專題函數(shù)常見題型歸納(教師版)

1、專題函數(shù)常見題型歸納本專題熱點(diǎn)考點(diǎn)可總結(jié)為六類：一是分段函數(shù)的求值問題，二是函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，三是基本函數(shù)的圖像和性質(zhì)，四是函數(shù)圖像的應(yīng)用，五是方程根的問題，六是函數(shù)的零點(diǎn)問題。考點(diǎn)一 分段函數(shù)求值問題【例1】 已知函數(shù)f(x) 若f(a)f(1)0，則實(shí)數(shù)a的值等于()【解析】 由已知，得f(1)2；又當(dāng)x>0時(shí)，f(x)2x>1，而f(a)f(1)0，f(a)2，且a<0，a12，解得a3【例2】設(shè)f(x)則f(f(2)_.【解析】 f(x) 2<0，f(2)102；102>0，f(102)lg1022.【解題技巧點(diǎn)睛】求f(g(x)類型的函數(shù)值時(shí),應(yīng)遵循先

2、內(nèi)后外的原則,而對(duì)于分段函數(shù)的求值問題,必須依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解,特別地對(duì)具有周期性的函數(shù)求值要用好其周期性.考點(diǎn)二 函數(shù)性質(zhì)的基本應(yīng)用【例3】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，)單調(diào)遞增的函數(shù)是()Ayx3 By|x|1 Cyx21 Dy2|x|【答案】B【解析】 A選項(xiàng)中，函數(shù)yx3是奇函數(shù)；B選項(xiàng)中，y1是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)；C選項(xiàng)中，yx21是偶函數(shù)，但在上是減函數(shù)；D選項(xiàng)中，y2|x|x|是偶函數(shù)，但在上是減函數(shù)故選B.【例4】若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則a()【解析】 法一：由已知得f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由于該函數(shù)定義域?yàn)椋猘，故選A.法二：f(x)是奇函數(shù)，f

3、(x)f(x)，又f(x)，則,因函數(shù)的定義域內(nèi)恒成立，可得a.【例5】函數(shù)的圖像與函數(shù)（）的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于( )A2 B4 C6 D8【解題技巧點(diǎn)睛】在解決與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題中,如果結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的簡圖,根據(jù)簡圖進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì),就可以把抽象問題變得直觀形象、復(fù)雜問題變得簡單明了,對(duì)問題的解決有很大的幫助. (1)一般的解題步驟:利用函數(shù)的周期性把大數(shù)變小或小數(shù)變大,然后利用函數(shù)的奇偶性調(diào)整正負(fù)號(hào),最后利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小; (2)畫函數(shù)草圖的步驟:由已知條件確定特殊點(diǎn)的位置,然后利用單調(diào)性確定一段區(qū)間的圖象,再利用奇偶性確定對(duì)稱區(qū)間的圖象,最后利用周期性確定

4、整個(gè)定義域內(nèi)的圖象.考點(diǎn)三 基本函數(shù)的性質(zhì)與圖像 【例6】已知?jiǎng)t( ) A B C D 【答案】C【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知：再由指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，且，所以【?】 對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“”：ab設(shè)函數(shù)f(x)(x22)(xx2)，xR，若函數(shù)yf(x)c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是()【解析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像。 f(x) 則f的圖象如圖：yf(x)c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，yf(x)與yc的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，由圖象知c2，或1<c<.考點(diǎn)四 函數(shù)圖像的應(yīng)用【例8】 設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)f(x)，f(x2)f

5、(x)，則yf(x)的圖像可能是()【答案】B【解析】 由f(x)f(x)可知函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，可以結(jié)合選項(xiàng)排除A、C，再利用f(x2)f(x)，可知函數(shù)為周期函數(shù)，且T2，必滿足f(4)f(2)，排除D，故只能選B.【例9】 已知函數(shù)yf(x)的周期為2，當(dāng)x1,1時(shí)f(x)x2，那么函數(shù)yf(x)的圖像與函數(shù)y|lgx|的圖像的交點(diǎn)共有()【解析】考查數(shù)形結(jié)合思想，在同一直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，故下圖容易判斷出兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為10個(gè)【解題技巧點(diǎn)睛】函數(shù)圖象分析類試題，主要就是推證函數(shù)的性質(zhì)，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)、特殊點(diǎn)的函數(shù)值以及圖象的實(shí)際作出判斷，這類試題在考

6、查函數(shù)圖象的同時(shí)重點(diǎn)是考查探究函數(shù)性質(zhì)、用函數(shù)性質(zhì)分析問題和解決問題的能力利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)函數(shù)圖象作出分析判斷類的試題，已經(jīng)逐漸成為高考的一個(gè)命題熱點(diǎn)?？键c(diǎn)五 與方程根的相關(guān)問題【例10】設(shè),一元二次方程有整數(shù)根的充要條件是= 【答案】 3或4【解析】直接利用求根公式進(jìn)行計(jì)算，然后用完全平方數(shù)、整除等進(jìn)行判斷計(jì)算，因?yàn)槭钦麛?shù)，即為整數(shù)，所以為整數(shù)，且，又因?yàn)?，取，?yàn)證可知符合題意；反之時(shí)，可推出一元二次方程有整數(shù)根【例11】已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_【答案】(0,1)【解析】單調(diào)遞減且值域?yàn)?0,1，單調(diào)遞增且值域?yàn)?，函?shù)f(x)

7、的圖象如圖所示，故有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0,1）考點(diǎn)六 函數(shù)零點(diǎn)問題【例12】在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)ex4x3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()【解析】 因?yàn)閒e2<0，fe1>0，所以f·f<0，又因?yàn)楹瘮?shù)yex是單調(diào)增函數(shù)，y4x3也是單調(diào)增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)ex4x3是單調(diào)增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)ex4x3的零點(diǎn)在內(nèi)【例13】已知函數(shù)f(x)logaxxb(a0，且a1)當(dāng)2a3b4時(shí)，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0(n，n1)，nN*，則n_.【解析】 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)定理的應(yīng)用因?yàn)?<a<3，所以loga2<1lo

8、gaa<loga3，因?yàn)?<b<4，所以b2>1>loga2，b3<1<loga3，所以f(2)·f(3)(loga22b)(loga33b)<0，所以函數(shù)的零點(diǎn)在(2,3)上，所以n2.【例14】 函數(shù)f(x)cosx在0，)內(nèi)()A沒有零點(diǎn) B有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) D有無窮多個(gè)零點(diǎn)【答案】B【解析】 在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出y與ycosx的圖象如圖，由圖象可得函數(shù)f(x)cosx在0，)上只有一個(gè)零點(diǎn)【解題技巧點(diǎn)睛】判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，要根據(jù)具體問題靈活處理，當(dāng)能直接求出零點(diǎn)時(shí)，就直接求出進(jìn)行判斷；當(dāng)不能直接

9、求出時(shí)，可根據(jù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷；當(dāng)用零點(diǎn)存在性定理也無法判斷時(shí)可畫出圖象判斷 針對(duì)性訓(xùn)練一填空題部分。1.“”是“函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)”的_條件。解析：在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則，即，或，“”是“或”的充分不必要條件，“”是“函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)”的充分不必要條件.2.若，則函數(shù)的圖像大致是_解析： 函數(shù)在定義域?yàn)闇p函數(shù)，將函數(shù)故答案為B。3.設(shè)若，則的值是_ 解析：4.實(shí)數(shù)的由小到大的關(guān)系是_ 答案：解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，。5.函數(shù)在定義域內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_ 解析：在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與的圖像，可以看到2個(gè)函數(shù)的圖像在第二象限有2個(gè)交點(diǎn)，在第一象限有1個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)在定義域內(nèi)

10、有3個(gè)零點(diǎn)。6.若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則的取值范圍為_解析： 由函數(shù)得在上的最大值是，最小值是所以，解得.7.已知是奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)_解析： 由是奇函數(shù)，且，得，所以函數(shù)的周期又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí).8.已知函數(shù)則關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題：存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有1個(gè)不同實(shí)根；存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同實(shí)根；存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有3個(gè)不同實(shí)根；存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同實(shí)根；其中假命題的個(gè)數(shù)是 _答案：2個(gè)解析： 當(dāng)當(dāng)當(dāng)是增函數(shù)，是減函數(shù)，由得方程解的個(gè)數(shù)即與的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由圖像得當(dāng)有1個(gè)解；當(dāng)有2解。9.設(shè)是定義在上的增函數(shù)，且對(duì)于任意的都有恒成立. 如果實(shí)數(shù)滿足不等式組，那么的取值范圍是_解析：由得，又，.是上的增函數(shù)， 又，結(jié)合圖象知為半圓內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故，10.若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) .解析：11.已知函數(shù)若方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 _ _答案：解析：若方程有解，即函數(shù)的值域即為的范圍，故實(shí)數(shù)的取值范圍是12.函數(shù)的最大值為 .解析： 因?qū)μ?hào)函數(shù)在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值為5.13.若不等式