《高中最全數(shù)學(xué)解題的思維策略》

1、一、高中數(shù)學(xué)解題的思維策略很抱歉這么晚才來(lái)給大家講課，因?yàn)榻衲晔罴賱側(cè)グ不諏懮媹D，昨天下午坐了24個(gè)小時(shí)的火車過(guò)來(lái)，誤了4天的課程，最后咱們下午物理上完之后再給大家補(bǔ)課，再給大家補(bǔ)5天的課程， 去年高考難，很多學(xué)生數(shù)學(xué)考得也很不錯(cuò)，很多人可能會(huì)問(wèn)補(bǔ)課有用嗎。給大家舉個(gè)例子，那幾年留學(xué)很流行，大家可能會(huì)說(shuō)，留學(xué)很貴，實(shí)際上很多海歸回來(lái)后一年的工資就把多花的掙回來(lái)了，補(bǔ)課也是，講到的某些知識(shí)點(diǎn)能被大家用到高考中，增加分?jǐn)?shù)，高考中分?jǐn)?shù)的重要性，我姐是個(gè)老師，我姐經(jīng)常說(shuō)孩子們考好了，家長(zhǎng)就說(shuō)，考不好，家長(zhǎng)就說(shuō)老師和郭師哥教的不好，實(shí)際上主體還是我們學(xué)生，次要的才是老師，家長(zhǎng)，環(huán)境，據(jù)去年那批學(xué)生反映

2、最后對(duì)我們3個(gè)教的還不錯(cuò)，我先講一下我補(bǔ)課大概基本要講的內(nèi)容，把大家數(shù)學(xué)必修的知識(shí)點(diǎn)基本過(guò)一遍，再做相應(yīng)的習(xí)題，中間穿插還有很多我個(gè)人感覺很多好題；很多我歸納的知識(shí)和一些數(shù)學(xué)技巧；在最后2天我要給大家講一下數(shù)學(xué)解題策略，如果最后還有時(shí)間的話，還會(huì)給大家講一下一些英語(yǔ)，語(yǔ)文和其他科目的技巧。導(dǎo) 讀數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的途徑，是進(jìn)行有效的訓(xùn)練，本策略結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況，從以下四個(gè)方面進(jìn)行講解：一、數(shù)學(xué)思維的變通性(舉例子過(guò)幾天再給他們講，考試的時(shí)候有些難題大家容易鉆牛角尖，這個(gè)變通不只是說(shuō)思維，也可以說(shuō)是大家對(duì)數(shù)學(xué)卷子的一種變通，高考120分鐘，12道選擇，4

3、道填空，基本用時(shí)不超過(guò)50分鐘，選這題一般最后2個(gè)比較難，填空題一般最后一個(gè)比較難，大家很容易被這卡主，流汗，緊張，看到你旁邊的人第2道大題都快做完了，這下就慌了，心想肯定完了，最后整個(gè)卷子全部慌了，后面計(jì)算正確率也不高了，整個(gè)考試最后也可想而知。應(yīng)該怎么辦呀，先做會(huì)的，把整個(gè)卷子會(huì)做的做完了，再去做會(huì)做的，即使有些題不會(huì)做也沒關(guān)系，大題都是按步驟給分，步驟對(duì)了，也會(huì)給分。) 根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活設(shè)想和解題方案二、數(shù)學(xué)思維的反思性 （大家以后會(huì)遇到很多你不會(huì)的題，也會(huì)遇到很多你會(huì)但是做錯(cuò)了的但是又拿很少分的題，大家錯(cuò)了后又該怎么辦呢，改錯(cuò)本的應(yīng)用，改錯(cuò)本的技巧，應(yīng)該記下什么樣的錯(cuò)題或者

4、什么樣的題，舉例比如我高考前有一段時(shí)間發(fā)現(xiàn)我計(jì)算老是出問(wèn)題，因?yàn)橛?jì)算老是丟分，而且還丟不少分，物理也是，那該怎么辦呢，考試卷子后面答案練習(xí)計(jì)算能力，不但數(shù)學(xué)計(jì)算能力提高，物理也提高，（物理比如說(shuō)磁場(chǎng)和能量那很多計(jì)算題，），一舉兩得，分析原因，是計(jì)算問(wèn)題，還是粗心問(wèn)題，還是基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢固，公式?jīng)]記住，都要對(duì)每一道錯(cuò)題反思）提出獨(dú)特見解，檢查思維過(guò)程，不盲從、不輕信。三、數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性 考察問(wèn)題嚴(yán)格、準(zhǔn)確，運(yùn)算和推理精確無(wú)誤。五數(shù)學(xué)思維的歸納總結(jié)性在日后的學(xué)習(xí)中也會(huì)交給大家對(duì)一些常用如對(duì)數(shù)例，解析幾何（解釋），等很多的舉例，也會(huì)在日后交給大家一些高考的答題技巧。六學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)我感覺任何一個(gè)

5、想學(xué)好考好的學(xué)生，習(xí)慣是很重要的，去年有幾個(gè)學(xué)生我感覺挺聰明的，但是最后考的不理想，平時(shí)老是玩手機(jī)，玩qq，玩空間，什么樣的角色做什么樣的事。還有上課該怎么利用，有些同學(xué)感覺上課老師講的知識(shí)點(diǎn)我下來(lái)再記，主要的時(shí)間還是在課堂，能在課堂記住的課堂一定要記住，大家肯定有學(xué)習(xí)好一點(diǎn)的，也有不好一點(diǎn)的，大家到這的目的只有一個(gè)，那就是來(lái)學(xué)習(xí)了，平時(shí)學(xué)習(xí)要堅(jiān)持，誰(shuí)堅(jiān)持到最后誰(shuí)笑的最美，有不會(huì)的就要問(wèn)，七考試的心態(tài)。不是先告訴大家要自信，在考場(chǎng)上我感覺最重要的要有一種緊迫感但是又不慌（就好像有人在后面催的你了），舉例，接下來(lái)的才是自信。（萬(wàn)萬(wàn)不可因?yàn)橛悬c(diǎn)成績(jī)就驕傲，大家眼光一定要放遠(yuǎn)，你的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手是宣化一中

6、，張家口一中，很水一中，咱們陽(yáng)原一中有個(gè)特點(diǎn)，我感到很不可思議，就是每年高考前半個(gè)月或者一個(gè)星期，學(xué)校就給大家放假，我看去年補(bǔ)課的學(xué)生，很多塊高考呀，都開始照相，玩qq,轉(zhuǎn)呀,直到高考最后移門大家那顆緊繃心都不能放下）第一講 數(shù)學(xué)思維的變通性一、概念數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活的設(shè)想和解題方案。根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練： （1）善于觀察 心理學(xué)告訴我們：感覺和知覺是認(rèn)識(shí)事物的最初級(jí)形式，而觀察則是知覺的高級(jí)狀態(tài)，是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺。觀察是認(rèn)識(shí)事物最

7、基本的途徑，它是了解問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的前提。任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對(duì)題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過(guò)表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。例如，求和.這些分?jǐn)?shù)相加，通分很困難，但每項(xiàng)都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且，因此，原式等于問(wèn)題很快就解決了。（2）善于聯(lián)想 聯(lián)想是問(wèn)題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問(wèn)題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問(wèn)題打開缺口，不斷深入。例如，解方程組.這個(gè)方程指明兩

8、個(gè)數(shù)的和為，這兩個(gè)數(shù)的積為。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理，、是一元二次方程 的兩個(gè)根，所以或.可見，聯(lián)想可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。（3）善于將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)家G . 波利亞在怎樣解題中說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換。可見，解題過(guò)程是通過(guò)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題，把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具體問(wèn)題，把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知問(wèn)題。在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問(wèn)題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。思維變通性的對(duì)立面是思維的保守性，即思維定勢(shì)。思維定勢(shì)是指一個(gè)人用同一種思維方法解決若干問(wèn)題以后，往往會(huì)用同樣的思維方法解決以后的問(wèn)題。它表現(xiàn)就是記類

9、型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的具體體現(xiàn)。要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。 二、思維訓(xùn)練實(shí)例（1） 觀察能力的訓(xùn)練 雖然觀察看起來(lái)是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以，必須重視觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來(lái)解題。例1 已知都是實(shí)數(shù)，求證 思路分析 從題目的外表形式觀察到，要證的結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而xyO圖121左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。根據(jù)其特點(diǎn)，可采用下面巧妙而簡(jiǎn)捷的證法

10、，這正是思維變通的體現(xiàn)。證明 不妨設(shè)如圖121所示，則 在中，由三角形三邊之間的關(guān)系知： 當(dāng)且僅當(dāng)O在AB上時(shí)，等號(hào)成立。 因此， 思維障礙 很多學(xué)生看到這個(gè)不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。學(xué)生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點(diǎn)間距離公式相似的原因，是對(duì)這個(gè)公式不熟，進(jìn)一步講是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握不牢固。因此，平時(shí)應(yīng)多注意數(shù)學(xué)公式、定理的運(yùn)用練習(xí)。例2 已知，試求的最大值。解 由 得又當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為思路分析 要求的最大值，由已知條件很快將變?yōu)橐辉魏瘮?shù)然后求極值點(diǎn)的值，聯(lián)系到，這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維

11、的變通性。思維障礙 大部分學(xué)生的作法如下：由 得 當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為這種解法由于忽略了這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。有些問(wèn)題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手。例3 已知二次函數(shù)滿足關(guān)系，試比較與的大小。xyO2圖122思路分析 由已知條件可知，在與左右等距離的點(diǎn)的函數(shù)值相等，說(shuō)明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，又由已知條件知它的開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致圖像簡(jiǎn)捷地解出此題。解 （如圖122）由，知是以直線為對(duì)稱軸，開口向上的拋物線

12、它與距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。思維障礙 有些同學(xué)對(duì)比較與的大小，只想到求出它們的值。而此題函數(shù)的表達(dá)式不確定無(wú)法代值，所以無(wú)法比較。出現(xiàn)這種情況的原因，是沒有充分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時(shí)要全面看問(wèn)題，對(duì)每一個(gè)已知條件都要仔細(xì)推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。提高思維的變通性。（2） 聯(lián)想能力的訓(xùn)練.（練想法一般用到什么時(shí)候，感覺用一般的想法算不出來(lái)的時(shí)候用聯(lián)想法）例4 在中，若為鈍角，則的值(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能確定思路分析 此題是在中確定三角函數(shù)的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩角和公式可得下面解法。解 為鈍角，.在中且故應(yīng)選擇

13、（B）思維障礙 有的學(xué)生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對(duì)三角函數(shù)的基本公式掌握得不牢固，不能準(zhǔn)確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運(yùn)用基本公式。例5 若思路分析 此題一般是通過(guò)因式分解來(lái)證。但是，如果注意觀察已知條件的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識(shí)來(lái)證題。證明 當(dāng)時(shí)，等式 可看作是關(guān)于的一元二次方程有等根的條件，在進(jìn)一步觀察這個(gè)方程，它的兩個(gè)相等實(shí)根是1 ，根據(jù)韋達(dá)定理就有： 即 若，由已知條件易得 即,顯然也有.例6 已知均為正實(shí)數(shù),滿足關(guān)系式,又為不小于的自然數(shù)，求證:思路分析 由條件聯(lián)想到勾股定理,可構(gòu)成直角三角形的三邊，進(jìn)一步

14、聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。證明 設(shè)所對(duì)的角分別為、則是直角，為銳角，于是 且當(dāng)時(shí)，有于是有即 從而就有 思維阻礙 由于這是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)的命題，一些學(xué)生都會(huì)想到用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明，難以進(jìn)行數(shù)與形的聯(lián)想，原因是平時(shí)不注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，單純學(xué)代數(shù)，學(xué)幾何，因而不能將題目條件的數(shù)字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起來(lái)。（3） 問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練我們所遇見的數(shù)學(xué)題大都是生疏的、復(fù)雜的。在解題時(shí)，不僅要先觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)知識(shí)，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的，簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使問(wèn)題很快得到解決，所以，進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練是很必要的。 轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目 例11 已知求證、中至

15、少有一個(gè)等于1。思路分析 結(jié)論沒有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式。、中至少有一個(gè)為1，也就是說(shuō)中至少有一個(gè)為零，這樣，問(wèn)題就容易解決了。證明 于是 中至少有一個(gè)為零，即、中至少有一個(gè)為1。思維障礙 很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個(gè)為1，其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生問(wèn)題變?yōu)槭煜?wèn)題。因此，多練習(xí)這種“翻譯”，是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。例12 直線的方程為，其中；橢圓的中心為，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)半軸為2，短半軸為1，它的一個(gè)頂點(diǎn)為，問(wèn)在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中的每一點(diǎn)到

16、點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到直線的距離。思路分析 從題目的要求及解析幾何的知識(shí)可知，四個(gè)不同的點(diǎn)應(yīng)在拋物線 （1）是，又從已知條件可得橢圓的方程為 （2）因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)方程組（1）、（2）有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，求的取值范圍。將（2）代入（1）得： （3）確定的范圍，實(shí)際上就是求（3）有兩個(gè)不等正根的充要條件，解不等式組： 在的條件下，得 本題在解題過(guò)程中，不斷地把問(wèn)題化歸為標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題：解方程組和不等式組的問(wèn)題。 逆向思維的訓(xùn)練逆向思維不是按習(xí)慣思維方向進(jìn)行思考，而是從其反方向進(jìn)行思考的一種思維方式。當(dāng)問(wèn)題的正面考慮有阻礙時(shí)，應(yīng)考慮問(wèn)題的反面，從反面入手，使問(wèn)題得到解決。例13 已知函數(shù)，求證、中至少有一個(gè)不小于1.思路分析 反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它也是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的解題方法。當(dāng)要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般可考慮采用反證法。