高數(shù)下冊公式總結(jié)(修改版)

1、高等數(shù)學(xué)（一）教案期末總復(fù)習(xí)第八章向量與解析幾何向量代數(shù)定義定義與運算的幾何表達(dá)在直角坐標(biāo)系下的表示aaxi ay j azk (ax, ay ,az)向量有大小、有方向 .記作 a 或 ABprj x a, ayprj y a, az prj zaax模向量 a 的模記作 aaax2ay2az2和差c a b axbx, ayby , azbzcabca b單位向量a0，則與 a 同向的單位向量為 eaaea(ax, ay , az )aax2ay2az 2cosax， cosay， cosaz設(shè) a 與 x, y, z 軸的夾角分別為， ，aaa方向余弦，則方向余弦分別為cos， cos，

2、 cosea ( cos， cos ， cos)cos2+cos2cos21點乘（數(shù)量積）aba b cos，為向量 a 與 b 的夾a baxbx ay byazbz角叉乘（向量積）ca b sinijk為向量 a 與 b 的夾角a baxa yazc a b向量 c與 a ， b 都垂直且右手系bxbybz定理與公式垂直a ba b 0a b axbxaybyazbz 0平行a / bab 0a / baxayazbxbybz交角余弦兩向量夾角余弦cosa bcosax bxaybyazbza bax 2a y 2az2bx 2by 2bz2向量 a 在非零向量 b上的投影axbxa y

3、byazbz投影a bprjbaprjbaa cos(a b)bx2by2bz2b平面直線法向量 n A, B,C點 M 0 (x0 , y0 , z0 )方向向量 T m, n, p 點 M 0 (x0 , y0 , z0 )方程名稱方程形式及特征方程名稱方程形式及特征一般式AxBy Cz D 0一般式A1 x B1 y C 1 z D 10A 2 x B 2 y C 2 z D 20- 2 -高等數(shù)學(xué)（一）教案期末總復(fù)習(xí)點法式(x0)(y0)(zz0)0點向式xx0yy0zz0A xB yCmnpx x1y y1z z1x x0m t三點式x2x1y2y1z2z10參數(shù)式y(tǒng)y0ntx3x1

4、y3y1z3z1z z0pt截距式xyz1兩點式xx0yy0zz0x1 x0y1y0z1z0a b c面面垂直A1 A2B1B2C1C20線線垂直m1 m2n1 n2p1 p20面面平行A1B1C1線線平行m1n1p1A2B2C2m2n2p2線面垂直ABC線面平行Am BnCp 0mnp點面距離面面距離M 0 (x0 , y0 , z0 )AxByCzD0AxByCzD10AxByCzD20dAx0 By 0Cz0DdD1D2A2B 2C 2A2B2C 2面面夾角線線夾角線面夾角n1 A1 , B1 ,C1 n2 A2, B2,C2s1 m1 , n1 , p1s2 m2 ,n2 , p2 s

5、 m, n, pn A, B,Ccos| A1A2B1B2C1C2 |cosm1m2n1 n2p1 p2sinAm Bn Cp222222222222222222ABCmnpA1B1C1A2B2C2m1n1p1m2n2p2xx0y y0z z0x(t)，切“線”方程：(t 0 )(t0 )(t0 )切向量y (t )，z (t )，T ( (t 0 ) , (t0 ) , (t 0 ) 法平“面”方程：空(t)(t0 ) ( x x0 )(t0 ) ( yy0 )(t0 )( z z0 ) 0間曲切向量xxPy yPz zP線切“線”方程： F ( x, y, z)0ijkG( x, y, z

6、)0TFxFyFzGxG yG z P:(m, n, p)空法向量間n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) ,曲F ( x, y, z) 0面Fy ( x0 , y0 , z0 ) ,：Fz( x0 , y0 , z0 ) )mnp法平“面”方程：m( x xP ) n ( y yP ) p( z zP ) 0切平“面”方程：Fx ( x0 , y 0 , z0 )( x x0 ) Fx ( x0 , y0 , z0 )( yy 0 )F x ( x0 , y0 , z0 )( z z0 )0法“線“方程：x x0yy0zz0Fx (x0 , y0 , z0 )F y ( x0 , y

7、0 , z0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )- 3 -高等數(shù)學(xué)（一）教案期末總復(fù)習(xí)第十章 重積分重積分積分類型計算方法典型例題（1） 利用直角坐標(biāo)系X型f ( x, y)dxdyb2 ( x)f (x, y)dydx1 ( x)DaY型f (x, y) dxdyd2 ( y)f ( x, y)dxdy1 ( y)Dc二重積分（2） 利用極坐標(biāo)系If x, y dD使用原則(1)積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示( 含圓弧 ,直線段 ) ；平面薄片的質(zhì)(2)被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量表示較簡單( 含 ( x2y2 ) , 為實數(shù) )量質(zhì)量=面密度面積f ( cos, sin )ddD2

8、(),sin ) ddf ( cos1 ()計算步驟及注意事項1 畫出積分區(qū)域2 選擇坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn)：域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)軸，被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離3 確定積分次序原則：積分區(qū)域分塊少，累次積分好算為妙4 確定積分限方法：圖示法先積一條線，后掃積分域三重積分If ( x, y, z)dV投影法(1) 利用直角坐標(biāo)截面法f (x, y, z)dVdxdyz2 ( x, y )投影法：f ( x, y, z)dzDxyz1 ( x, y)截面法：( , , )dd(,)fVdzfx y zx y z dxdycDzxcos（2） 利用柱面坐標(biāo)ysinzz相當(dāng)于在投影法的基礎(chǔ)上直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)適

9、用范圍 :積分區(qū)域 表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單； 如 旋轉(zhuǎn)體12變量易分離 . 如 f (x22)被積函數(shù) 用柱面坐標(biāo)表示時y- 4 -高等數(shù)學(xué)（一）教案期末總復(fù)習(xí)空間立體物的質(zhì)量質(zhì)量=密度面積xcosr sincos（3）利用球面坐標(biāo)ysinr sinsinzr cosdVr 2 sindrdd適用范圍 :積分域 表面用球面坐標(biāo)表示時方程簡單 ; 如，球體，錐體 .12變量易分離 . 如， f ( x2y22被積函數(shù) 用球面坐標(biāo)表示時z )22r2 ( , )cos , r sinsin,r cos )r 2 sindrIddf (r sin11r1 ( , )考試不作要求，考研重點掌握積

10、分類型第一類曲線積分If (x, y)dsL曲形構(gòu)件的質(zhì)量質(zhì)量 =線密度弧長平面第二類曲線積分IPdx QdyL變力沿曲線所做的功第十一章曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分計算方法典型例題參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）（ 1）b2y( x), ax bIf ( x, y(x) 1 y'( x)dxL : yax(t )t)（2） L:(y(t)If ( (t),(t)2 (t )2 (t )dt（ 1） 參數(shù)法 （轉(zhuǎn)化為定積分）x(t):)L :(t)(tyPdxQdy P(t),( t)(t)Q(t),(t)(t ) dtLx(t)三維情形：: y(t)( t:)z( t)PdxQdyRd

11、z P(t),(t ),( t)(t) Q(t),(t), (t) ( t)R(t ),(t),(t)( t) dt（ 2）利用格林公式 （轉(zhuǎn)化為二重積分）條件： L 封閉，分段光滑，有向（左手法則圍成平面區(qū)域D）P， Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論： Pdx QdyQP()dxdyLxyD滿足條件直接應(yīng)用應(yīng)用：有瑕點，挖洞不是封閉曲線，添加輔 助線- 5 -高等數(shù)學(xué)（一）教案第一類曲面積分If (x, y, zdS) 曲 面 薄 片的質(zhì)量質(zhì)量 =面密度面積期末總復(fù)習(xí)（3）利用路徑無關(guān)定理 （特殊路徑法）等價條件：QP Pdx Qdy 0xyLPdxQdy 與路徑無關(guān)，與起點、終點有關(guān)L Pdx Q

12、dy 具有原函數(shù) u(x, y)（特殊路徑法，偏積分法，湊微分法）（4）兩類曲線積分的聯(lián)系IPdx Qdy(P cosQcos )dsLL投影法： zz( x, y) 投影到 xoy 面If (x, y, zdS)f (x, y, z(x, y) 1 z2xz2ydxdyDxy類似的還有投影到y(tǒng)oz 面和 zox 面的公式（1）投影法PdydzP(x(y, z), y, z)dydz1Dyz： x x( y, z) ， 為的法向量與 x 軸的夾角前側(cè)取“ +”， cos0；后側(cè)取“ ”， cos0QdzdxQ(x, y( x, z), z)dzdx2Dzx第二類曲面積分： yy(x, z) ，

13、為的法向量與 y 軸的夾角右側(cè)取“ +”， cos0 ；左側(cè)取“”， cos03RdxdyR(x, y, z( x, y)dxdyDxy： zz(x, y) ，為的法向量與 z 軸的夾角IPdydz Qdzdx Rdxdy上側(cè)取“ +”， cos0；下側(cè)取“”， cos0（2）高斯公式流體流向曲面一側(cè)的流量條件： 封閉，分片光滑，是所圍空間閉區(qū)域的外側(cè)P， Q， R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論：應(yīng)用：Pdydz Qdzdx Rdxdy( PQR)dVxyz滿足條件直接應(yīng)用不是封閉曲面，添加輔 助面（3）兩類曲面積分之間的聯(lián)系Pdydz Qdzdx Rdxdy(PcosQcosRcos )dS轉(zhuǎn)換投影

14、法： dydz(z) dxdy dzdx ( z )dxdyxy所有類型的積分：定義：四步法分（任意分割） 、勻（任意取點） 、和（求和）、精（求極限） ；1性質(zhì)：對積分的范圍具有可加性，具有線性性；2- 6 -高等數(shù)學(xué)（一）教案常數(shù)項級數(shù)無冪窮級級數(shù)數(shù)傅立葉級數(shù)一般項級數(shù)交錯級數(shù)正項級數(shù)收斂性和函數(shù)展成冪級數(shù)T 2 T 2l周期延拓期末總復(fù)習(xí)第十二章 級數(shù)1 若級數(shù)收斂 ,各項同乘同一非零常數(shù)仍收斂 兩個收斂級數(shù)的和差仍收斂2注：一斂、一散之和必發(fā)散 .用收斂定義， lim s n存在3不改變其收斂性n 去掉、加上或改變級數(shù)有限項 若級數(shù)收斂則對這級數(shù)的項任意加括號后所成4的級數(shù)仍收斂，且其

15、和不變。常數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)推論如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散則原來級數(shù)也發(fā)散注：收斂級數(shù)去括號后未必收斂 .常數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)5則 lim u n0 （必要條件）如果級數(shù)收斂n0萊布尼茨判別法若 unu n 1 且 lim un0 ，則(1) n1 u n收斂nn 1un 和vn 都是正項級數(shù)，且unvn .若vn 收斂，則比較判別法un 也收斂；若un 發(fā)散，則vn 也發(fā)散 .u n 和都是正項級數(shù)，且limunl，則若比較判別法vn1nv n的極限形式0l, u n與vn同斂或同散 ; 若l0,收2vn斂 ,也收斂； 如果l，發(fā)散，也發(fā)散。u n3vnu n比值判別法u n 是正項級數(shù)， lim un 1, lim n un,則1 時收nu nn根值判別法斂；1 ()時發(fā)散；1時可能收斂也可能發(fā)散 .a n x n , lima n 1, R1 ,0; R,0; R0 ,.n 0na n缺項級數(shù)用比值審斂法求收斂半徑s( x) 的性質(zhì) 在收斂域 I 上連續(xù) ;在收斂域 (R , R ) 內(nèi)可導(dǎo)，且可逐項求導(dǎo); 和123函數(shù) s( x) 在收斂域 I 上可積分，且可逐項積分.(R 不變 ,收斂域可能變化 )