孫璐璐容斥問題

1、教 案姓 名孫璐璐授課方向數(shù)量關(guān)系授課內(nèi)容容斥問題時 長45分鐘教學(xué)目標(biāo)和要求1、 了解容斥類題型的含義2、 體會圖解法解決容斥問題的思維過程。3、 熟練掌握圖解法。教學(xué)重點和難點教學(xué)重點： 用圖解法解決容斥問題。教學(xué)難點： 圖解法解決容斥問題的思維過程。教學(xué)內(nèi)容及過程引入容斥問題是行測數(shù)量關(guān)系這一部分的常考題型。在國考中基本上每年都會考一道題。由“容斥問題是解決什么問題的？”引出容斥問題是解決集合與集合之間交叉關(guān)系的。首先簡單回顧一下集合與集合之間交叉關(guān)系的內(nèi)容：1、 A B集合A與集合B相交，我們根據(jù)以前學(xué)過的知識，我們都知道有一些符號：AB，AB,I,都表示什么？一些計算關(guān)系A(chǔ)B的補集和

2、AB的補集是什么？還有一個公式AB是什么？我們發(fā)現(xiàn)這些符號和計算關(guān)系記憶都很模糊了，而且即使記得，也發(fā)現(xiàn)應(yīng)用這個公式解決問題不是很方便。但是我們知道這個公式是從圖像當(dāng)中轉(zhuǎn)化出來的，那也就是說解決容斥問題最好的方法還是容斥法。我們結(jié)合例題看一下圖解法的解題思路和具體應(yīng)用。1、 兩個集合相交時，應(yīng)用圖解法。 例題一：大學(xué)四年級某班有50名同學(xué)，其中奧運會志愿者10人，全運會志愿者17人，30人兩種志愿者都不是，則班內(nèi)是全運會志愿者而非奧運會志愿者的同學(xué)是多少？ A、3人 B、9人 C、10人 D、17人 A C B D分析： 第一步：根據(jù)題意描述出題中所涉及到的幾個集合之間的容斥關(guān)系。觀察圖形，發(fā)

3、現(xiàn)圖形中出現(xiàn)四個獨立的區(qū)域。弄清楚圖中各個部分表示的含義，那部分表示是奧運會自愿者而不是全運會自愿者？那部分表示是全運會自愿者而不是奧運會自愿者？那部分表示既是奧運會自愿者，又是全運會自愿者？那部分表示兩種自愿者都不是？第二步：在集合當(dāng)中把每一個獨立的封閉區(qū)間，都用一個單獨的字母來表示。A表示是奧運會自愿者而非全運會自愿者。B表示是全運會自愿者而非奧運會自愿者。C表示既是奧運會自愿者，又是全運會自愿者。D表示兩種自愿者都不是。那么這樣表示以后，我們會發(fā)現(xiàn)，題干當(dāng)中任何一個概念都可以用字母的組合來實現(xiàn)。比如：奧運會自愿者就可以表示成A+C。第三步：根據(jù)題意建立等量關(guān)系了。 A+B+C+D=50

4、（1） A+C=10 （2） B+C=17 （3） D=30 （4）要求全運會自愿者而非奧運會自愿者的同學(xué)數(shù)，就是圖中的B。第四步：求解。在求解過程當(dāng)中大家要注意，題中雖然給出四個未知數(shù)，列出四個方程，就一定都能求解。但是我們在求解這種問題的時候要注意問題是什么？然后根據(jù)已知的4個方程，快速的組合出這個要求的數(shù)據(jù)就可以了。不需要把其他數(shù)據(jù)也求出來。B=(1)-(2)-(4)=50-10-30結(jié)合選項發(fā)現(xiàn)尾數(shù)都不一樣，用尾數(shù)法計算，B的尾數(shù)為0直接選擇C選項。小結(jié)：以上就是運用圖解法來解決容斥問題，大家要好好體會一下它的解題過程。以及熟練把握我們的解題四步。結(jié)合選項運用尾數(shù)法選出正確答案。練習(xí)做

5、講義，經(jīng)典例題2。對答案，點播。練習(xí)做講義，經(jīng)典例題3。這道題注意，先根據(jù)比例關(guān)系，求出具體數(shù)值。然后在根據(jù)題意畫圖，解題。小結(jié)：這是兩個集合相交的時候，用這種方法就可以求解了。在做題過程中大家注意靈活掌握。那么在行測考試當(dāng)中還經(jīng)?？嫉奖冗@個在復(fù)雜一點的題型。三個集合兩兩相交的情況。 二、三個集合相交時，應(yīng)用圖解法例題4：某調(diào)查公司對甲、乙、丙三部電影的收看情況向125人進(jìn)行調(diào)查，有89 人看過甲片，有47人看過乙片，有63人看過丙片，其中有24人三部電影都看過，20人一部也沒有看過，則只看過其中兩部電影的人數(shù)是？ A、69人 B、65人 C、57人 D、46人 1 4 7 5 2 6 3 8

6、分析： 第一步：根據(jù)題意描述出題中所涉及到的幾個集合之間的容斥關(guān)系。 這個題就屬于三個集合兩兩相交的情況，這個時候它形成8個封閉的區(qū)間。如果按照上面的方法，我們發(fā)先這樣的時候封閉區(qū)間會太多。會設(shè)出8個未知數(shù)，列出8個方程。8元一次方程求解太困難了。所以這個時候會想到把幾個部分放在一起看，從新設(shè)未知數(shù)的方法。第二步：在集合當(dāng)中把具有相似屬性的封閉區(qū)間，都用一個單獨的字母來表示。獨立區(qū)間1、2、3都表示只看過一部影片的人。用字母A表示。獨立區(qū)間4、5、6都表示只看過兩部影片的人。用字母B表示。獨立區(qū)間7表示三部影片都看過的人。用字母C表示。獨立區(qū)間8表示三部影片都沒看過的人。用字母D表示。那么這樣

7、表示以后，我們會發(fā)現(xiàn)，題干當(dāng)中任何一個概念都可以用字母的組合來實現(xiàn)。第三步：根據(jù)題意建立等量關(guān)系了。 A+B+C+D=125 (1) A+2B+3C=89+47+63 (2) C=24 (3) D=20 （4）這里注意等式而表示的是A表示1、2、3出現(xiàn)一次。2B表示4、5、6出現(xiàn)兩次。3C表示7出現(xiàn)了三次。A+2B+3C剛好表示看過甲片的人，看過乙片的人，看過丙片的人的人次和。等式（1）和等式（2）一般來講是所有三個集合兩兩相交的問題，必然會出現(xiàn)的兩個等式，大家要好好體會，靈活掌握。第四步：求解。問題當(dāng)中要求求解，“只看過兩部影片的人數(shù)”就是這里的B。我們消去A、C、D就可以了。B=（2）+（

8、4）-（1）-2（3）結(jié)合選項發(fā)現(xiàn)四個選項尾數(shù)均不同，利用尾數(shù)法求的B的尾數(shù)為6。故選擇D選項。小結(jié)：四個步驟。第一步：根據(jù)題意描述出題中所涉及到的幾個集合之間的容斥關(guān)系。第二步：第二步：在集合當(dāng)中把具有相似屬性的封閉區(qū)間，都用一個單獨的字母來表示。 第三步：根據(jù)題意建立等量關(guān)系了。 第四步：求解。 練習(xí)做講義，隨堂練習(xí)2。對答案，點播。 結(jié)：以上是關(guān)于容斥問題在行測考試當(dāng)中最基本的兩種考法。關(guān)于容斥問題，還有一種稍微復(fù)雜一點的考法。3、 集合相交求“至多”和“至少”的問題。 例題5：小明、小剛和小紅三人一起參加一次英語考試，已知考試共有100道題，且小明做對了68題，小剛做對了58題，小紅做

9、對了78題。問三人都最對的題目至少有幾題？A、4題 B、8題 C、12題 D、16題 分析：這道理你一看是不是就知道它考的是容斥問題，但是有同學(xué)算出來選什么了么？為什么大部分同學(xué)看到這道題的時候不會做呢？但是你看了答案好像還很簡單的就算了出來。那是因為你欠缺了一種思維。一種由條件到答案的思維。其實這樣的類型題你想清楚了，其實是很容易求解的。這個題給出的是三個集合之間求“至少”的問題。三個的直接看有點復(fù)雜，我們先看兩個集合求最小的情況。（一）：兩個集合求最小。 A B C D 分析：如我們開始學(xué)習(xí)的四步法。第一步：根據(jù)題意描述出題中所涉及到的幾個集合之間的容斥關(guān)系。第二步：在集合當(dāng)中把每一個獨立

10、的封閉區(qū)間，都用一個單獨的字母來表示。 用A表示小明答對，而非小剛答對的題目數(shù)。 用B表示既是小明答對又是小剛答對的題目數(shù)。 用C表示小剛答對，而非小明答對的題目數(shù)。 用D表示兩個人都未答對的題目數(shù)。第三步：根據(jù)題意建立等量關(guān)系了。 A+B=68 (1) B+C=58 (2) A+B+C+D=100 (3)第四步：求解。我們用（1）+（2）-（3）=B-D=68+58-100=26 這里B和D都是未知量，但是通過分析我們能發(fā)現(xiàn)當(dāng)D取最小值時，B也取最小值。D=0是它的最小值。（根據(jù)題意D不能為負(fù)，而這里A、B、C、D都表示整數(shù)）所以B=26為最小值。這里注意題中沒問“至多”情況。如是“至多”也

11、好理解，就是把小剛做對的58道，讓小明也都做對。這樣至多就是58道題了。結(jié)：以上我們分析了兩個集合相交，求最小的情況，那三個集合相交求最小怎么求呢？（2） 三個集合求最小。分析：大家都知道多米諾骨牌。它是一種用木制、骨制或塑料制成的長方形骨牌。玩時將骨牌按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就會產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，依次倒下。 多米諾是一種游戲，多米諾是一種運動，多米諾還是一種文化。其實它更蘊含一種思想，一種數(shù)學(xué)歸納的思想。我們既然分析了兩個集合相交求“至少”的情況，那么接下來，我們可以把我們算得的小明與小剛的最小交集看成一個集合，在與小紅的交，得到“至少的情況”，應(yīng)該=26+78-100=4道。小結(jié)：這樣我們就整理出來一個規(guī)律。 規(guī)律：若N個集合交出一個最小值的話，一般來講就是把所有集合加和，然后減去（N-1）全集。就得到了。4、 小結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容主要有兩大部分：一個是容斥問題的基本考點。一個是容斥問題中幾個集合相交求“至多”和“至少”的