2019-2020創(chuàng)新設計一輪復習第五章第2節(jié)

1、第2節(jié)等差數列及其前n項和考試要求 1.理解等差數列的概念；2.掌握等差數列的通項公式與前 n項和公式；3.能在具體的問題情境中識別數列的等差關系，并能用等差數列的有關知識解決 相應的問題；4.體會等差數列與一次函數的關系.I知快衍化密驗回"教總分支基礎知識梳理1 .等差數列的概念(1)如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這 個數列就叫做等差數列.數學語言表達式：an+i an=d(nC N , d為常數).a+b(2)若a, A, b成等差數列，則A叫做a, b的等差中項，且A=2=.2 .等差數列的通項公式與前n項和公式(1)若等差數列an的首項是a

2、i,公差是d,則其通項公式為an=a+ (n1)d.、， 一 .,、n (n1) d n (a1 + an)前n項和公式：Sn = na±2= -2一.3 .等差數列的性質(1)通項公式的推廣：an=am+(nm)d(n、mCN ).(2)右an為等差數列，且k+ l = m+n(k, l, m, nCN ),則a8+可=電+ %.一、，、 一 、，一 、一 一一一一、，一(3)右an是等差數列，公差為d,則ak, ak+ m, ak+ 2m, - (k, mCN )是公差為md 的等差數列.若Sn為等差數列an的前n項和，則數列Sm, S2m-Sm, S3m- S2m,也是等差 數

3、列.(5)若&為等差數列an的前n項和，則數列gn也為等差數列.微點提醒1 .已知數列an的通項公式是an=pn+q(其中p, q為常數)，則數列an 一定是等 差數列，且公差為p.2 .在等差數列an中，ai>0, d<0,則與存在最大值；若aK0, d>0,則與存 在最小值.3 .等差數列an的單調性：當d>0時，an是遞增數列；當d<0時，an是遞減 數列；當d=0時，an是常數列.4 .數列an是等差數列？ Sn = An2+Bn（A, B為常數）.基礎自測疑謖辨析工1 .判斷下列結論正誤（在括號內打“或"X” ）（1）數列an為等差數列

4、的充要條件是對任意 nCN*,都有2an+i = an+an+2.（）等差數列an的單調性是由公差d決定的.（）數列an為等差數列的充要條件是其通項公式為 n的一次函數.（）等差數列的前n項和公式是常數項為0的二次函數.（）解析（3）若公差d=0,則通項公式不是n的一次函數.（4）若公差d=0,則前n項和不是二次函數答案 ，（3）X （4）X教材衍化、2 .（必彳5P46A2改編）設數列an是等差數列，其前n項和為Sn,若a6 = 2且S5 =30,則S8等于（）A.31B.32C.33D.34ai+5d = 2,解析由已知可得S5ai + 10d=30,26a1=3'解得 d. .

5、S8= 8a1 + d d = 32.,42d=-3，答案 B 3.（必彳5P68A8 改編）在等差數歹U an中，若 a3+a4+a5+a6+a7=450,貝U a2+a8解析由等差數列的性質，得 a3+a4+a5+a6 + a7= 5a5=450,.25=90,a2 +a8= 2a5= 180.答案 180考題體驗、4 .(2018全國I卷)記Sn為等差數列an的前n項和.若3Ss=S2+S4, ai = 2,則a5 =()A.12B.-10C.10D.123解析 設等差數列an的公差為d,則3(3a1+3d)=2a1+d+4a+6d,即d= 2a1.又 a1=2,.d= 3, . .a5

6、 = a1 + 4d = 2 + 4X(3)=10.答案 B5 .(2019上海黃浦區(qū)模擬)已知等差數列an中，a2=1,前5項和%=15,則數列an的公差為()5-A.-3B.-2C.-2D.-4解析 設等差數列an的首項為a1,公差為d,o2- 1a1 + d= 1，a2 ,因為所以5X4$5=15,5a1+ 2 d = - 15,解得d = - 4.答案 D6.(2019蘇北四市聯(lián)考)在等差數列an中，已知a3+a8>0,且S9<0,則Si,，S9中最小的是.解析 在等差數列an中， a3+a8>0, S9<0,9 (a1 + a9)1 a5 + a6 = a3

7、+ a8>0, S9 =2 9a5<0,2 -a5<0, a6>0,3 .S1, S2,，&中最小的是S5.答案 S5I考點聚焦突破I分類講練患版例求法考點一等差數列基本量的運算【例11 (1)(一題多解)(2017全國I卷)記Sn為等差數列an的前n項和.若a4+a5= 24, S6=48,則an的公差為()A.1B.2C.4D.8(2)(2019濰坊才測)設等差數列an的前n項和為Sn, Sii = 22, a4= 12,若am= 30,則 m=()A.9B.10C.11D.15解析(1)法一 設等差數列an的公差為d ,f (a1 + 3d)十(a1 +

8、4d) =24,依題意得66X5所以d = 4.6a1 + 2d = 48,、(a1 + a6)x 6法二 等差數列an中，S6=2=48,則 a1+a6=16=a2+a5,又 a4 + a5=24,所以 a4a2 = 2d=24 16= 8,貝U d = 4.設等差數列an的公差為d,依題意得f11X (11 1)iS11=11a +od = 22, /口a1 = 33，<2解得la4= a + 3d= - 12,，7, am = a1+(m1)d= 7m40 = 30,m= 10.答案(1)C (2)B規(guī)律方法1.等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1, an, d, n,

9、Sn,知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題a1和d是等差2.數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而數列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法【訓練11 等差數列l(wèi)og3（2x）, log3（3x）, log3（4x+2）,的第四項等于（）A.3 B.4 C.log3l8 D.log324（一題多解）設等差數列an的前n項和為8, S3=6, S4=12,則Se=解析 （1）：log3（2x）, log3（3x）, log3（4x+2）成等差數列J, log3（2x） + log3（4x+ 2） = 210g3（3x）, .1og32x（4x+2） =

10、1og3（3x）2,則 2x（4x+ 2） = 9x2,解之得x=4, x= 0（舍去）.等差數列的前三項為1og38, 1og3l2, 1og3l8,3. .公差 d=1og3121og38=1og32,3數列的第四項為 1og3l8+1og32=1og327=3.（2）法一 設數列an的首項為ai,公差為d,S3=3ai+3d = 6,ai=0,由S3 = 6, S4=12,可得i解得iS4= 4ai + 6d= 12,d = 2,所以 & = 6ai + 15d= 30.法二由an為等差數列，故可設前n項和Sn=An2+Bn,S3=9A+3B = 6,由 S3 = 6, S4=1

11、2 可得：§=16A+4B=12,解得彳即 Sn=n2 n,則 Ss = 36 6= 30.（B=T,答案（1）A （2）30考點二 等差數列的判定與證明*典例遷移【例2】（經典母題）若數列an的前n項和為Sn,且滿足an+2SnSn i=0（n>2）,1 ai = 2.求證：Kin誠等差數列；求數列an的通項公式.(1)證明當n2時，由an+ 2SnSn 1 0,11行 Sn Sn-1 2snsn-1,所以 -=2, M Sn-11a1=2,故1是首項為2,公差為2的等差數列.1_1(2)解由(1)可得Sn = 2n, ；&=赤.當n>2時,2n (n-1).一

12、 c o 一工 一一 1所以"=2+(n1)X2= 2n,故 & =不.Sn2n 1 n an-Sn 與1 -2n 2 (n-1) -2n (n-1)， 一1 一一 ，、當n= 1時，a1 = 2不適合上式.r1d2, n= 1,n>2.故an =d12n (n1)，【遷移探究U 本例條件不變，判斷數列an是否為等差數列，并說明理由 解因為 an = Sn Sn 1 (n >2), an + 2Sn& 1=0,所以 Sn-Sn 1+2SSn 1 = 0(n>2).，11所以三一； 一=2(n>2).Sn Sn-1所以當n2時,an= Sn Sn

13、 1112n2 (n-1)一12n (n 1)所以去是以2為首項，2為公差的等差數列 Sn(n+1)-12n1 p- 1 1c / 八， 又 an + 1 an = / 八 一八 / 八2n (n+1)2n (n+1) 2n (n1)所以當n2時，an+i an的值不是一個與n無關的常數，故數列an不是一個等 差數歹.3【遷移探九2】 本例中，右將條件變?yōu)?ai = nan+i = (n+1)an+n(n+1),試求5數列an的通項公式.足n上斤l-rZF=I an + 1an .口仃 an+1an.3解 由已知可得一二 =一+1, 即一二一 一=1，又 a=£， n+1 n 

14、9;n+1 n '5'an是以號=5為首項，i為公差的等差數歹1,an 32.2 2-=5+(n1) 1=n5, . an=n5n.規(guī)律方法 1.證明數列是等差數列的主要方法: (1)定義法：對于n2的任意自然數，驗證anan-1為同一常數.(2)等差中項法：驗證2an-1 = an + an-2(n>3, n C N*)都成立.2.判定一個數列是等差數列還常用到結論：(1)通項公式：an=pn+q(p, q為常數)？ an是等差數列.前n項和公式：Sn=An2+ Bn(A, B為常數)？ an是等差數列.問題的最終判定還是利用定義.【訓練2】(2017全國I卷)記&am

15、p;為等比數列an的前n項和.已知& = 2, S3=6.(1)求an的通項公式；(2)求Sn,并判斷Sn+1, Sn, Sn + 2是否成等差數列.q=-2,a = 1 2.解(1)設an的公比為q,由題設可得'a1(1 + q)=2,a(1 + q + q2) = -6,牛行故an的通項公式為an=( -2)n.n+1(2)由(1)可得 c _a1(1-qn)_ 2 ,、n2Sn=a=一。+(-1)1-q 3 、/n+3.n+242 2由于 Sn + 2+Si+1 = «+ ( 1) q33=23+ (- 1)n . 3 L 2Sn，故Sn + 1, Sn, 3+

16、2成等差數列.考點三 等差數列的性質及應用 .多維探究 角度1等差數列項的性質【例 3-11 (2019 臨沂一模)在等差數列an中,a +3a8+a15= 120,則 a2+a14的值為()A.6B.12C.24D.48解析.在等差數歹Ian中，a + 3a8 + a15=120,由等差數列的性質，a1 + 3a8+ a5= 5a8= 120, a8=24, . a2 +aI4= 2a8 = 48.答案 D角度2等差數列和的性質【例3 2】 設等差數列an的前n項和為Sn,若0=9, &=36,則a?+a8+a9 等于()A.63B.45C.36D.27解析 由an是等差數列，得S3

17、, Ss S3, S9S6為等差數列，即 2(S6-S3)= S3+(S9-S6),得到 S9 S6 = 2S6 30 = 45,所以 a7 + a8+as = 45.答案 B規(guī)律方法 1.項的性質：在等差數列an中，右m+n=p+ q(m, n, p, qC N ),貝U am+an=ap+aq.2.和的性質：在等差數列an中，Sn為其前n項和，則 (1)S2n= n(a1 + a2n)=n(an+ an+1)；&n-1=（2n 1）an.【訓練3】（1）已知Sn是等差數列an的前n項和，若ai = 2。15,察箕篝92 0 15 2 009=6 ,則 S2 019 =.（2019荊

18、州一模）在等差數列an中，若a3+a4 + a5=3,a8 = 8MU a12的值是（）A.15B.30C.31D.64等差數列an與bn的前n項和分別為Sn和Tn,若Sn=2nn言，則07等于（）3719394A.27b.14C.29d.3解析（1）由等差數列的性質可得iS也為等差數列.設其公差為 d,則215-209= 6d = 6,4=1.,S2 019 Si 八故 2019= V+2 018d= 2 015+ 2 018=3, 2 0 191.S2 019= 3X2 019= 6 057.（2）由a3+ a4 + a5= 3及等差數列的性質，3a4= 3,貝U a4= 1.又 a4 +

19、 a12=2a8,得 1 + a2=2X8. a12=161=15.a1+ a13一 ,zX 13型 2a7. a1 + a132 S13b7 2b7 b1 + b13 b+b13T13X133X13 2 37 cr.2X13+1 27答案 （1）6 057 （2）A （3）A考點四 等差數列的前n項和及其最值【例4】（2019衡水中學質檢）已知數列an的前n項和為Sn, a1w0,常數0,且入1an=S + Sn對一切正整數n都成立.求數列an的通項公式；設ai>0,彩100,當n為何值時，數列”g an柏勺前n項和最大?解 (1)令 n=1,得 入 1=2Si = 2ai, ai(入

20、企2)=0,，2因為aiw0,所以ai = q22 一當 n2 時，2an=+ Sn, 2an-1=-廣 Sn-i,兩式相減得 2an 2an-1 = an(n> 2).所以 an = 2an i(n>2),從而數列an為等比數列，an = ai 2n 1 =今._ r 入2n(2)當ai>0,8100時，由(1)知，2門=而，.1.100n 一 一一則 bn = lg - = lg _2k=lg 100 lg 2 =2nlg 2,所以數列bn是單調遞減的等差數列，公差為一lg 2,100100所以 bi>b2> - >b6=lg -26"= lg

21、 -64>lg 1 = 0,當 n7 時，bn&b7 = lg 1270<lg 1 = 0,所以數列% an訥前6項和最大.規(guī)律方法 求等差數列前n項和Sn的最值的常用方法：(1)函數法：利用等差數列前n項和的函數表達式Sn=an2+bn(aw0),通過配方或借助圖象求二次函數的最值利用等差數列的單調性，求出其正負轉折項，進而求Sn的最值.amn 0,當ai>0, d<0時，滿足i 的項數m使彳# Sn取得最大值為Sm(當am+i = 0©m+ 1 0 0時，Sm+1也為最大值)；am0 0,當ai<0, d>0時，滿足i 的項數m使彳#

22、Sn取得最小值為Sm(當am+i = 0«m+ 1 1 0時，Sm+i也為最小值).【訓練4】（1）等差數列an的公差dw0,且a3, a5, a15成等比數列,若a5=5,Sn為數歹U an的前n項和，則數列|I勺前n項和取最小值時的口為（）A.3B.3 或 4D.5C.4 或 5已知等差數列an的首項a=20,公差d= 2,則前n項和Sn的最大值為解析（1）由題意知1g +4d = 5,(a1 + 2d) (a1+14d) =25,由 dw0,解得 a1 = 3, d = 2,n (n 1)o na1 +入d,Sn2- 一= 3+ n 1 = n 4,nn'貝U n-4&

23、gt;0,彳導 n>4,數列自幣,的前n項和取最小值時的n為3或4.（2）因為等差數列an的首項a = 20,公差d= 2,n (n1)n (n 1)Sn= na1 +2d = 20n-2乂 2=n2 + 21n= n 21 221 2萬廠團，又因為nCN*，所以n=10或n=11時，Sn取得最大值，最大值為110.答案(1)B (2)110反思與感悟思維升華1 .證明等差數列可利用定義或等差中項的性質， 另外還常用前n項和6 = An2+Bn及通項an= pn+ q來判斷一個數列是否為等差數列.2 .等差數列基本量思想在解有關等差數列的基本量問題時，可通過列關于ai, d的方程組進行求

24、解.(2)若奇數個數成等差數列，可設中間三項為 a-d, a, a+d.若偶數個數成等差數列，可設中間兩項為 a-d, a+d,其余各項再依據等差數列 的定義進行對稱設元.靈活使用等差數列的性質，可以大大減少運算量.易錯防范1 .用定義法證明等差數列應注意 “從第2項起”，如證明了 an+i an=d(n>2)時,應注意驗證a2 ai是否等于d,若a2 ai*d,則數列an不為等差數列.2 .利用二次函數性質求等差數列前n項和最值時，一定要注意自變量n是正整數.分層訓練霾提升能為I分層限時期綜基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1 .已知等差數列an前9項的和為27, ai0=8

25、,則aioo=()A.100B.99C.98D.97解析 設等差數列an的公差為d,由已知,9ai + 36d = 27,ai= i,得s所以slai + 9d = 8,1d=i,所以 ai00= ai + 99d= i + 99= 98.答案 C2 .（20i9淄博調研）設Sn是等差數列an的前n項和，若詈=磊，則誓=（）a5 IIS9-iA.iB.-iC.2D.2Si iia6 iiv 9. d斛析由于0=9a5 = 9ii=i.答案 A3.（2019中原名校聯(lián)考）若數列an滿足,一工=d（nC N*, d為常數），則稱數列an 、，、，an + 1 an '，為調和數列，已知數歹

26、!J，為調和數列，且Xl + X2+X20=200,則X5+X16=（）A.10B.20C.30D.4011牛析 依冠Lib、,1 一 =xn+1xn = d,Xn+1 Xn；Xn是等差數列.20（X1 + X20）又 X1 + X2 + + X20 =2 200.X1 + X20=2O,從而 X5+X16 = X1 + X20=20.答案 B4.（2019北京海淀區(qū)質檢）中國古詩詞中，有一道“八子分綿”的數學名題：“九百九十六斤綿，贈分八子作盤纏，次第每人多十七，要將第八數來言”.題意是：把996斤綿分給8個兒子作盤纏，按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的 比年齡大的多17斤綿，那么第8

27、個兒子分到的綿是（）A.174 斤B.184 斤C.191 斤D.201 斤解析 用a1，a2,，a8表示8個兒子按照年齡從大到小得到的綿數，由題意得數列a1，82,，a8是公差為17的等差數列，且這8項的和為996,-8X7 /口_ 8a1+ 2 X 17 = 996,解之得 a1=65. 88=65+7X 17=184,即第8個兒子分到的綿是184斤.答案 B5.已知等差數列an的前n項和為Sn, a1 = 9, S9t= 4,則Sn取最大值時的n 為（）A.4B.5C.6D.4 或 5解析 由an為等差數列，得S9S5= a5 a3=2d= 4,95即 d= 2,由于 ai 9,所以 a

28、n 2n+11,令 an= 2n+11<0, 導 n> 2 ,所以Sn取最大值時的n為5.答案 B二、填空題6 .已知等差數列an的公差為2,項數是偶數，所有奇數項之和為15,所有偶數項之和為25,則這個數列的項數為.解析 設項數為2n ,則由S偶$奇=口得，25- 15 = 2n解得n=5,故這個數列的項數為10.答案 107 .已知數列an滿足 a1 = 1, anan+1 2anan+1,則 a6 .解析 將an ani+1 = 2anan+1兩邊同時除以anan+1, 2.an+1 an8一9所以£是以J = 1為首項，2為公差的等差數列， ana1由題意得2a1

29、 + 5d=4, a + 5d = 3.a1 =1,解得 21d=5.所以an的通項公式為an=2n135上.2n+3當 n=4,當 n=6,當 n=9,2, 3 時，10空R<2, bn=1；55 時，2&2n 3<3 bn=2;52n+307, 8 時，3<一<4, bn=3;5I2n+310 時，4<<5, bn = 4.5，(2)由(1)知，bn=-)所以數列bn的前10項和為1X3 + 2X2 + 3X3+4X2 = 24.10.已知等差數列的前三項依次為 a, 4,3a,前n項和為8,且Sk=110.(1)求a及k的值;設數列bn的通項公

30、式bn=Sn,證明:數列bn是等差數列，并求其前n項和Tn.(1)解設該等差數列為an,則a1 = a,a2=4, a3 = 3a,由已知有 a+ 3a = 8,得 aI = a = 2,公差 d=4 2 = 2,I ck (k-1)k (k-1)2所以 Sk=ka+2 d=2k+2 X2=k+k,由 Sk=110,彳k k2+k110= 0,解得 k=10 或 k= 11(舍去)，故 a = 2, k=10.r 巾 n (2 + 2n)(2)證明由(1)得 Sn=2= n(n+1),則 > =壇=n+1, n故 bn+1 bn=(n + 2)(n+1)=1,即數列bn是首項為2,公差為

31、1的等差數列,所以Tnn (2+n+1) n (n+3) = " = "2.能力提升題組(建議用時：20分鐘)11.(2019濟寧卞K擬)設數列an滿足 ai = 1 戶2= 2,且2n& = (n 1)an1 + (n + 1)an+i(n>2I一 一一*一.一且 n C N ),則 a8=()252628A飛B.-9C.3D.-9解析 令 bn = nan,則 2bn=bn1 + bn+1(n>2),所以bn為等差數列，因為 b1 = 1, b2=4,所以公差 d = 3,則 bn=3n 2,所以 b18 = 52,則 18a18 = 52,所以 a

32、18=卷. 9答案 B 12.(2019青島診斷)已知等差數列an , bn的前n項和分別為Sn, Tn(n N ),若Sn 2n 1 m. a12TTE，則瓦=(15A. 715B.y23C.yD.3解析由題意不妨設Sn=n(2n1), Tn=n(n+1),所以 a12 = S2S1 = 12X23 11X21=45,b6=T6 T5=6X(6+ 1) 5X(5+ 1) = 4230= 12,a12所以原=4515 12= 4 .答案 A 13.設數列an的通項公式為 an = 2n 10(nCN ),則 |a1| + |a2| + + |a15| 二，,一 一一 * 一 . . . 一、 . 一 一 、一 . 、 、 、 .一 .解析 由an = 2n10(nC N )知何門是以一8為首項，2為公差的等差數列，又由an=2n10>0 得 n>5, .n05 時，an< 0,當 n>5 時，an>0,. . |