平面向量復(fù)習(xí)講義

1、平面向量復(fù)習(xí)講義一向量有關(guān)概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來(lái)表示，注意不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。2零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；3單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；4相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向

2、量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無(wú)傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?；6相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如下列命題：（1）若，則。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_（答：（4）（5）二向量的表示方法：1幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來(lái)表示，如，等；3坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐

3、標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。三平面向量的線性運(yùn)算：（1）向量加法：三角形法則:（“首尾相接，首尾連”）,如圖，已知向量a、.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，則向量叫做與的和，記作定：a + 0-= 0 +aa a=a,當(dāng)向量與不共線時(shí)，+的方向不同向，且|+|<|+|；當(dāng)與同向時(shí)，則+、同向，且|+|=|+|，當(dāng)與反向時(shí)，若|>|，則+的方向與相同，且|+|=|-|；若|<|，則+的方向與相同，且|+b|=|-|.結(jié)論：平行四邊形法則:以同一起點(diǎn)的兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，則以公共起點(diǎn)為起點(diǎn)的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)向量就是和向量。加法的運(yùn)算律 1）向量加法

4、的交換律：+=+2）向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+) （2）向量減法： 向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差. 即：a - b = a + (-b) 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法. 1.用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法： 向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算： 若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - bOabBaba-b 2.求作差向量：已知向量a、b，求作向量a - b (a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)O， 作= a， = b 則= a - b即a - b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向

5、量.由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。OABaBb-bbBa+ (-b)ab 注意：1°表示a - b. 強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù) 2°用“相反向量”定義法作差向量，a - b = a + (-b)課堂練習(xí)：1.化簡(jiǎn)：_；_；_（答：；）；2.若正方形的邊長(zhǎng)為1，則_（3）向量數(shù)乘：求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算1.a|_|a|_；2當(dāng)>0時(shí)，a的方向與a的方向_相同_；當(dāng)<0時(shí)，a的方向與a的方向相反_；當(dāng)0時(shí)，a0_3向量數(shù)乘的運(yùn)算律(a)_（）a_；()a_aa_；(ab)_ab_。（4）共線向量定理a是一個(gè)非零向量，

6、若存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba，則向量b與非零向量a共線（證明三點(diǎn)共線）三點(diǎn)共線共線。注意：(1)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線(2)向量a、b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，當(dāng)且僅當(dāng)120時(shí)成立，則向量a、b不共線例1.設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線4 平面向量的基本定理： 如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a=e1

7、e2 我們把不共線的向量e1和e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。向量的夾角:已知兩個(gè)非零向量、，作，則AOB，叫向量、的夾角，當(dāng)，、同向，當(dāng)，、反向，當(dāng)，與垂直，記作。例1如圖，在ABC中，E、F分別為AC、AB的中點(diǎn)，BE與CF相交于G點(diǎn)，設(shè)a，b，試用a，b表示.用方程思想解決平面向量的線性運(yùn)算問(wèn)題：例2如圖所示，在ABO中，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)a，b.試用a和b表示向量.解設(shè)manb，則manba(m1)anb.ab.又A、M、D三點(diǎn)共線，與共線存在實(shí)數(shù)t，使得t，即(m1)anbt.(m1)anbtatb.，消去t得，m12n，即m2n1.又manbaanb，baab.又C

8、、M、B三點(diǎn)共線，與共線存在實(shí)數(shù)t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1.由得m，n，ab.課堂練習(xí)：（1）若，則_（答：）；（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）；（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_(kāi)（答：）；（4）已知中，點(diǎn)在邊上，且，則的值是_（答：0）5 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若在平面直角坐標(biāo)系下，a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)加法：ab(x1x2，y1y2)(2)減法：ab(x1x2，y1y2)(3)數(shù)乘：l a(l x1，l y1) （4）向量的坐標(biāo)：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，一個(gè)向量的坐

9、標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。 （5）中點(diǎn)坐標(biāo)：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為 （6）向量相等：:若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 （7）向量共線或平行：a(x1，y1)，b(x2，y2)，若，則. 題型一 求向量的坐標(biāo)OxAy 【例題1】如圖所示，若,與軸正方向夾角為30°，求向量的坐標(biāo). 【例題2】的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，為的中點(diǎn)，求向量. 題型二 由向量相等求參數(shù)的值 【例題3】已知向量，若，求的值. 題型三 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 1. 向量坐標(biāo)運(yùn)算的直接應(yīng)用 【例題4】已知平面向量，則向量=（ ） A. B. C. D

10、. 2. 利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)的坐標(biāo) 【例題5】已知且,求的坐標(biāo). 題型四 平面向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算 【例題6】(1)若向量，當(dāng)_時(shí)與共線且方向相同（答：2）；（2）已知，且，則x_（答：4）；（3）設(shè)，則k_時(shí)，A,B,C共線（答：2或11）6 平面向量的數(shù)量積（1）兩個(gè)非零向量夾角的概念：已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角.說(shuō)明：1當(dāng)時(shí)，與同向；2當(dāng)時(shí)，與反向；3當(dāng)時(shí)，與垂直，記；4注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0°q180°（2）平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義： 已知兩個(gè)非零向量，它們的夾角是，則數(shù)量叫的數(shù)量積，記作，即有=，（）.注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)

11、數(shù)，不再是一個(gè)向量。 其中是的夾角，叫做向量方向上（方向上）的投影。我們規(guī)定0向量與任何向量的數(shù)量積為0.（3） 兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量， 1ab Û a×b = 02當(dāng)a與b同向時(shí)，a×b = |a|b|； 當(dāng)a與b反向時(shí)，a×b = -|a|b|. 特別的a×a = |a|2或 |a×b| |a|b| cosq = 3當(dāng)為銳角時(shí)，0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；當(dāng)為直角時(shí)，=0.（4） 向量的投影：“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量

12、b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值； 當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值； 當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；當(dāng)q = 0°時(shí)投影為 |b|； 當(dāng)q = 180°時(shí)投影為 -|b|.向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a×b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.（5）向量的運(yùn)算律：1交換律：，；2結(jié)合律：，；3分配律：，。如下列命題中： ； ； ； 若，則或；若則；。其中正確的是_（答：）（6） 向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角：1 數(shù)量積：a·bx1x2y1y2，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。2向量垂直：abx1x2y

13、1y203向量的模長(zhǎng)：若a(x，y)，則4向量的夾角：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則5兩點(diǎn)間的距離：若，則 6a在b方向上的正射影的數(shù)量為課堂練習(xí)：1.已知，且，則向量在向量上的投影為_(kāi)（答：）2.已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_（答：或且）；3.已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_（答：）；4.ABC中，則_（答：9）；5.已知，與的夾角為，則等于_（答：1）；6.已知，則等于_（答：）；7.已知均為單位向量，它們的夾角為，那么_（答：）； 8.已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為_(kāi)七向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2），特別地，當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實(shí)數(shù)比較類似).（3）在中，若，則