人教版數(shù)學必修一函數(shù)的含義及表達形式

1、二、函數(shù)及其表示（一）函數(shù)的概念1.函數(shù)的概念（1）函數(shù)的傳統(tǒng)定義設(shè)在一個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定了一個函數(shù)值，相應的就有唯一確定的一個y值與之相對應，那么我們就稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量（2）函數(shù)的近代定義一般地，設(shè)A,B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關(guān)系f使對于集合A中的任意一個數(shù)x在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，xA。其中x是自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應的y叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA 叫做函數(shù)的值域A,B都是非空的數(shù)集，因此定義域或值域為空

2、集的函數(shù)不存在，例如，y=x-1 x+1 就不是函數(shù)集合A是函數(shù)的定義域，給定A中一個x值有唯一的y值與之對應；集合B不一定是函數(shù)的值域，因為B中的元素可以沒有x與之對應，即f(x)|xAB符號y=f(x)表示“x對應的函數(shù)值”，f表示對應關(guān)系，“f(x)”是一個整體，不可分開，也不能理解成“f·x”f(a)，aA與f(x)的區(qū)別函數(shù)的實質(zhì)是集合A,B的對應關(guān)系，可以一對一、多對一，但不能一對多，而且集合A中的元素必須要用完，而集合B中的元素可以不用完例1：設(shè)集合M=x|0x2，N=y|0y2,給出的下列四個圖形中，其能夠表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是（ ）2.函數(shù)的構(gòu)成要素與函數(shù)

3、相等一個函數(shù)構(gòu)成要素為定義域、對應關(guān)系、值域值域是由定義域和對應關(guān)系決定的，所以確定一個函數(shù)就只需要確定定義域和對應關(guān)系，即定義域和對應關(guān)系使“y是x的函數(shù)”的而兩個基本條件要檢驗給定的兩個變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系，只需檢驗（1）定義域和對應關(guān)系是否給出；（2）根據(jù)給出的對應關(guān)系，自變量x在其定義域中的每一個值，是否都有唯一的函數(shù)值和它對應如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等函數(shù)的定義域和對應關(guān)系一旦確定，值域就確定了，所以判斷兩個函數(shù)是否相等只需要判斷他們的定義域和解析式是否相等就可以了，不需要在判斷值域滿足定義域和值域相同的兩個函數(shù)，不一定是相等的函數(shù)，例如：函

4、數(shù)f(x)=x²與函數(shù)f(x)=(x-3)²例2：判斷下列各組中的函數(shù)是否表示同一個函數(shù)（1）f(x)=|x-1|與g(x)=x-1，x11-x，x<1（2）f(x)=x與f(t)=(3t3)在判斷對應關(guān)系是否相同時，兩個函數(shù)可能表現(xiàn)形式不同，但經(jīng)過適當?shù)刈冃?，可以化為相同的形式，這是也可以說它們具有相同的對應關(guān)系3.函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是自變量x的取值范圍，有時可以省略，如果未加特殊說明，那么函數(shù)的定義域就是指能使函數(shù)式有意義的所有實數(shù)x構(gòu)成的集合在實際問題中，喊必須考慮自變量x所代表的具體量的允許范圍求函數(shù)的定義域：如果f(x)是整式，那么其定義域是實數(shù)R如果

5、f(x)是分式，那么其定義域是使分母不為0的實數(shù)集合如果f(x)是二次根式（偶次根式），那么其定義域是使根號內(nèi)的式子不小于0的實數(shù)集合如果f(x)是由以上幾個部分式子構(gòu)成的，那么其定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合f(x)=x0的定義域是xR|x0例3：求下列函數(shù)的定義域（1）f(x)=x+1+12-x（2）f(x)=x-2+2+133x+7（3）f(x)=(x+1)0x-x4.函數(shù)的值域函數(shù)的值域是在對應法則f的作用下，自變量x在定義域內(nèi)取值是相應的函數(shù)的集合求函數(shù)的某個函數(shù)值是，可以直接代入解析式，求的相應的函數(shù)值；求函數(shù)的值域時，可以采取不同的方法求解（1）觀察法：對所求的函數(shù)解析式

6、進行簡單變形，通過觀察，得出所求函數(shù)的值域如：函數(shù)y=11+x2（2）配方法：若函數(shù)是二次函數(shù)，或可以化為二次函數(shù)形式，則可以通過配方法求出其值域，但是要注意自變量的取值范圍如：求y=x-2x+3的值域（3）判別式法：將函數(shù)化為因變量y的二次方程，利用判別式0求函數(shù)的值域，常用于分母是二次函數(shù)的分式函數(shù)如：求y=x+1x²+2x+2的值域（4）換元法：對函數(shù)解析式進行適當換元，將復雜的函數(shù)化為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)取值范圍來求函數(shù)的值域如：求y=2x-3+13-4x 的值域（5）分離常數(shù)法：用于求形如y=cx+dax+b 的函數(shù)的值域，艙采用分離常數(shù)法如：求y=3x-2x-

7、1的值域（6）圖像法：做出函數(shù)的圖像，有圖像直觀的得出函數(shù)值域5.區(qū)間設(shè)a，b是兩個實數(shù)，且ab，區(qū)間的定義、名稱、符號及數(shù)軸表示如下表：區(qū)間的左端點必小于右端點用數(shù)軸表示區(qū)間是，要特別注意包括在這個區(qū)間內(nèi)的端點用實心圓點表示，不包括在這個區(qū)間內(nèi)的端點用空心圓點表示無窮大是一個符號，不是一個數(shù)，它不具備數(shù)的已瞎性質(zhì)和運算法則以“+”或“- ”為區(qū)間的一端時，這一端必須是小括號單元素集合不能用區(qū)間表示，如集合0不能表示為0或0,0例4：函數(shù)y=31-1-x的定義域可用區(qū)間表示為_例5：已知集合A=x|5-x0，集合B=x|x|-30，求AB，并用區(qū)間表示考點1：函數(shù)的求值問題1.已知函數(shù)f(x)=3x3+2x,求f(f(1)的值2.已知f(x)=1-2x，則f(12)=_3.已知f(x)=11+x（xR，且x-1），g(x)=x²+2（xR）（1）求f（2），g（2）的值（2）求f(g(2