三角函數(shù)的應用

1、三角函數(shù)的應用摘要： 三角函數(shù)在歷史長河的沉淀中，不僅是科學研究的重要組成部分，還是數(shù)學學習中得重點難點，更是我們實際生活中不可缺少的元素。我從三角函數(shù)的發(fā)展以及生活實際應用舉例兩方面來研究關鍵詞：三角函數(shù) 三角函數(shù)的應用三角函數(shù)是數(shù)學中常見的一類關于角度的函數(shù)。三角函數(shù)將直角三角形的內角和它的兩個邊的比值相關聯(lián)，也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。三角函數(shù)在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用，也是研究周期性現(xiàn)象的基礎數(shù)學工具1。在數(shù)學分析中，三角函數(shù)也被定義為無窮級數(shù)或特定微分方程的解，允許它們的取值擴展到任意實數(shù)值，甚至是復數(shù)值。常見的三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、

2、余弦函數(shù)和正切函數(shù)或者1。在航海學、測繪學、工程學等其他學科中，還會用到如余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、半正矢函數(shù)等其他的三角函數(shù)。不同的三角函數(shù)之間的關系可以通過幾何直觀或者計算得出，稱為三角恒等式。三角函數(shù)一般用于計算三角形中未知長度的邊和未知的角度，在導航、工程學以及物理學方面都有廣泛的用途。另外，以三角函數(shù)為模版，可以定義一類相似的函數(shù)，叫做雙曲函數(shù)2。常見的雙曲函數(shù)也被稱為雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)等等。經過數(shù)學歷史的長河的沉淀，科學研究的進步，實際生活的操作。三角函數(shù)的實際應用在生活中有著不可取代的地位。三角函數(shù)可以計算三角形。中未知長度的邊和未知的角度，在導航系統(tǒng)工程學

3、以及物理學方面都有廣泛的用途。有許多周期現(xiàn)象可以用三角函數(shù)來模擬，如物理中簡諧振動、交流電中的電流、潮汐等，都可以建立三角函數(shù)的模型利用三角函數(shù)的性質解決有關問題；很多最值問題都可以轉化為三角函數(shù)來解決，如天氣預報、建筑設計、航海、測量、國防中都能找到神奇的三角函數(shù)的影子。一、三角函數(shù)的形成與發(fā)展三角學由起源迄今差不多經歷了三四千年之久的發(fā)展，現(xiàn)今使用的三角函數(shù)發(fā)展于歐洲的中世紀時期。在古代，由于古代天文學的需要， 為了計算某些天體的運行行程問題，需要解一些球面三角形，在解球面三角形時，往往把解球面三角形的問題歸結成解平面三角形，這些問題的積累便形成了所謂古代球面三角學古代平面三角學

4、。隨著認識到相似三角形在它們的邊之間保持相同的比率，就有了在三角形的邊的長度和三角形的角之間應當有某種標準的對應的想法。就是說對于任何相似三角形，比方斜邊和剩下的兩個邊的比率都是相同的。如果斜邊變?yōu)閮杀堕L，其他邊也要變?yōu)閮杀堕L。三角函數(shù)表達的就是這些比率。三角函數(shù)在數(shù)學中屬于初等函數(shù)里的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們本質上是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。由于三角函數(shù)具有周期性，所以并不具有單射函數(shù)意義上的反函數(shù)。歐拉的無窮微量解析入門對建立三角函數(shù)在歐洲的分析處理做了最主要的奉獻，他定義三角函數(shù)為無窮級數(shù)，并表述了歐拉公式，還有使用接近現(xiàn)代的簡寫sin、cos、tang、cot、se

5、c、cosec。二、三角函數(shù)的應用與生活三角函數(shù)在實際生產、生活中應用的“隨處可見” 算屋頂?shù)母吆烷L度的時候會用到，計算比較復雜點的如直的圓的形式各樣的樓梯，坡道，土方工程的測量控制、公路橋梁的走向，花園的規(guī)劃，材料的預算等方面也時常會用到。（一） 停車場設計問題如圖ABCD是一塊邊長為100m的正方形地皮，其中ATPN是一半徑為90m的扇形小山，P是弧TN上一點，其余部分都是平地，現(xiàn)一開發(fā)商想在平地上建造一個有邊落在BCCD與上的長方形停車場PQCR，求長方形停車場PQCR面積的最大值和最小值。 解：1設PAB=，0°90°，則AM=90cos，PM=90sin

6、RP=RM-PM=100-90sin，PQ=MB=100-90cosS=PQPR=100-90sin 100-90cos =10000-9000sin+cos+8100sincosS=f=10000-9000sin+cos+8100sincos；2設sin+cos=t，則 sincos= 即t=sin+，0，1t， 代入S化簡得 S=故當t=時，Smin=950m2；當t=時，Smax=14050-9000m2二采光問題已知某小區(qū)的兩幢10層住宅樓間的距離為AC=30 m，由地面向上依次為第1層、第2層、第10層，每層高度為3 m假設某一時刻甲樓在乙樓側面的影長EC=h，太陽光線與水平線的夾角

7、為 (1) 用含的式子表示h(不必指出的取值范圍)； (2) 當30°時，甲樓樓頂B點的影子落在乙樓的第幾層？假設每小時增加15°，從此時起幾小時后甲樓的影子剛好不影響乙樓采光？(1) 過點E作EFAB于F，由題意，四邊形ACEF為矩形 EF=AC=30，AF=CE=h, BEF=，BF=3×10-h=30-h 又 在RtBEF中，tanBEF=BFEF ， tan= ，即30 - h=30tan. h=30-30tan(2)當30°時，h=30-30tan30°=30-30× 12.7，(2) 12.7÷34.2， B點的

8、影子落在乙樓的第五層 當B點的影子落在C處時，甲樓的影子剛好不影響乙樓采光.此時，由AB=AC=30，知ABC是等腰直角三角形，ACB45° 45-30/15 = 1(小時).故經過1小時后，甲樓的影子剛好不影響乙樓采光。三銷售利潤問題某專業(yè)調查隊在調查某商品的出廠價格和它的市場銷售價格時發(fā)現(xiàn)： 信息1：該商品的出廠價格是在6元的基礎上按月份隨函數(shù) y1=A1sin1x+1+B1波動的.已知3月份出廠價格到達最高，為8元，然后逐漸降低，到7月份出廠價格到達最低，為4元 信息2：該商品的銷售價格是在8元的基礎上，按月份隨函數(shù)y2=A2sin2x+2+B2波

9、動的.已知5月份銷售價格到達最高，為10元，然后逐漸降低，到9月份銷售價格到達最低，為6元 1根據上述信息，求該商品的出廠價格y1元/件和銷售價格y2元/件與月份x之間的函數(shù)關系式； 2假設某經銷商每月購進該商品m件，且當月能售完，則在幾月份盈利最大？并說明理由 解析 1依題意，得B1=8+42=6，A1=2，T1=2×7-3=8， 所以1=2T1=4，y1=2sin4x+1+6. 將點3，8代入函數(shù)y1=2sin4x+1+6，得1=-4， 所以y1=2sin4x-4+6. 同理，可得y2=2sin4x-34+8.

10、 2因為利潤函數(shù)是y=my2-y1=m2sin4x-34+8-2sin4x-4-6 =m2-22sin4x， 當sin4x=-1，即4x=2k-2kZ，亦即x=8k-2kZ時，y取最大值 又1x12，故當k=1，即x=6時，y最大. 綜上可知，在6月份盈利最大 通過三角函數(shù)的應用，解決經濟學中的銷售利潤問題，也是我們工作中常常用到的手法。通過生活中的例子我們可以體會到三角函數(shù)在生活中應用之大。歷經歷史長河的沉淀，三角函數(shù)不僅是科學研究的重要組成部分，還是實際生活應用中不可缺少的。通過我們的研究，我們深深地體會到，身邊就有數(shù)學，數(shù)學就在身邊，也可以體會到三角函數(shù)在生活中應用之大。在設“角”求解的生活情景中一般涉及到角與邊之間的相互關系，對這類問題，一般可以利用三角函數(shù)的相關知識，如正弦、余弦定理、數(shù)形結合、