高等代數(shù)課件(北大版)第四章 矩陣§4-5

1、2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院一、分塊矩陣的概念一、分塊矩陣的概念定義定義設(shè)設(shè)A是一個(gè)矩陣，在是一個(gè)矩陣，在A的行或列之間加上的行或列之間加上一些線，把這個(gè)矩陣分成若干小塊用這種一些線，把這個(gè)矩陣分成若干小塊用這種方法被分成若干小塊的矩陣叫做一個(gè)方法被分成若干小塊的矩陣叫做一個(gè)分塊矩陣分塊矩陣每一個(gè)分塊的方法叫做每一個(gè)分塊的方法叫做A一種一種分法分法2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院特殊分法特殊分法按行分塊按行分塊 12,sAAAA 其中其中 12(,),iiiinAaaa 按列分塊按列分塊 12,nAA AA ，其中，其中 12,jjjnjaaAa

2、 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 (),ijs nAa 1,2, .jn 1,2, .is 2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111,1、加法、加法設(shè)設(shè) A, B 是兩個(gè)是兩個(gè) 矩陣，對(duì)它們矩陣，對(duì)它們mn 一、分塊矩陣的運(yùn)算一、分塊矩陣的運(yùn)算.11111111 srsrssrrBABABABABA用同樣的分法分塊用同樣的分法分塊:其中子塊其中子塊 與與 為同型矩陣，則為同型矩陣，則ijAijB2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2、數(shù)量乘法、數(shù)量乘法.1111 srsrAAAAA 設(shè)分塊矩陣設(shè)分塊矩陣 1111,rssrAAAPAA 則則2022-2-25數(shù)學(xué)

3、與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,11111111 trtrststBBBBBAAAAA那那末末的的行行數(shù)數(shù)的的列列數(shù)數(shù)分分別別等等于于其其中中,2121ijjjitiiBBBAAA srsrCCCCAB1111 ., 1;, 11rjsiBACkjtkikij 其其中中3、乘法、乘法把矩陣把矩陣(),()ikm nkjn pAaBb分塊成分塊成2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院112111222212.ssttstAAAAAAAAAA 設(shè)分塊矩陣設(shè)分塊矩陣 111212122212,ttssstAAAAAAAAAA 則則4、轉(zhuǎn)置、轉(zhuǎn)置2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例例1 設(shè)設(shè),101101210010

4、0001 A,0211140110210101 B.AB求求2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解解分塊成分塊成把把BA, 10011001A00001121 , EEO1A 0211140110210101B 11BE21B22B2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院則則 2221111BBEBEAOEAB.2212111111 BABBAEB又又21111BBA 110121011121 11012043,1142 02141121221BA,1333 2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院于是于是 2212111111BABBAEBAB.1311334210410101 2022-2-25數(shù)

5、學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例例2 設(shè)設(shè) 0,ADC B 證明：證明：D 可逆，并求其逆可逆，并求其逆其中其中 A, B 分別為分別為 k 級(jí)和級(jí)和 r 級(jí)可逆矩陣，級(jí)可逆矩陣，C為為rk 證證0ADC B A B 0, D 可逆可逆. .設(shè)逆陣設(shè)逆陣111122122,XXDXX 2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 1112212200,0krEXXAC BXXE 于是于是即即111211212200krAXEAXCXBXBXE 111110ADB CAB . .1111211212200XAXXB CAX 2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院三、準(zhǔn)對(duì)角矩陣三、準(zhǔn)對(duì)角矩陣,21 sAAAAOO稱為稱為

6、準(zhǔn)對(duì)角矩陣準(zhǔn)對(duì)角矩陣. . 形式如形式如iA的分塊矩陣，其中的分塊矩陣，其中為級(jí)方陣為級(jí)方陣in(1,2, ),is 定義定義2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院性質(zhì)性質(zhì)12,sAAAA OO12,sBBBB OO(1) 設(shè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣設(shè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣 A, B 級(jí)數(shù)相同，并且分法相同級(jí)數(shù)相同，并且分法相同, ,則則則則1122sSABABABAB ，OO2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1122sSA BA BABA B . .OO(2) 準(zhǔn)對(duì)角矩陣可逆準(zhǔn)對(duì)角矩陣可逆12sAAAA OO01,iAis，1,is iA可可逆逆，111121sAAAA 且且OO2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1

7、5003031021AA 例例，求求解：解： 115,5 11 500011023A . .131112121 ，2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院附附： 一些一些特殊分塊乘積特殊分塊乘積 12,nAXA ， 一般線性方程組一般線性方程組1 1.nnxx 即即 1212,nnxxx ，則有則有2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1122(,)nnAAA 1212(,),(,)m nnnAA AADdiag = = 若若1212(,)m nnnADA AA = =則則OO2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1122.mmAAA 1212,(,),m nmmAAADdiagA = =若若1122

8、m nmmAADAA 則則OO2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院若把矩陣若把矩陣B, C按行分塊，則按行分塊，則 設(shè)矩陣設(shè)矩陣(),(),(),ijn mijm sijn sAaBbABCc于是有于是有1112111212222212mmnnnmmnaaaBCaaaBCABaaaBC1122,1,2,iiimmia Ba Ba BCin 即即C的行向量組可由的行向量組可由B的行向量組線性表出的行向量組線性表出.( )( )R CR B2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院若把矩陣若把矩陣A, C按列分塊，則按列分塊，則于是有于是有 1112121222121212,ssmsmmmsbbbbbb

9、ABA AAC CCbbb1122,1,2,jjmjmjb Ab Ab ACjs 即即C的列向量組可由的列向量組可由A的列向量組線性表出的列向量組線性表出.( )( ).R CR A2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院證：證： 40( )( )ABnABR AR Bn 例例、 為為 級(jí)級(jí)方方陣陣，證證明明，若若，則則 . .0,AB 12,0,nA B BB為為 B 的列向量，的列向量，iB 12,0,nAB ABAB0,1,2,iABin, ,即即B的每一列向量皆為齊次線性方程組的每一列向量皆為齊次線性方程組 0AX 的解向量的解向量 .2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院12,( ),nrank B BBnR A故故12,nB BB可由可由 的基礎(chǔ)解系線性表出，的基礎(chǔ)解系線性表出， 0AX ( )( ),R BnR A即即( )( )R AR Bn. .2022-2-25數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院12353(,)AA 例例 已已知知 級(jí)級(jí)方方陣陣 按按列列分分塊塊為為，121325,(2,34,5)ABB 且且若若，求求. .解法一：解法一： 11