 求極限的基本方法 1sinlim) 1 (01)11 (lim)2(0或10lim(1)e注注: 代表相同的表達式例例7. 求下列極限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx無窮小有界令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin120

11、lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(exxxx1212)1(ln2e則有)()(1lim0 xvxxxu復習復習: 若,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1Oxy331xy例例8. 確定常數 a , b , 使0)1(lim33bxaxx解解: 原式可變形為0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxxa故,01a于是,1a而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx0 xy例例9. 當0 x時,32xx 是x

12、的幾階無窮小?解解: 設其為 x 的 k 階無窮小,則kxxxx320lim0C因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故61k閱讀與練習閱讀與練習1. 求的間斷點, 并判別其類型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 為第一類可去間斷點)(lim1xfx x = 1 為第二類無窮間斷點, 1)(lim0 xfx1)(lim0 xfx x = 0 為第一類跳躍間斷點 2. 求.sine1e2lim410 xxxxx解解:xxxxxsine1e2lim410 xxxxxxsin1ee2lim4340e1xxxxxsine1e2lim410