課題學習最短路徑問題公開課

1、第十三章第十三章 軸對稱軸對稱復習引入線段公理：兩點之間，線段最短.垂線段性質： 垂線段最短.AB最短路徑問題BAl問題問題1如圖，牧馬人從如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河地出發(fā)，到一條筆直的河邊邊 l 飲馬，然后到飲馬，然后到B地牧馬人到河邊的什么地地牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？方飲馬，可使所走的路徑最短？ 思考：思考：你能把這個問題轉化你能把這個問題轉化為數學問題嗎？為數學問題嗎？ABllABCC轉化為數學問題轉化為數學問題 當點當點C在直線在直線 l 的什么位置時，的什么位置時，AC與與BC的和最小？的和最?。糠治觯悍治觯篈Bl 如圖，點如圖，點A、B分別是直線

2、分別是直線l異側的兩個點，異側的兩個點，如何在如何在 l 上找到一個點，使得這個點到點上找到一個點，使得這個點到點A、點、點B的距離的和最短？的距離的和最短？聯(lián)想：聯(lián)想：兩點之間，線段最短.lABC（1）這兩個問題之間，有什么相同點和不同點？（2）我們能否把A、B兩點轉化到直線l 的異側呢？ 轉化需要遵循的原則是什么？（3）利用什么知識可以實現(xiàn)轉化目標？分析：分析：lABClABClABCB 如下左圖，作點如下左圖，作點B關于直線關于直線 l 的對稱點的對稱點B .當點當點C在直線在直線 l 的什么位置時，的什么位置時，AC與與CB的和最??？的和最?。咳缟嫌覉D，在連接如上右圖，在連接AB兩點的

3、線中，線段兩點的線中，線段AB最短最短. 因此，線段因此，線段AB與直線與直線 l 的交點的交點C的位置即為所求的位置即為所求.lABCB 在直線在直線 l 上任取另一點上任取另一點C ，連接連接AC 、BC 、B C 直線直線 l 是點是點B、B的對稱軸，的對稱軸， 點點C、C在對稱軸上，在對稱軸上，BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB在在ABC中，中，AB AC+BC， AC+BC AC+BC，即即AC+BC最小最小lABCBC證明：如圖證明：如圖.問題問題1 歸納歸納“一線兩點一線兩點”lABClABCBlABC抽象為數學問題抽象為數學問題用舊知解決新知用舊知解決新知聯(lián)想

4、舊知聯(lián)想舊知解決實解決實際問題際問題ABl問題問題2 （造橋選址問題）如圖，（造橋選址問題）如圖，A和和B兩地在同一條兩地在同一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN橋造在何橋造在何處可使從處可使從A到到B的路徑的路徑AMNB最短？（假定河的兩最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直岸是平行的直線，橋要與河垂直.） 思考：思考：你能把這個問題轉化你能把這個問題轉化為數學問題嗎？為數學問題嗎？ 如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么折線AMNB在在什么情況下最短呢？分析：分析：aBAbMN 由于河寬是固定的，因此當AM+NB

5、最小時，AM+MN+NB最小.分析：分析：lABCaBAbMNA 如左圖，如果將點A沿與河岸垂直的方向平移到點A，使AA等于河寬，則AA=MN，AM=AN，問題轉化為：當點N在直線b的什么位置時，AN+NB最小？參考右圖，利用“兩點之間，線段最短”可以解決. 如圖，沿垂直于河岸的方向平移A到A，使AA等于河寬，連接AB交河岸于點N，在點N處造橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.aBAbMNA解：解：另任意造橋MN，連接AM、BN、AN.由平移性質可知，AMAN，AMAN，AAMNM N.AM+MN+BNAA+AB， AM+MN+BNAA+AN+BN.在ANB中，由線段公理知AN+BN AB，

6、AM +MN +BN AM+MN+BN.證明：證明：aBAbMNANM問題問題2 歸納歸納抽象為數學問題抽象為數學問題用舊知解決新知用舊知解決新知聯(lián)想舊知聯(lián)想舊知解決實解決實際問題際問題aBAbMNlABCaBAbMNA小結歸納小結歸納aBAbMNAlABClABCB軸對稱軸對稱變換變換平移平移變換變換兩點之間，線段最短. 如圖，A為馬廄，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到馬廄. 請你幫他確定這一天的最短路線.草 地小 河A課堂練習已知：如圖，在l1、l2之間有一點A.求作：分別在l1、l2上確定一點M、N，使AM+MN+NA最小.l1l2AMNl1l2 如圖，作點A關于l1和l2的對稱點A1、A2，連接A1A2，交l1于M點，交l2于N點. 連接AM和AN，則AM+MN+NA最小. 因此，那天這樣走路線最短.MNA1AA2方法歸納：方法歸納：“兩線一點兩線一點”要作兩次軸對稱要作兩次軸對稱課堂小結AB線段公理：兩點之間，線段最短.最短路徑問題垂線段性質：垂線段最短.BAlaBAbMNAlABCB教材復習題13 第15題.課后作業(yè)1.必做作業(yè) 你也許很喜歡臺球，在玩臺球過程中也用到數學知識.如圖，四邊形ABCD是長方形的球桌臺面，有兩個球分別位于P、Q兩點上，先找出P