課后習(xí)題解答

1、彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程（第四版）課后習(xí)題解答徐芝綸【2-8】在圖2-16中，試導(dǎo)出無(wú)面力作用時(shí)AB邊界上的之間的關(guān)系式【解答】由題可得： 將以上條件代入公式（2-15），得：【2-9】試列出圖2-17，圖2-18所示問(wèn)題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。圖2-17 圖2-18【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件，若為小邊界也可寫成圣維南原理的三個(gè)積分形式，大邊界上應(yīng)精確滿足公式（2-15）。【解答】圖2-17：上（y=0）左(x=0)右（x=b）0-11-100000代入公式（2-15）得在主要邊界上x(chóng)=0，x=b上精確滿足應(yīng)力邊界條件：在小邊界上，

2、能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件：在小邊界上，能精確滿足下列位移邊界條件：這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來(lái)代替，當(dāng)板厚時(shí)，可求得固定端約束反力分別為：由于為正面，故應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，則有：圖2-18上下主要邊界y=-h/2，y=h/2上，應(yīng)精確滿足公式（2-15）(s)(s)0-1001-0，在=0的小邊界上，應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：負(fù)面上應(yīng)力與面力符號(hào)相反，有在x=l的小邊界上，可應(yīng)用位移邊界條件這兩個(gè)位移邊界條件也可改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來(lái)代替。首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設(shè)畫反力，如圖所示，列平衡方程求反力：由于x=l為

3、正面，應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，故【2-10】試應(yīng)用圣維南原理，列出圖2-19所示的兩個(gè)問(wèn)題中OA邊上的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，并比較兩者的面力是否是是靜力等效？【解答】由于，OA為小邊界，故其上可用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：(a)上端面OA面上面力由于OA面為負(fù)面，故應(yīng)力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號(hào)相反，有(對(duì)OA中點(diǎn)取矩)()應(yīng)用圣維南原理，負(fù)面上的應(yīng)力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號(hào)相反，面力主矢y向?yàn)檎?，主矩為?fù)，則綜上所述，在小邊界OA上，兩個(gè)問(wèn)題的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件相同，故這兩個(gè)問(wèn)題是靜力等效的?！?-11】檢驗(yàn)平面問(wèn)題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？【解答

4、】（1）在區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程式（2-18）；（2）在上用位移表示的應(yīng)力邊界條件式（2-19）；（3）在上的位移邊界條件式（2-14）；對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，需將E、作相應(yīng)的變換。【分析】此問(wèn)題同時(shí)也是按位移求解平面應(yīng)力問(wèn)題時(shí)，位移分量必須滿足的條件?！?-12】檢驗(yàn)平面問(wèn)題中的應(yīng)力分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】（1）在區(qū)域A內(nèi)的平衡微分方程式（2-2）；（2）在區(qū)域A內(nèi)用應(yīng)力表示的相容方程式（2-21）或（2-22）； （3）在邊界上的應(yīng)力邊界條件式（2-15），其中假設(shè)只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問(wèn)題；（4）對(duì)于多連體，還需滿足位移單值條件?！痉治觥看藛?wèn)題同時(shí)也是按應(yīng)力求解平

5、面問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力分量必須滿足的條件?！狙a(bǔ)題】檢驗(yàn)平面問(wèn)題中的應(yīng)變分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】用應(yīng)變表示的相容方程式（2-20）【2-13】檢驗(yàn)平面問(wèn)題中的應(yīng)力函數(shù)是否為正確解答的條件是什么？【解答】（1）在區(qū)域A內(nèi)用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程式（2-25）；（2）在邊界S上的應(yīng)力邊界條件式（2-15），假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件；（3）若為多連體，還需滿足位移單值條件?！痉治觥看藛?wèn)題同時(shí)也是求解應(yīng)力函數(shù)的條件。【2-14】檢驗(yàn)下列應(yīng)力分量是否是圖示問(wèn)題的解答： 圖2-20 圖2-21（a）圖2-20，?！窘獯稹吭趩芜B體中檢驗(yàn)應(yīng)力分量是否是圖示問(wèn)題的解答，必須滿足：（1）平衡微分方程（2-2）

6、；（2）用應(yīng)力表示的相容方程（2-21）；（3）應(yīng)力邊界條件（2-15）。（1）將應(yīng)力分量代入平衡微分方程式，且 顯然滿足（2）將應(yīng)力分量代入用應(yīng)力表示的相容方程式（2-21），有等式左=右應(yīng)力分量不滿足相容方程。因此，該組應(yīng)力分量不是圖示問(wèn)題的解答。（b）圖2-21，由材料力學(xué)公式，(取梁的厚度b=1)，得出所示問(wèn)題的解答:，。又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件得出：。試導(dǎo)出上述公式，并檢驗(yàn)解答的正確性?！窘獯稹浚?）推導(dǎo)公式在分布荷載作用下，梁發(fā)生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1，高為h的矩形，其對(duì)中性軸（Z軸）的慣性矩，應(yīng)用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪力方程。所以截面內(nèi)任意點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力

7、分別為：。根據(jù)平衡微分方程第二式（體力不計(jì)）。得： 根據(jù)邊界條件得 故 將應(yīng)力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式： 滿足第二式 自然滿足將應(yīng)力分量代入相容方程（2-23）應(yīng)力分量不滿足相容方程。故，該分量組分量不是圖示問(wèn)題的解答。14第一章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答【3-1】為什么在主要邊界（大邊界）上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件式（2-15），而在小邊界上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來(lái)代替？如果在主要邊界上用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替式（2-15），將會(huì)發(fā)生什么問(wèn)題？【解答】彈性力學(xué)問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問(wèn)題，而要使邊界條件完全得到滿足，往往比較困

8、難。這時(shí)，圣維南原理可為簡(jiǎn)化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對(duì)遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì)。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來(lái)代替精確的應(yīng)力邊界條件（公式2-15），就會(huì)影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會(huì)使問(wèn)題的解答精度不足。【3-2】如果在某一應(yīng)力邊界問(wèn)題中，除了一個(gè)小邊界條件，平衡微分方程和其它的應(yīng)力邊界條件都已滿足，試證：在最后的這個(gè)小邊界上，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件必然是自然滿足的，固而可以不必校核?！窘獯稹繀^(qū)域內(nèi)的每一微小單元均滿足平衡條件，應(yīng)力邊界條件實(shí)質(zhì)上是邊

9、界上微分體的平衡條件，即外力（面力）與內(nèi)力（應(yīng)力）的平衡條件。研究對(duì)象整體的外力是滿足平衡條件的，其它應(yīng)力邊界條件也都滿足，那么在最后的這個(gè)次要邊界上，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件是自然滿足的,因而可以不必校核?！?-3】如果某一應(yīng)力邊界問(wèn)題中有m個(gè)主要邊界和n個(gè)小邊界，試問(wèn)在主要邊界和小邊界上各應(yīng)滿足什么類型的應(yīng)力邊界條件，各有幾個(gè)條件？【解答】在m個(gè)主要邊界上，每個(gè)邊界應(yīng)有2個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件，公式（2-15），共2m個(gè)；在n個(gè)次要邊界上，如果能滿足精確應(yīng)力邊界條件，則有2n個(gè)；如果不能滿足公式（2-15）的精確應(yīng)力邊界條件，則可以用三個(gè)靜力等效的積分邊界條件來(lái)代替2個(gè)精確應(yīng)力邊界條件，共3n

10、個(gè)。【3-4】試考察應(yīng)力函數(shù)在圖3-8所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問(wèn)題(體力不計(jì))? 【解答】相容條件:不論系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)總能滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，式(2-25).求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，將應(yīng)力函數(shù)代入公式(2-24)，得考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無(wú)面力.左右邊界上；當(dāng)a>0時(shí)，考察分布情況，注意到，故y向無(wú)面力左端: 右端: 應(yīng)力分布如圖所示，當(dāng)時(shí)應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩A主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問(wèn)題。偏心距e：因?yàn)樵贏點(diǎn)的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為b，集中荷載p的偏心距e：同理可知，當(dāng)<

11、0時(shí)，可以解決偏心壓縮問(wèn)題?！?-5】取滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)為：試求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），畫出圖3-9所示彈性體邊界上的面力分布，并在小邊界上表示出面力的主矢量和主矩?！窘獯稹浚?）由應(yīng)力函數(shù)，得應(yīng)力分量表達(dá)式考察邊界條件，由公式（2-15）主要邊界，上邊界上，面力為 主要邊界，下邊界，面力為 次要邊界，左邊界x=0上，面力的主矢，主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：次要邊界，右邊界x=l上，面力的主矢，主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：彈性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢，主矩如圖所示將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24），得應(yīng)力分量表達(dá)式，考察應(yīng)力邊界條件，主要邊界,由公式（2-15）得在主

12、要邊界，上邊界上，面力為在，下邊界上，面力為在次要邊界上，分布面力可按(2-15)計(jì)算，面里的主矢、主矩可通過(guò)三個(gè)積分邊界條件求得：在左邊界x=0，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢：y向主矢：主矩；在右邊界x=l上，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：彈性體邊界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如圖所示（3）將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24），得應(yīng)力分量表達(dá)式考察應(yīng)力邊界條件，在主要邊界上應(yīng)精確滿足式（2-15）次要邊界上，分布面力可按（2-15）計(jì)算，面力的主矢、主矩可通過(guò)三個(gè)積分邊界求得：左邊界x=0上，面力分布為右邊界上，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢y向主矢

13、：主矩：彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界上面力的主矢和主矩，如圖所示【3-6】試考察應(yīng)力函數(shù)，能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），畫出圖3-9所示矩形體邊界上的面力分布（在小邊界上畫出面力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)能解決的問(wèn)題?！窘獯稹浚?）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25），顯然滿足（2）將代入式（2-24），得應(yīng)力分量表達(dá)式（3）由邊界形狀及應(yīng)力分量反推邊界上的面力：在主要邊界上（上下邊界）上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件式（2-15），應(yīng)力因此，在主要邊界上，無(wú)任何面力，即在x=0，x=l的次要邊界上，面力分別為：因此，各邊界上的面力分布如圖所示：在x=0，x=l的次要邊界上，面力可寫成主矢、主矩形式：x=0上 x=l上 因此，可以畫出主要邊界上的面力，和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖：(a) (b)因此，該應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F作用的問(wèn)題?！?-7】試證能滿足相容方程，并考察它在圖3-9所示矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問(wèn)題（設(shè)矩形板的長(zhǎng)度為l，深度為h，體力不計(jì)）。【解答】(1)將應(yīng)力函數(shù)代入式（2-25），代入（2-25），可知應(yīng)