復變函數試題及標準答案

1、成績西安交通大學考試題 課 程 復變函數 （A） 系 別 考 試 日 期 2007 年 7 月 5 日專業(yè)班號 姓 名 學 號 期中期末一. 填空（每題3分，共30分）1 2 0是函數的 （說出類型，如果是極點，則要說明階數）3. ,則 4. 5. 函數在處的轉動角為6. 冪級數的收斂半徑為=_7. 8設C為包圍原點在內的任一條簡單正向封閉曲線，則 9函數在復平面上的所有有限奇點處留數的和為_ 10 二判斷題（每題3分，共30分） 1在解析?！?】2在點可微，則在解析?！?】3是周期函數?！?】4 每一個冪函數在它的收斂圓周上處處收斂?！?】5 設級數收斂，而發(fā)散，則的收斂半徑為1。【 】6

2、能在圓環(huán)域展開成洛朗級數。【 】7 為大于1的正整數, 成立。【 】8如果函數在解析，那末映射在具有保角性?！?】9如果是內的調和函數,則是內的解析函數?！?】10?！?】三（8分）為調和函數，求的值，并求出解析函數。四（8分） 求在圓環(huán)域和內的洛朗展開式。五（8分）計算積分。六（8分）設，其中C為圓周的正向，求。七（8分）求將帶形區(qū)域映射成單位圓的共形映射。復變函數與積分變換(A)的參考答案與評分標準 (2007.7.5)一.填空(各3分)1.； 2. 三級極點 ；3. ；4. 0 ；5. 0 ；6. ；7. ；8. 0；9. 0 ；10. 。二.判斷1.錯；2.錯；3.正確； 4. 錯 ；

3、5.正確 ；6.錯； 7.錯 ；8. 錯 ；9. 正確 ；10. 錯 。三(8分)解: 1)在-4分2) 在-4分四.(8分)解:被積函數分母最高次數比分子最高次數高二次,且在實軸上無奇點,在上半平面有一個一級極點 -2+i, 故 -3分 -6分故 -8分五.(8分)解: -3分由于1+i在所圍的圓域內, 故 -8分六. (8分)解:利用指數函數映射的特點以及上半平面到單位圓的分式線性映射,可以得到 (映射不唯一,寫出任何一個都算對)七.(8分)解:對方程兩端做拉氏變換:代入初始條件,得 -4分故, -8分(用留數做也可以)復變函數 (A)的參考答案與評分標準 (2007.7.5)一.填空(各

4、3分)1. ；2. 三級極點 ；3. ； 4. 0 ；5. 0 ；6. ；7. ；8. 0 ；9. 0 ； 10. 0。二.判斷1.錯；2.錯；3.正確 ；4. 錯 ；5.正確 ；6.錯 ；7.錯 ；8. 錯 ；9. 正確 ；10. 錯 。三.(8分)解:因為是調和函數,則有,即 故-2分1) 當 時, , 由C-R方程, 則, 又由，故 , 所以 。則 -3分2) 當 時, , 由C-R方程, 則, 又由，故 , 所以 。則 四(8分)解: 1)在-4分2) 在 -4分五.(8分)解:被積函數分母最高次數比分子最高次數高二次,且在實軸上無奇點,在上半平面有一個一級極點 -2+i, 故 -3分 -6分故 -8分六.(8分)解: -3分由于1+i在所圍的圓域內, 故 -8分