圓的標準方程

1、第四章 圓與方程4.1 圓的方程4.1.1 圓的標準方程教材分析本節(jié)內(nèi)容數(shù)學必修2 第四章第一節(jié)的起始課，是在學習了直線的有關(guān)知識后學習的，圓是學生比較熟悉的曲線，在初中就已學過圓的定義這節(jié)課主要是根據(jù)圓的定義，推出圓的標準方程，并會求圓的標準方程本節(jié)課的教學重點是圓的標準方程的理解、掌握；難點是會根據(jù)不同的已知條件，利用待定系數(shù)法，幾何法求圓的標準方程通過本節(jié)課的學習培養(yǎng)學生用坐標法研究幾何問題的能力，使學生加深對數(shù)形結(jié)合思想和待定系數(shù)法的理解，增強學生的數(shù)學意識課時分配本節(jié)內(nèi)容用1課時的時間完成，主要講解圓的標準方程的推導和應用教學目標重點: 圓的標準方程的理解、掌握難點：會根據(jù)不同的已知

2、條件，利用待定系數(shù)法求圓的標準方程知識點：會求圓的標準方程.能力點：根據(jù)不同的已知條件求圓的標準方程.教育點：嘗試用代數(shù)方法解決幾何問題探究過程，體會數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法的思想方法.自主探究點：點與圓的位置關(guān)系的判斷方法.考試點：會求圓的標準方程.易錯易混點：不同的已知條件，如何恰當?shù)那髨A的標準方程.拓展點：如何根據(jù)不同的條件，靈活適當?shù)剡x取恰當?shù)姆椒ㄇ髨A的標準方程知識結(jié)構(gòu)平面直角坐標系圓的方程圓的標準方程圓的一般方程直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系點與圓的位置關(guān)系直線與圓的方程的簡單應用坐標法教具準備 多媒體課件和三角板課堂模式 學案導學一、引入新課問題 1：圓在我們的生活中無處不在，日出

3、東方，車行天下，這些都是圓的具體表現(xiàn)形式.請同學們思考一個問題：車輪為何設(shè)計為圓形，而不是其他的形狀？學生回答：若是方形，走起來顛簸，不舒服；不是圓形，轉(zhuǎn)不起來.老師點評：正是圓，可以讓車輪上的每一點到軸心的距離相等，才保證了輪子轉(zhuǎn)起來而不顛簸. 【設(shè)計意圖】通過對問題的思考讓學生體會圓的性質(zhì)，回顧圓的定義.【設(shè)計說明】通過實例引入問題，緊扣問題的本質(zhì)提出矛盾問題，引發(fā)學生興趣并自然切入圓的定義.問題 2：圓是如何定義的？學生回答：平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓 【設(shè)計意圖】回顧圓的定義便于問題3的回答 【設(shè)計說明】回顧圓的定義，通過分析定義引導學生分析問題3.問題3：在平面直角坐

4、標系中，兩點確定一條直線，一點和傾斜角也可以確定一條直線，那么在什么條件下可以確定一個圓？【設(shè)計意圖】使學生在已有知識的基礎(chǔ)上，結(jié)合圓的定義回答出確定圓的兩個要素圓心（定位）和半徑（定形）【設(shè)計說明】教師引導，學生回答問題4：在平面直角坐標系中，直線可以用一個二元一次方程表示，圓也可以用一個方程來表示嗎？如果能，這個方程又有什么特征呢？【設(shè)計意圖】使學生在已有知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，探索新知，引出本課題【設(shè)計說明】教師指出：建立圓的方程正是我們本節(jié)課要探究的問題并板書本節(jié)課題：圓的標準方程.二、探究新知問題5：類比直線點斜式方程的推導方法，你能否總結(jié)出求曲線的方程的一般步驟？師生共同回顧和探究：教

5、師引導學生回答如何求曲線的方程 (1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?x,y)表示曲線上任意點M的坐標； (2)寫出適合條件P的點M的集合P=M|P(M)|；(3)用坐標表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0；(4)化方程f(x,y)=0為最簡形式；(5)說明化簡后的方程就是所求曲線的方程其中步驟(1)(3)(4)必不可少.下面我們用求曲線方程的一般步驟來建立圓的標準方程【設(shè)計意圖】圓的標準方程的推導是學生第一次接觸的曲線方程的推導問題，通過引導學生總結(jié)曲線方程的推導步驟，提高學生對求曲線方程問題的理解.【設(shè)計說明】系統(tǒng)總結(jié)求曲線方程的步驟，幫助學生掌握求圓的標準方程的方法.問題6：已知圓的圓心

6、坐標為，半徑為（其中、都是常數(shù)，），如何確定圓的方程？教師：對于這一問題而言？是否已經(jīng)建立了坐標系？學生：已經(jīng)建立了坐標系.教師：設(shè)M(x,y)是圓上任意一點，根據(jù)圓的定義如何建立x,y滿足的關(guān)系式？yxOAM學生：寫出圓上的點的集合P=M|MC|=r，利用兩點間的距離公式，寫出點M的坐標適合的條件：教師：如何進一步化簡上述關(guān)系式得出圓的方程？學生：學生自己化簡得出圓的方程為【設(shè)計意圖】引導學生推導圓的標準方程，讓學生掌握圓的標準方程的推導方法【設(shè)計說明】讓學生自己化簡得出結(jié)論便于學生理解記憶三、理解新知圓的標準方程：，其中圓心為，半徑為教師強調(diào)：熟記圓的標準方程的結(jié)構(gòu)特點，并能觀察出圓心和半

7、徑教師：那么確定圓的標準方程需要幾個獨立條件？學生：只要、三個量確定了且，圓的方程就給定了教師：圓心在原點圓的方程是什么？學生：【設(shè)計意圖】便于學生理解掌握圓的標準方程，為準確地運用新知，作必要的鋪墊【設(shè)計說明】學生自己歸納總結(jié)基礎(chǔ)檢測：1. 圓的圓心A的坐標為_,半徑為_.2. 圓的圓心和半徑分別是？【設(shè)計意圖】熟練掌握圓的標準方程與圓心坐標,半徑長的關(guān)系【設(shè)計說明】學生口答四、運用新知例1.寫出圓心為,半徑長等于5的圓的方程，并判斷點是否在這個圓上分析：判斷圓心是否在圓上，可以從計算點到圓心的距離入手【設(shè)計意圖】圓的標準方程的直接應用，并會判斷點與圓的位置關(guān)系【設(shè)計說明】培養(yǎng)學生分析問題、

8、解決問題的能力和良好的解題習慣探究：怎樣判斷點在圓上？圓內(nèi)？還是圓外？（1），點在圓外;（2），點在圓上;（3），點在圓內(nèi).【設(shè)計意圖】學生自己探討發(fā)現(xiàn)點與圓的位置關(guān)系的判定方法，從而歸納出下列結(jié)論【設(shè)計說明】培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力練習：1.點與圓的位置關(guān)系（ ）在圓外 在圓上 在圓內(nèi) 在圓上或圓外2.求經(jīng)過點P(5,1)，圓心在點C(8,-3)的圓的標準方程3.求以點為圓心且與直線相切的圓的標準方程【設(shè)計意圖】根據(jù)圓心和半徑熟練寫出圓的標準方程【設(shè)計說明】學生爬黑板例2.的三個頂點的坐標是，求它的外接圓的方程師生共同分析：不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，三角形有唯一的外接圓

9、從圓的標準方程 可知，要確定圓的標準方程，可用待定系數(shù)法確定三個參數(shù)解法一：設(shè)所求圓的方程是 (1)因為都在圓上，所以它們的坐標都滿足方程（1）于是 所以，的外接圓的方程為 【設(shè)計意圖】掌握待定系數(shù)法求圓的標準方程【設(shè)計說明】學生自己運算解決教師：除上述方法求圓的標準方程外還有沒有其它方法？教師畫圖引導OxyL1L2MABCDE讓學生討論，引導學生發(fā)現(xiàn)：還可利用幾何法求的外接圓的方程教師：確定一個圓只需確定圓心位置與半徑大小那么如何確定圓心？學生探討發(fā)現(xiàn)：弦的垂直平分線與弦的垂直平分線的交點即為圓心教師：如何確定半徑？學生：圓心M與圓上任一點的距離即為半徑解法二：（師生共同完成）因為，所以線段

10、的中點的坐標為，直線的斜率，因此線段的垂直平分線的方程是 ，即 ，同理可得線段的垂直平分線的方程是 圓心的坐標是方程組 的解解此方程組，得 ，所以圓心的坐標是圓心的圓的半徑長 所以，的外接圓的方程為 總結(jié)歸納：（教師啟發(fā)，學生自己比較、歸納）比較例2得出外接圓的標準方程的兩種求法：方法一：代數(shù)法待定系數(shù)法；方法二：幾何法數(shù)形結(jié)合【設(shè)計意圖】結(jié)合例2的理解，學生自己歸納出求任意三角形外接圓的標準方程的兩種方法，并比較兩種方法的優(yōu)劣【設(shè)計說明】學生自己歸納總結(jié)練習：課本第120頁，例3（不看課本，結(jié)合例2的理解，學生自己解決例3）ABCDOxyl已知圓心為的圓經(jīng)過點，且圓心在直線上，求圓心為的圓的

11、標準方程（給學生充分思考的時間，教師引導）教師：本題求圓的標準方程，能否用上述兩種不同方法解決？學生：學生畫圖思考教師：找兩位同學分別用兩種不同的方法到黑板上解該題【設(shè)計意圖】結(jié)合對例2的理解，學生根據(jù)不同的條件，靈活適當?shù)剡x取恰當?shù)姆椒ㄇ髨A的標準方程，并比較兩種方法的優(yōu)劣【設(shè)計說明】學生爬黑板板書解題過程，以規(guī)范學生的解題步驟五、課堂小結(jié) 教師提問：本節(jié)課我們學習了哪些知識，涉及到哪些數(shù)學思想方法？學生作答：1知識：（1）圓的標準方程及其結(jié)構(gòu)特點； （2）點與圓的位置關(guān)系的判定；（3）求圓的標準方程的方法：待定系數(shù)法；幾何法.2思想：數(shù)形結(jié)合的思想教師總結(jié): 圓的標準方程的推導方法用到了前面

12、學過的知識，提醒學生: 在學習新知時，也要經(jīng)常復習前面學過的內(nèi)容,“溫故而知新”在應用中增強對知識的理解，及時查缺補漏,從而更好地運用知識,解題要有目的性，加強對數(shù)學知識、思想方法的認識與自覺運用【設(shè)計意圖】加強對學生學習方法的指導六、布置作業(yè) 1書面作業(yè) 必做題： P124習題4.1 A組 第2，3，4題選做題： P124習題4.1 A組 第5題2課外思考 圓的標準的方程形式是，該式展開后形式是什么？展開后的形式都表示圓嗎？【設(shè)計意圖】設(shè)計書面作業(yè)必做題，是引導學生先復習，再作業(yè)，培養(yǎng)學生良好的學習習慣.書面作業(yè)的布置，是為了讓學生能夠根據(jù)不同的條件，靈活適當?shù)剡x取恰當?shù)姆椒ㄇ髨A的標準方程；選做題是鼓勵學有余力的同學進一步加深本節(jié)內(nèi)容的理解；課外思考的安排，是讓學生理解圓除了標準形式，還有一般形式，起讓學生課下探索發(fā)現(xiàn)、預習新課的作用 七、教后反思 1.本教案的亮點是圓的標準方程的推導以及任意三角形外接圓的標準方程的兩種方法的得出，都是在學生已有的知識基礎(chǔ)上得到，不是生硬的拋出，而是水到渠成例題也是變講為練，都是學生在獨立或小組討論中解決的，很好的調(diào)動學生的積極性與主動性，提高了學生的解題能力2.由于各校的情況不同，建議教師在使用本教案時靈活掌握，但必須在公式的推導過程上下足功夫3.本節(jié)課的弱項是課容量大，時間所限，在課堂上沒有充分暴露學生的