數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)

1、.數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般都要經(jīng)歷概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的應(yīng)用包括概念所涉及的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用等階段。在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，很多老師往往不注重概念的形成過程，只重視概念的運(yùn)用，無視數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與形成的重要階段，強(qiáng)行地將一些新的數(shù)學(xué)概念灌輸給學(xué)生，無從表達(dá)學(xué)生的主體性，將嚴(yán)重影響學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀，阻礙學(xué)生的才能開展。造成這種現(xiàn)象的原因，一方面是由于老師的教學(xué)觀念比較陳舊，在教學(xué)中不重視學(xué)生的思維活動,不能使學(xué)生的認(rèn)知過程成為一個再創(chuàng)造的過程,實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)、理解、創(chuàng)造與應(yīng)用；另一方面是許多老師不知如何創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動

2、。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，如何設(shè)計(jì)有效的問題情景，充分調(diào)動學(xué)生參與課堂教學(xué)活動，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、類比、猜測、歸納、抽象、概括、推廣等思維活動，探究規(guī)律，得出新的數(shù)學(xué)概念。從而使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過程，進(jìn)步他們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識程度，掌握數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)才能，這是數(shù)學(xué)概念教學(xué)要研究的首要問題。一、創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景的途徑數(shù)學(xué)概念有些是由消費(fèi)、生活實(shí)際問題中抽象出來的，有些是由數(shù)學(xué)自身的開展而產(chǎn)生的，許多數(shù)學(xué)概念源于生活實(shí)際，但又依賴已有的數(shù)學(xué)概念而產(chǎn)生。根據(jù)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的方式及數(shù)學(xué)思維的一般方法，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，可以用以下幾種方法來創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景。一回憶已有相似概念

3、，創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景中學(xué)數(shù)學(xué)中有許多概念具有相似的屬性，對于這些概念的教學(xué)，老師可先引導(dǎo)學(xué)生研究已學(xué)過的概念屬性，然后創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，嘗試給新概念下定義，這樣新的概念容易在原有的認(rèn)知構(gòu)造中得以同化與構(gòu)建。例1異面直線的間隔 的教學(xué)1展示概念背景：向?qū)W生指出：刻劃兩條異面直線的相對位置的一個幾何量異面直線所成的角，這只能反映兩異面直線的傾斜程度，假設(shè)要刻劃其遠(yuǎn)近程度，需要用另一個量異面直線之間的間隔 。2創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景：先引導(dǎo)學(xué)生回憶一下過去學(xué)過的有關(guān)間隔 的概念點(diǎn)與點(diǎn)間的間隔 、點(diǎn)到直線的間隔 、平行線之間的間隔 ，并概括出它們的共同點(diǎn)：各種間隔 概念都?xì)w結(jié)

4、為點(diǎn)與點(diǎn)間的間隔 ；每種間隔 都是確定的而且是最小的。3啟迪發(fā)現(xiàn)階段：指出定義兩異面直線的間隔 也必須遵循上述原那么，然后引導(dǎo)學(xué)生討論：異面直線a、b上哪兩點(diǎn)之間的間隔 最??？為什么？進(jìn)一步誘導(dǎo)：如右圖，過直線a上一點(diǎn)B作AB直線b，垂足為點(diǎn)A，那么線段AB的長為異面直線a,b間的間隔 ,對嗎?因?yàn)檫^A作AC直線a，垂足為C，在RTABC中有ABAC,即AB不具有最小性。再過C作CD直線b，如此下去，線段只垂直于a、b中的一條時,總是某直角三角形的斜邊,不可能是a、b上任兩點(diǎn)間間隔 的最小者，那么，異面直線a、b上任兩點(diǎn)間間隔 的最小者到底應(yīng)該是哪條線段的長呢？學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：可能是與異面直線a、

5、b都垂直相交的線段。4表述論證階段：最后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：異面直線a、b的公垂線段MN的長度具有最小性,又公垂線是唯一的，所以，可以把線段MN定義為異面直線a,b之間的間隔 。以上通過引導(dǎo)學(xué)生研究已有“間隔 概念的本質(zhì)特點(diǎn)，即產(chǎn)生新的概念的“生長點(diǎn)，以類比方法獲得異面直線間隔 的概念，學(xué)生覺得這一概念是已有間隔 概念的一種自然開展，不感到別扭。這樣的概念還有很多，如復(fù)數(shù)的模與實(shí)數(shù)的絕對值類比、二次方程與一次方程的類比、空間的二面角與平面的角類比等等。這類數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)一定要抓住新舊概念的相似點(diǎn)，為新的數(shù)學(xué)概念的形成提供必要的“認(rèn)知根底，通過與熟悉的概念類比類比的形式多樣，如平面與空間的

6、類比、高維與低維的類比、有限與無限的類比，還有方法類比、構(gòu)造類比、形式類比等等，可使學(xué)生更好地認(rèn)識、理解、掌握新的數(shù)學(xué)概念。當(dāng)然要注意類比得出的結(jié)論不一定正確，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生修正錯誤的類比設(shè)想，直到得出正確結(jié)果。二由已有相關(guān)概念的比較，創(chuàng)設(shè)歸納發(fā)現(xiàn)的問題情景有些數(shù)學(xué)概念是已有概念的擴(kuò)大，假設(shè)能提醒概念的擴(kuò)大規(guī)律，便可以水到渠成地引入新概念。例2復(fù)數(shù)概念的教學(xué)先回憶已經(jīng)歷過的幾次數(shù)集擴(kuò)大的事實(shí)：正整數(shù)自然數(shù)非負(fù)有理數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)，然后老師提出以下問題:1上述數(shù)集擴(kuò)大的原因及其規(guī)律如何？實(shí)際問題的需要使得在已有的數(shù)集內(nèi)有些運(yùn)算無法進(jìn)展，數(shù)集的擴(kuò)大過程表達(dá)了如下規(guī)律：每次擴(kuò)大都增加規(guī)定了新元素；在原數(shù)集內(nèi)

7、成立的運(yùn)算規(guī)律，在數(shù)集擴(kuò)大后的更大范圍內(nèi)仍然成立；擴(kuò)大后的新數(shù)集里能解決原數(shù)集不能解決的問題。有了上述準(zhǔn)備后，老師提出問題：負(fù)數(shù)不能開平方的事實(shí)說明實(shí)數(shù)集不夠完善，因此提出將實(shí)數(shù)集擴(kuò)大為一個更為完好的數(shù)集的必要性。那么，怎樣解決這個問題呢？2借鑒上述規(guī)律，為了擴(kuò)大實(shí)數(shù)集，引入新元素i，并作出兩條規(guī)定。略這樣學(xué)生對i的引入不會感到疑惑，對復(fù)數(shù)集概念的建立也不會覺得突然，使學(xué)生的思維很自然地步入知識發(fā)生和形成的軌道中，為概念的理解和進(jìn)一步研究奠定根底。這類數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)的關(guān)鍵是提醒出相關(guān)概念的擴(kuò)大開展的背景及其規(guī)律，從而引發(fā)新的數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生。三聯(lián)想相關(guān)數(shù)學(xué)概念，創(chuàng)設(shè)引發(fā)猜測的問題情景

8、許多數(shù)學(xué)概念間存在著一定的聯(lián)絡(luò)，老師假設(shè)能將新舊概念間的聯(lián)絡(luò)點(diǎn)設(shè)計(jì)成問題情景，引導(dǎo)學(xué)生建立起新舊概念間的聯(lián)絡(luò)，便可以使學(xué)生結(jié)實(shí)地掌握新的概念。例3異面直線所成角的概念教學(xué)1展示概念背景：老師與學(xué)生一起以熟悉的正方體為例，請學(xué)生觀察圖中有幾對異面直線？接著提問：從位置關(guān)系看，同為異面直線，但它們的相對位置，是否就沒有區(qū)別？老師緊接著說：既然有區(qū)別，說明僅用“異面來描繪異面直線間的相對位置顯然是不夠的。在消費(fèi)實(shí)際與數(shù)學(xué)問題中，有時還需要進(jìn)一步準(zhǔn)確化，這就提出了一個新任務(wù)：怎樣刻劃異面直線間的這種相對位置，或者說，引進(jìn)一些什么數(shù)量來刻劃這種相對位置？2情境設(shè)計(jì)階段：我們知道平面幾何中用“間隔 來刻劃

9、兩平行直線間的相對位置，用“角來刻劃兩相交直線間的相對位置，那么用什么來刻劃兩異面直線的相對位置呢？我們還知道兩異面直線不相交，但它們又確實(shí)存在傾斜程度不同，這就需要我們找到一個角，用它的大小來度量異面直線的相對傾斜程度。為理解決這個問題，我們研究一道題：一張紙上畫有兩條能相交的直線、但交點(diǎn)在紙外現(xiàn)給你一副三角板和量角器，限定不許拼接紙片，不許延長紙上的線段，問如何能量出、所成的角的大??？3猜測發(fā)現(xiàn)階段：解決上述問題的方法是過一點(diǎn)分別作a,b的平行線，該方法能否遷移到兩異面直線的傾斜程度呢？經(jīng)學(xué)生研討后能粗略地得出異面直線的傾斜程度可轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩條相交直線的角即過一點(diǎn)分別作a、b的平行線，這

10、兩條平行線所成的角4表述論證階段：老師提問，這角或平行線一定可以作出來嗎？角的大小與作法有什么關(guān)系？以上即是存在性和確定性問題通過解決以上兩個問題得到：兩異面直線所成角的范圍規(guī)定在0，內(nèi)，那么它的大小，由異面直線本身決定，而與點(diǎn)O一線的平行線與另一線的平行線的交點(diǎn)的選取無關(guān)，點(diǎn)O可任選一般總是將點(diǎn)選在特殊位置至此，兩異面直線所成角的概念完全建立了，在這個過程中浸透了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題這一化歸的數(shù)學(xué)思想方法。這類數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)一定要抓住新、舊數(shù)學(xué)概念間的本質(zhì)屬性，為新概念的產(chǎn)生創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)墓讨c(diǎn)，使其孕育新的數(shù)學(xué)概念的形成。四提供感性材料,創(chuàng)設(shè)抽象與概括的問題情景有些數(shù)學(xué)概念源于

11、現(xiàn)實(shí)生活，是從消費(fèi)、生活實(shí)際問題中抽象出來的，對于這些概念的教學(xué)要通過一些感性材料，創(chuàng)設(shè)抽象與概括的情景，引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性。例4數(shù)軸概念的教學(xué)老師先出示以下問題：小張家向東走20米是書店，向西走30米是少年宮。假設(shè)規(guī)定向東走為正，向西走為負(fù)，那么，小張從家出發(fā)，走到書店應(yīng)記作什么？走到少年宮記作什么？溫度計(jì)顯示零上20C，零下3C，你如何用有理數(shù)表示。老師接著要求學(xué)生將上述兩個問題分別用簡單形象的圖示方法來描繪它們，并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生提煉出它們的共同屬性：1能用圖線表示事物的數(shù)量特征可用同一直線上的線段來刻劃2度量的起點(diǎn)0C和小張家3度量的單位溫度計(jì)每格表示1C4有表示相反意義的方

12、向向東為正，向西為負(fù)；零上為正，零下為負(fù)這樣就啟發(fā)學(xué)生用直線上的點(diǎn)表示數(shù)，對于“表示相反意義的方向用箭頭“表示正方向，從而引進(jìn)“數(shù)軸的概念。這樣做符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，給學(xué)生留下深化持久的印象，同時也有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使他們積極參與教學(xué)活動，有利于學(xué)生思維才能的培養(yǎng)和素質(zhì)的進(jìn)步。這類數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)一定要遵循認(rèn)識規(guī)律，從感性到理性，從詳細(xì)到抽象，通過學(xué)生熟悉的實(shí)際例子，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)一些問題，讓學(xué)生經(jīng)過比較、分類、抽象等思維活動，從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，最后通過概括得出新的數(shù)學(xué)概念。五通過學(xué)生實(shí)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)觀察、發(fā)現(xiàn)的問題情景有些數(shù)學(xué)概念可以通過引導(dǎo)學(xué)生從自己的親自實(shí)驗(yàn)或通過現(xiàn)代

13、教育技術(shù)手段演示及自己操作如幾何畫板提供了很好的工具去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的形成，讓學(xué)生在動手操作、探究反思中掌握數(shù)學(xué)概念。例5橢圓概念的教學(xué)可分以下幾個步驟進(jìn)展：1實(shí)驗(yàn)獲得感性認(rèn)識要求學(xué)生用事先準(zhǔn)備的兩個小圖釘和一長度為定長的細(xì)線，將細(xì)線的兩端固定，用鉛筆把細(xì)線拉緊，使筆尖在紙上漸漸挪動，畫得圖形為橢圓2提出問題，考慮討論。橢圓上的點(diǎn)有何特征？當(dāng)細(xì)線的長等于兩定點(diǎn)之間的間隔 時，其軌跡是什么？當(dāng)細(xì)線的長小于兩定點(diǎn)之間的間隔 時，其軌跡是什么？你能給橢圓下一個定義嗎？3提醒本質(zhì)，給出定義。象這樣，學(xué)生經(jīng)歷了實(shí)驗(yàn)、討論后，對橢圓的定義的本質(zhì)會掌握得很好，不會出現(xiàn)忽略橢圓定義中的定長應(yīng)大于兩定點(diǎn)之間的間隔

14、 的錯誤。這類數(shù)學(xué)概念的形成一定要學(xué)生動手操作實(shí)驗(yàn)，仔細(xì)觀察，并能根據(jù)需要適當(dāng)變換角度來抓住問題的特征以解決問題。培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力是解決這類問題的關(guān)鍵。除了真實(shí)的實(shí)驗(yàn)外，還可以充分利用現(xiàn)代教育技術(shù)設(shè)計(jì)一些仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)不能只是作為老師來演示的一種工具，而是要能由學(xué)生可以根據(jù)自己的思路進(jìn)展動手操作的學(xué)具，讓學(xué)生通過實(shí)際操作學(xué)會觀察、學(xué)會發(fā)現(xiàn)！以上列舉的幾種方法不是獨(dú)立的，而是互相聯(lián)絡(luò)的，有些數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與形成過程需要綜合運(yùn)用多種方法才能創(chuàng)設(shè)出利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)的問題情景。二、數(shù)學(xué)概念形成階段教學(xué)應(yīng)注意的問題在創(chuàng)設(shè)問題情景時，還應(yīng)創(chuàng)設(shè)師生共同研究問題的良好氣氛。老師要積極鼓勵學(xué)生獨(dú)立提出問題

15、、獨(dú)立分析、解決問題，還要鼓勵學(xué)生之間互相研討問題，大膽向老師提問題或提出創(chuàng)見性的觀點(diǎn)，努力營造一種師生之間平等共同研討、分析解決問題的民主氣氛，形成師生間和諧良好的人際關(guān)系，使課堂教學(xué)充滿活力。在教學(xué)中要注意以下問題：一注意問題的呈示方式有了適宜的問題情景，還必須注意問題的呈示方式。我們認(rèn)為：問題的呈示要以學(xué)生主體的充分發(fā)揮為前提，重視知識的發(fā)現(xiàn)和探究過程，重視學(xué)生的內(nèi)心體驗(yàn)。通過問題的呈示能使學(xué)生充分地展開思維活動包括動手、動腦，老師應(yīng)留給學(xué)生一定的考慮時間和空間，不要急于將答案告訴學(xué)生，應(yīng)把發(fā)現(xiàn)問題的時機(jī)，大智假設(shè)愚地讓給學(xué)生，讓學(xué)生的思維得到充分的暴露，老師根據(jù)學(xué)生出現(xiàn)的一些問題，有針

16、對性地組織討論、辨析，并在關(guān)鍵處予以點(diǎn)撥，真正使學(xué)生體驗(yàn)到新的數(shù)學(xué)概念的形成過程。二教學(xué)形式要多樣化課堂教學(xué)從本質(zhì)上說是一種“溝通與“合作的活動，是老師主導(dǎo)與學(xué)生主體互相作用以實(shí)現(xiàn)學(xué)生有意義學(xué)習(xí)的過程，要使這個過程順利進(jìn)展，必須充分發(fā)揮師生雙方的積極性和主動性。為了充分調(diào)動學(xué)生的積極性，教學(xué)形式應(yīng)盡可能多樣化。教學(xué)不能只是老師的講授，還應(yīng)包括學(xué)生的獨(dú)立自主探究，集體研究，小組討論或先學(xué)生獨(dú)立研究再互相交流，或帶著問題自學(xué)等多種方式。這樣有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。至于如何確定教學(xué)形式，這要考慮所研究問題的難易程度及學(xué)生的知識和思維程度。一般來說，要盡可能讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動，只要學(xué)生有才能通過活

17、動解決的問題，就應(yīng)該讓學(xué)生獨(dú)立完成。對有一定難度的問題，可先讓學(xué)生獨(dú)立研究，再組織小組交流老師參與小組研究，并在關(guān)鍵處作適當(dāng)點(diǎn)撥，最后師生一起探究得出結(jié)論。三浸透數(shù)學(xué)思想方法“師之概念，大體是從先秦時期的“師長、師傅、先生而來。其中“師傅更早那么意指春秋時國君的老師。?說文解字?中有注曰：“師教人以道者之稱也?！皫熤x，如今泛指從事教育工作或是傳授知識技術(shù)也或是某方面有特長值得學(xué)習(xí)者。“老師的原意并非由“老而形容“師?！袄显谂f語義中也是一種尊稱，隱喻年長且學(xué)識淵博者。“老“師連用最初見于?史記?，有“荀卿最為老師之說法。漸漸“老師之說也不再有年齡的限制，老少皆可適用。只是司馬遷筆下的“老師當(dāng)

18、然不是今日意義上的“老師，其只是“老和“師的復(fù)合構(gòu)詞，所表達(dá)的含義多指對知識淵博者的一種尊稱，雖能從其身上學(xué)以“道，但其不一定是知識的傳播者。今天看來，“老師的必要條件不光是擁有知識，更重于傳播知識。單靠“死記還不行,還得“活用,姑且稱之為“先死后活吧。讓學(xué)生把一周看到或聽到的新穎事記下來,摒棄那些假話套話空話,寫出自己的真情實(shí)感,篇幅可長可短,并要求運(yùn)用積累的成語、名言警句等,定期檢查點(diǎn)評,選擇優(yōu)秀篇目在班里朗讀或展出。這樣,即穩(wěn)固了所學(xué)的材料,又鍛煉了學(xué)生的寫作才能,同時還培養(yǎng)了學(xué)生的觀察才能、思維才能等等,到達(dá)“一石多鳥的效果。數(shù)學(xué)概念是思維的細(xì)胞，是濃縮的知識點(diǎn)，是感性認(rèn)識飛躍到理性認(rèn)識的結(jié)果，而飛躍的實(shí)現(xiàn)要根據(jù)數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工而成。因此老師應(yīng)注意將在解決問題的過程中所涉及的數(shù)學(xué)思想方法顯化，對解決問題的思維策略進(jìn)展提煉，讓學(xué)生學(xué)會思維，進(jìn)步自我探究、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的才能。如例5中學(xué)生根據(jù)操作過程類比圓的概念產(chǎn)生這樣的定義：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的間隔 之和等于定長的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。怎樣使學(xué)生意識到這一定義不完備呢？如何讓學(xué)生完善這一定義呢？可讓學(xué)生將兩個定點(diǎn)由近到遠(yuǎn)地多畫些橢圓，當(dāng)學(xué)生將此操作進(jìn)展至極限即細(xì)線的長等于兩定點(diǎn)之間的間隔