對勾函數(shù)24288

1、對勾函數(shù)圖象性質(zhì)對勾函數(shù):數(shù)學(xué)中一種常見而又特殊的函數(shù)。如圖一、對勾函數(shù)f(x)=ax+ bx 的圖象與性質(zhì)對勾函數(shù)是數(shù)學(xué)中一種常見而又特殊的函數(shù)。它在高中教材上不出現(xiàn)，但考試總喜歡考的函數(shù)，所以也要注意它和了解它。(一) 對勾函數(shù)的圖像對勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般函數(shù)，形如f(x)=ax+bx（接下來寫作f(x)=ax+b/x）。當(dāng)a0，b0時(shí)，f(x)=ax+b/x是正比例函數(shù)f(x)=ax與反比例函數(shù)f(x)= b/x “疊加”而成的函數(shù)。這個觀點(diǎn)，對于理解它的性質(zhì)，繪制它的圖象，非常重要。當(dāng)a，b同號時(shí)，f(x)=ax+b/x的圖象是由直線yax與雙曲線y= b/x構(gòu)成，形狀酷

2、似雙勾。故稱“對勾函數(shù)”，也稱“勾勾函數(shù)”、“海鷗函數(shù)”。如下圖所示：a>0 b>0 a<0 b<0對勾函數(shù)的圖像（ab同號）當(dāng)a，b異號時(shí)，f(x)=ax+b/x的圖象發(fā)生了質(zhì)的變化。但是，我們依然可以看作是兩個函數(shù)“疊加”而成。（請自己在圖上完成：他是如何疊加而成的。）對勾函數(shù)的圖像（ab異號）一般地，我們認(rèn)為對勾函數(shù)是反比例函數(shù)的一個延伸，即對勾函數(shù)也是雙曲線的一種，只不過它的焦點(diǎn)和漸進(jìn)線的位置有所改變罷了。接下來，為了研究方便，我們規(guī)定a>0，b>0。之后當(dāng)a<0，b<0時(shí)，根據(jù)對稱就很容易得出結(jié)論了。(二) 對勾函數(shù)的頂點(diǎn)對勾函數(shù)性質(zhì)的

3、研究離不開均值不等式。利用均值不等式可以得到：當(dāng)x>0時(shí)，fx=ax+bx2ab當(dāng)且盡當(dāng)ax=bx時(shí)取等號，此時(shí)x=ba。當(dāng)x<0時(shí)，fx=ax+bx-2ab當(dāng)且盡當(dāng)ax=bx時(shí)取等號，此時(shí)x=-ba。即對勾函數(shù)的定點(diǎn)坐標(biāo)：A:ba,2ab、B:-ba,-2ab(三) 對勾函數(shù)的定義域、值域由（二）得到了對勾函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而我們也就確定了對勾函數(shù)的定義域、值域等性質(zhì)。定義域：xx0；值域：y|y>2ab或y<-2abyXOy=ax(四) 對勾函數(shù)的單調(diào)性對于函數(shù)fx=ax+bx：單調(diào)增區(qū)間：-,-baba,+)；單調(diào)減區(qū)間：-ba,00,ba(五) 對勾函數(shù)的漸進(jìn)線

4、由圖像我們不難得到：對于函數(shù)fx=ax+bx，它的漸進(jìn)線有兩條：y=ax；y=0；(六) 對勾函數(shù)的奇偶性 ：對勾函數(shù)在定義域內(nèi)是奇函數(shù)，二、類耐克函數(shù)性質(zhì)探討函數(shù)，在為簡單的單調(diào)函數(shù)，不予討論。在有如下幾種情況：(1) (2) (3) (4)設(shè)，則，其定義域?yàn)?1)時(shí)，在上分別單調(diào)遞增。故在為單調(diào)遞增函數(shù)。(2)時(shí)，在上分別單調(diào)遞減。故在為單調(diào)遞減函數(shù)(3) 圖像略當(dāng)時(shí)，。當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號。當(dāng)時(shí) ，當(dāng)且僅當(dāng)，即（因?yàn)椋噬岬簦┤〉忍枴?)當(dāng)時(shí)，。當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號。當(dāng)時(shí) ，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號。三、關(guān)于求函數(shù)最小值的十種解法1. 均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即的時(shí)候不等式取到“=”。當(dāng)?shù)臅r(shí)候，2.

5、 法若的最小值存在，則必需存在，即或（舍）找到使時(shí)，存在相應(yīng)的即可。通過觀察當(dāng)?shù)臅r(shí)候，3. 單調(diào)性定義設(shè) 當(dāng)對于任意的，只有時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)對于任意的，只有時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減。當(dāng)取到最小值，4. 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增又 原函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增即當(dāng)取到最小值，5. 求一階導(dǎo) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增。當(dāng)取到最小值，6. 三角代換令，則 當(dāng)，即時(shí)，顯然此時(shí)7. 向量， 根據(jù)圖象，為起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)在圖象上的一個向量，的幾何意義為在上的投影，顯然當(dāng)時(shí)，取得最小值。此時(shí)，8圖象相減，即表示函數(shù)和兩者之間的距離求，即為求兩曲線豎直距離的最小值平移直

6、線，顯然當(dāng)與相切時(shí)，兩曲線豎直距離最小。關(guān)于直線軸對稱，若與在處有一交點(diǎn)，根據(jù)對稱性，在處也必有一個交點(diǎn)，即此時(shí)與相交。顯然不是距離最小的情況。所以，切點(diǎn)一定為點(diǎn)。 此時(shí)，9.平面幾何依據(jù)直角三角形射影定理，設(shè)，則顯然，為菱形的一條邊，只用當(dāng)，即為直線和之間的距離時(shí)，取得最小值。即四邊形為矩形。此時(shí)，即，10. 對應(yīng)法則設(shè) ，對應(yīng)法則也相同左邊的最小值右邊的最小值（舍）或 當(dāng)，即時(shí)取到最小值，且四、對勾函數(shù)練習(xí)：1若 x>1.求的最小值2. 若 x>1. 求的最小值3. 若 x>1. 求的最小值4. 若 x>0. 求的最小值5.已知函數(shù)（1） 求(2)若對任意x1,+,f(x)>0恒成立,求a范圍6.: 方程sin2xasinx+4=0在 0 , 內(nèi)有解 ，則a的取值范圍是_