數(shù)學(xué)公式知識(shí)歸納

1、春考數(shù)學(xué)整理歸納1. 元素與集合的x Î A Û x ÏCU A , x ÎCU A Û x Ï A .2集合a , a , a 的子集個(gè)數(shù)共有2n 個(gè)；真子集有2n 1 個(gè)；非空子集有2n112n個(gè)；非空的真子集有2n 2 個(gè).3.二次函數(shù)的式的三種形式(1)一般式 f (x) = ax2 + bx + c(a ¹ 0) ; (2)頂點(diǎn)式 f (x) = a(x - h)2 + k(a ¹ 0);(3)零點(diǎn)式 f (xa(x - x1 )(x - x2 )(a ¹ 0) .4.充要條件（1） 充分條件：

2、若 p Þ q ，則 p 是 q 充分條件.（2） 必要條件：若 q Þ p ，則 p 是 q 必要條件.（3） 充要條件：若 p Þ q ，且 q Þ p ，則 p 是 q 充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，則5.兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱性的必要條件；反之亦然.(1)函數(shù) y = f (x) 與函數(shù) y = f (-x) 的圖象關(guān)于直線 x = 0 (即 y 軸)對稱. (2)函數(shù) y = f (mx - a) 與函數(shù) y = f (b - mx) 的圖象關(guān)于直線 x = a + b 對稱.2m(3)函數(shù) y = f (x) 和 y = f -1(x) 的

3、圖象關(guān)于直線 y=x 對稱.6.若將函數(shù) y = f (x) 的圖象右移 a 、上移b 個(gè)，得到函數(shù) y = f (x - a) + b 的圖象；若將曲線 f (x, y) = 0 的圖象右移 a 、上移b 個(gè)7互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的f (a) = b Û f -1(b) = a .，得到曲線 f (x - a, y - b) = 0 的圖象.反函數(shù), 則其反函數(shù)為 y = 1 f -1 (x) - b , 并不是8. 若函數(shù) y =f (kx + b)ky = f -1 (kx + b) ,而函數(shù) y = f -1 (kx + b) 是 y = 1 f (x) - b 的反函數(shù).k

4、9.幾個(gè)常見的函數(shù)方程(1)正比例函數(shù) f (x) = cx , f (x + y) = f (x) + f ( y), f (1) = c .(2)指數(shù)函數(shù) f (x) = ax , f (x + y) = f (x) f ( y), f (1) = a ¹ 0 .(3)對數(shù)函數(shù) f (x) = loga x , f (xy) = f (x) + f ( y), f (a) = 1(a > 0, a ¹ 1) .(4)冪函數(shù) f (x) = xa , f (xy) = f (x) f ( y), f ' (1) = a .(5)余弦函數(shù) f (x) = co

5、s x ,正弦函數(shù) g(x) = sin x ， f (x - y) = f (x) f ( y) + g(x)g( y) ，f (0) = 1, lim g(x) = 1 .xx®010.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定 a>0)（1） f (x) = f (x + a) ，則 f (x) 的周期 T=a；（2） f (x) = f (x + a) = 0 ，1或 f (x + a) =( f (x) ¹ 0) ，f (x) 1或 f (x + a) = -( f (x) ¹ 0) ,f (x)1或 +f (x + a),( f (x) Î0,1) ,則

6、 f (x) 的周期 T=2a；( f (x) ¹ 0) ，則 f (x) 的周期 T=3a；f (x) - f 2 (x) =21f (x + a)(3) f (x) = 1 -f (x1) + f (x2 )(4) f (x + x ) =且 f (a)f (x ) × f (x ) ¹ 1, 0 <| x - x |< 2a) ，則121 - f (x ) f (x )121212f (x) 的周期 T=4a；(5) f (x) + f (x + a) + f (x + 2a) f (x + 3a) + f (x + 4a)= f (x) f (

7、x + a) f (x + 2a) f (x + 3a) f (x + 4a) ,則 f (x) 的周期 T=5a；(6) f (x + a) = f (x) - f (x + a) ，則 f (x) 的周期 T=6a. 11.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪m1(1) a n = （ a > 0, m, n Î N*，且 n > 1 ）.n am1ma n- m(2) a=（ a > 0, m, n Î N*，且 n > 1）.n12.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式loga N = b Û a = N (a > 0, a ¹ 1, N > 0)

8、.b34.對數(shù)的換底公式N = logm N( a > 0 ,且a ¹ 1, m > 0 ,且m ¹ 1, N > 0 ).logalog am13對數(shù)的四則運(yùn)算法則若 a0，a1，M0，N0，則(1) loga (MN) = loga M + loga N ;M(2) log= log M - log N ;aaaN(3) loga M = n log M (n Î R) .na14. 對數(shù)換底不等式及其推廣若a > 0 , b > 0 , x > 0 , x ¹ 1 ,則函數(shù) y = log (bx)axa(1)當(dāng)

9、a > b 時(shí),在(0, 1 ) 和( 1 , +¥) 上 y = log (bx) 為增函數(shù).axaa11，(2)當(dāng)a < b 時(shí),在(0, ) 和( , +¥) 上 y = log (bx) 為減函數(shù).axaa推論:設(shè) n > m > 1， p > 0 ， a > 0 ，且 a ¹ 1，則（1） logm+ p (n + p) < logm n .2 m + n.（2） log m log n < logaaa215.數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)的和的n = 1= ìs1,( 數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)的和為

10、s = a + a + a ).aísn- s, n ³ 2nn12nî nn-116.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a = a + (n -1)d = dn + a - d(n Î N *) ；n11其前 n 項(xiàng)和公式為= n(a1 + an )+ n(n -1) d= nasn122= d n2 + (a - 1 d )n .12217.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a = a qn-1 = a1 × qn (n Î N*) ；n1q其前 n 項(xiàng)的和公式為ì a (1- qn )ï 1, q ¹ 1sn = í1-

11、 qïna , q = 1î1ì a1 - anq , q ¹ 1= ï1- q或 sí.nïîna1, q = 118.等比差數(shù)列an : an+1 = qan + d, a1 = b(q ¹ 0) 的通項(xiàng)公式為ìb + (n -1)d , q = 1ïa =bq + (d - b)q- dn-1ín；n, q ¹ 1ïq -1î其前 n 項(xiàng)和公式為ìnb + n(n -1)d , (q = 1)= ïsí(b -

12、)d1- qnd.n+n,(q ¹ 1)ï1- qq -11- qî19.分期付款(按揭)ab(1+ b)n每次還款 x =a 元, n 次還清,每期利率為b ).元(1+ b)n -120常見三角不等式（1）若 x Î(0, p ) ，則sinx < tan x .2(2) 若 x Î(0, p ) ，則1 < sin x + cos x £2 .2(3) | sin x | + | cos x |³ 1.21.同角三角函數(shù)的基本式sin 2 q + cos2 q = 1， tanq = sinq， tanq

13、× cotq = 1.cosq22.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式ìnï(-1) 2 sina,np(n 為偶數(shù))sin(+ a ) = í2n-1ïî(-1)co sa,2(n 為奇數(shù))(n 為偶數(shù))ìnï(-1)2 co sa,npco s(+ a ) = í(n 為奇數(shù))2n+1ïî(-1)sina,223.三角函數(shù)的周期公式函數(shù) y = sin(w x + j ) ，xR 及函數(shù) y = cos(w x + j ) ，xR(A,j 為，且 A0，0)的周期T = 2p ；函數(shù) y = t

14、an(w x + j ) ， x ¹ kp + p , k Î Z (A,j 為，且Aw20，0)的周期T = p .w24. a 與 b 的數(shù)量積(或內(nèi)積)a·b=|a|b|cos25. a·b 的幾何意義數(shù)量積 a·b 等于 a 的長度|a|與 b 在 a 的的投影|b|cos的乘積26.平面的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè) a= (x1, y1 ) ,b= (x2 , y2 ) ，則 a+b= (x1 + x2 , y1 + y2 ) .(2)設(shè) a= (x1, y1 ) ,b= (x2 , y2 ) ，則 a-b= (x1 - x2 , y1 - y

15、2 ) .(4)設(shè) a= (x, y), l Î R ，則l a= (l x, l y) .(5)設(shè) a= (x1, y1 ) ,b= (x2 , y2 ) ，則 a·b= (x1x2 + y1 y2 ) .27.兩cosq =的夾角公式x1 x2 + y1 y2(a= (x , y ) ,b= (x , y ) ).1122x2 + y2 ×x2 + y21122的平行與垂直28.設(shè) a= (x1, y1 ) ,b= (x2 , y2 ) ，且 b ¹ 0，則A | b Û x1 y2 - x2 y1 = 0 .A b Û x1 x

16、2 + y1 y2 = 0 .29.斜率公式k = y2 - y1 （ P (x , y ) 、 P (x , y ) ）.x - x1112222130.直線的五種方程（1） 點(diǎn)斜式 y - y1 = k(x - x1 ) (直線l 過點(diǎn) P1 (x1, y1 ) ，且斜率為 k )（2） 斜截式 y = kx + b (b 為直線l 在 y 軸上的截距).y - y1x - x1=( y ¹ y )( P (x , y ) 、 P (x , y )( x ¹ x（3）兩點(diǎn)式).1211122212y - yx - x2121x +y = 1( a、b 分別為直線的橫、縱

17、截距， a、b ¹ 0 )(4)截距式ab（5）一般式 Ax + By + C = 0 (其中 A、B 不同時(shí)為 0). 31.兩條直線的平行和垂直(1)若l1 : y = k1x + b1 ， l2 : y = k2 x + b2 l1 | l2 Û k1 = k2 ,b1 ¹ b2 ; l1 l2 Û k1k2 = -1. 32.點(diǎn)到直線的距離d = | Ax0 + By0 + C | (點(diǎn) P(x , y) ,直線l ： Ax + By + C = 0 ).00A2 + B233. 圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (x - a)2 + ( y -

18、b)2 = r2 .（2）圓的一般方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ( D2 + E2 - 4F 0).ìx = a + r cosqí y = b + r sinq（3）圓的參數(shù)方程.î（ 4 ） 圓的直徑式方程 (x1 )(x - x2 ) + ( y - y1)( y - y2 ) = 0 ( 圓的直徑的端點(diǎn)是A(x1, y1 ) 、 B(x2 , y2 ).34.圓的切線方程(1)已知圓 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 若已知切點(diǎn)(x0 , y0 ) 在圓上，則切線只有一條，其方程是y + D(x0 + x) + E( y0 + y) + F = 0 .x x + y0022當(dāng)(x , y ) 圓外時(shí), x x + y y + D(x0 + x) + E( y0 + y) + F = 0 表示過兩個(gè)切點(diǎn)000022的切點(diǎn)弦方程過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為 y - y0 = k(x - x0 ) ，再利用相切條件求 k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于 y 軸的切線斜率為 k 的切線方程可設(shè)為 y = kx + b ，再利用相切條件求 b，必有兩條切線(2)已知