2010年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo)版)答案與解析

1、2010年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科） （新課標(biāo)版）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1. （5 分）已知集合 A=x CR|xH , B二則 AAB=（）A. （0, 2） B. 0, 2 C. 0, 2 D. 0 , 1, 2【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.【專題】計(jì)算題.【分析】先化簡(jiǎn)集合A和B,注意集合B中的元素是整數(shù)，再根據(jù)兩個(gè)集合的交集的意義 求解.【解答 解：A=x R|x& =x CR2蟲磴,B= x Z |4 = （x Z 1x<16故 A nB=0 ,1,2.應(yīng)選D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合間的交集運(yùn)算以及集合的表示方法，涉及絕對(duì)值不等式

2、和募函數(shù)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.a/3+i -2. （5分）已知復(fù)數(shù) z-E是Z的共軻復(fù)數(shù)，則 XE=（）（I-V31）2A. B. C. 1 D. 242【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算.【分析】因?yàn)閟>3=|z/，所以先求 團(tuán)再求zG的值.解：由| ,'(1-V3i)2 I-后I'd可得人二日24另解:（中）（1 -每）甘（百一）停i二停i 丁 _ 1停i=12- 2- 273121+我2廠工科（訴7）（詹+i）二、故選A .【點(diǎn)評(píng)】命題意圖：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，涉及復(fù)數(shù)的共軻復(fù)數(shù)知識(shí)，可以利用復(fù)數(shù)的一些運(yùn)算性質(zhì)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.3. （5分）曲線y=正在點(diǎn)（一 1-1）處

3、的切線方程為（A. y=2x+1 B, y=2x - 1 C. y= - 2x - 3 D. y= - 2x - 2【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【專題】 常規(guī)題型；計(jì)算題.【分析】欲求在點(diǎn)（-1, -1）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求 出在x= - 1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問題解決.【解答】解： y=一, x+2-y=(x+2) 2所以k=y'|x=-1=2,得切線的斜率為 2,所以k=2;所以曲線y=f （x）在點(diǎn)（-1, - 1）處的切線方程為：y+1=2X （x+1）,即 y=2x+1 .故選A .【點(diǎn)評(píng)】本小

4、題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.屬于基礎(chǔ)題.4. （5分）如圖，質(zhì)點(diǎn) P在半彳空為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為P0 （血，-血）,角速度為1,那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為（）【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象.【分析】本題的求解可以利用排除法，根據(jù)某具體時(shí)刻點(diǎn)P的位置到到x軸距離來確定答案._【解答】 解：通過分析可知當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)P到x軸距離d為近，于是可以排除答案 A, D, 再根據(jù)當(dāng)th，時(shí)，可知點(diǎn)P在x軸上此時(shí)點(diǎn)P到x軸距離d為0,排除答案B, 故應(yīng)選C.【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了函數(shù)的圖象，以及排除法的應(yīng)用和數(shù)

5、形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.5. （5分）已知命題pl：函數(shù)y=2x-2 x在R為增函數(shù)，P2：函數(shù)y=2x+2 x在R為減函數(shù)， 則在命題 q/ pi V P2, q2： Pi /p2, q3： （Pi） 2和44： PiA（p2）中，真命題是（）A. qi, q3 B. q2, q3 C. qi, q4 D. q2, q4【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假；指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系.【專題】簡(jiǎn)易邏輯.【分析】先判斷命題pi是真命題，P2是假命題，故PiVp2為真命題，（-P2）為真命題，Pi A （-P2）為真命題.【解答】解：易知pi是真命題，而對(duì)P2： y =2xln2 - ln2=ln2 （2左一

6、'-）,2X2X當(dāng)xq。，+8）時(shí)，又ln2>0,所以y'發(fā) 函數(shù)單調(diào)遞增；同理得當(dāng)xC （ - 8, 0）時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故 P2是假命題.由此可知，qi真，q2假，q3假，q4真.故選C.【點(diǎn)評(píng)】只有P與P2都是真命題時(shí)，pi/p2才是真命題.只要P1與p2中至少有一個(gè)真命題，pi V P2就是真命題.6. （5分）某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了 i000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為 X,則X的數(shù)學(xué)期望為（）A. i00 B. 200 C. 300 D. 400【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的

7、模型.【專題】計(jì)算題；應(yīng)用題.【分析】首先分析題目已知某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了 i000粒，即不發(fā)芽率為0.i,故沒有發(fā)芽的種子數(shù) E服從二項(xiàng)分布，即 丁 B （i000, 0.i）.又沒發(fā)芽的補(bǔ)種 2 個(gè)，故補(bǔ)種的種子數(shù)記為 X=2匕根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式即可求出結(jié)果.【解答】解：由題意可知播種了 i000粒，沒有發(fā)芽的種子數(shù)E服從二項(xiàng)分布，即 個(gè)B （i000,0.i）.而每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為 X故 X=2 E 貝U EX=2E e=2M000>0.i=200.故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望以及隨機(jī)變量的性質(zhì)，考查解決應(yīng)用問題的能力.屬于基

8、礎(chǔ)性題目.7. （5分）如果執(zhí)行右面的框圖，輸入 N=5,則輸出的數(shù)等于（開始【專題】操作型.【分析】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=1X22X3+3X4+7><5+5X6的值.【解答】 解：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用, 再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=+ 2X3+3X4 + 4X5'k5>6的值.1.S=11X2+4r=1 =2X3 3X4 4乂5 5父66 6故選D.【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)流程圖(或偽代碼)寫程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處 理方法是：分析流程圖(或偽代碼

9、)，從流程圖(或偽代碼)中即要分析出計(jì)算的類型， 又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù) (如果參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理)？建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解模.8. (5 分)設(shè)偶函數(shù) f (x)滿足 f (x) =2x-4 (x用)，則x|f (x-2) > 0=()A. x|xv 2 或 x>4 B. x|x<0或 x>4 C. x|x<0 或 x>6D . x|x v 2 或 x> 2【考點(diǎn)】偶函數(shù)；其他不等式的解法.【專題】計(jì)算題.【分析】由偶函數(shù)f (x)滿足f (x) =2x- 4 (x用)，可得f (

10、x) =f (|x|) =2|x| - 4,根據(jù)偶 函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值函數(shù)，再求解不等式，可得答案.【解答】 解：由偶函數(shù)f (x)滿足f (x) =2x-4 (x可)，可得f (x) =f (|x|) 二2|x| 4, 貝U f (x-2) =f (|x2|) =2|x 2|-4,要使 f (|x2|) >0,只需 2|x 2|-4>0, |x-2|>2解得x> 4,或xv 0.應(yīng)選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查偶函數(shù)性質(zhì)、不等式的解法以及相應(yīng)的運(yùn)算能力，解答本題的關(guān)鍵是利用偶函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值函數(shù)，從而簡(jiǎn)化計(jì)算.Q l+tan-7-9. （5分）若C

11、CQ二一3 a是第三象限的角，則 不=（）5i畤A. - B. -C. 2 D. - 222【考點(diǎn)】半角的三角函數(shù)；弦切互化.【專題】計(jì)算題.a+tan方【分析】將欲求式匚中的正切化成正余弦，還要注意條件中的角a與待求式中角 二1 - t an'-w2的差別，注意消除它們之間的不同.【解答】解：由心口臺(tái)口:一1，a是第三象限的角，5可得 sind = _ , 5ct a a. 3l+tan 亍 cousin- 1+gina】則. + aa. a8sd 42'1 - tan cos-r - 3inT T2 225應(yīng)選A .【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換中的倍角公式的靈活運(yùn)用、同

12、角的三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)以及相應(yīng)的運(yùn)算能力.10. （5分）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為a,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A. Tta B.不?！?c 7T ” D. 5 71a【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體.【專題】計(jì)算題.求出球的半徑，即可求出球的表面【分析】由題意可知上下底面中心連線的中點(diǎn)就是球心, 積.【解答】解：根據(jù)題意條件可知三棱柱是棱長(zhǎng)都為a的正三棱柱，上下底面中心連線的中點(diǎn)就是球心，則其外接球的半徑為T今）+（右R）譚球的表面積為7a2 712 3Ka2,故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間幾何體中位置關(guān)系、球和正棱柱的性質(zhì)以及相應(yīng)的運(yùn)算能力和空間形象能力.11. (5分)

13、已知函數(shù)f(K)二=f ( c),則abc的取值范圍是(ligx L。工io1 " w ，若 a, b, c互不相等，且 f (a) =f ( b)L乙)A. (1, 10) B. (5, 6) C. (10, 12)【考點(diǎn)】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法; 的圖像與性質(zhì).D. (20, 24)函數(shù)的圖象；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；對(duì)數(shù)函數(shù)【專題】 作圖題；壓軸題;【分析】畫出函數(shù)的圖象,【解答】解：作出函數(shù)f數(shù)形結(jié)合.根據(jù) f (a) =f (b)(x)的圖象如圖，=f (c),不妨a< bvc,求出abc的范圍即可.不妨設(shè) a< b< c,貝U -_ -,c+662(

14、0, 1)ab=1, 0< -8+6<1 2貝U abc=c 110, 12).故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分段函數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力.12.A,(5分)已知雙曲線E的中心為原點(diǎn),B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N (-12,P (3, 0)是E的焦點(diǎn)，過P的直線l與E相交于-15),則E的方程式為(A.1 C.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題.計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.已知條件易得直線l的斜率為1,設(shè)雙曲線方程，及 A, B點(diǎn)坐標(biāo)代入方程聯(lián)立相減得xi+x2=-24,根據(jù)22,可求得a和b的關(guān)系，再根據(jù) c=3,求得a和b,進(jìn)而可得答案.【解

15、答】解：由已知條件易得直線22設(shè)雙曲線方程為二一01, a上Vl的斜率為k=kpN=1,A(xi, yi), B (x2, y2),f 22勺 yl -F TT-1 a b則有，r c兩式相減并結(jié)合 xi+x2= - 24, yl+y2= - 30得yl y2_ 4b2xl *2 5/從而=15 a2即 4b2=5a2,又 a2+b2=9,解得 a2=4, b2=5,故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力.二、填空題(共 4小題，每小題5分，滿分20分)13. (5分)設(shè)y=f (x)為區(qū)間0, 1上的連續(xù)函數(shù)，且恒有 04(x) 4,可以用隨機(jī)

16、模擬 方法近似計(jì)算積分 ；Jf (工)dK,先產(chǎn)生兩組(每組N個(gè))區(qū)間0, 1上的均勻隨機(jī)數(shù)xi, x2, -xn和y1, y2, Tn,由此得到N個(gè)點(diǎn)(xi, yi) (i=1 , 2,，N),再數(shù)出其中滿足 y <(xD (i=1, 2,，N)的點(diǎn)數(shù)N1,那么由隨機(jī)模擬方案可得積分(x) dx的近似值為小一N 【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率；定積分在求面積中的應(yīng)用；幾何概型.【專題】計(jì)算題.【分析】 要求/ ：f (x) dx的近似值，利用幾何概型求概率，結(jié)合點(diǎn)數(shù)比即可得.Ni I nf (x) dxNi【解答】 解：由題意可知 一-J得lx) dxkT，N 1uN N1故積分J Jf (

17、Q dK的近似值為 卞".故答案為：一.【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概型模擬估計(jì)定積分值，以及定積分在面積中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14. （5分）正視圖為一個(gè)三角形的幾何體可以是三棱錐、三棱柱、圓錐（其他正確答案同樣給分）（寫出三種）【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖.【專題】閱讀型.【分析】三棱錐一個(gè)側(cè)面的在正視圖為一條線段的情形；圓錐；四棱錐有兩個(gè)側(cè)面在正視圖為線段的情形，即可回答本題.【解答】 解：正視圖為一個(gè)三角形的幾何體可以是三棱錐、三棱柱（放倒的情形）、圓錐、四棱錐等等.故答案為：三棱錐、圓錐、三棱柱.【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查三視圖以及常見的空間幾何體的三視圖，考查空間想象能力.15.

18、 （5分）過點(diǎn)A （4, 1）的圓C與直線x-y=1相切于點(diǎn)B （2, 1）,則圓C的方程為_色 -3） 2+y2=2 .【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓的位置關(guān)系.【專題】壓軸題.【分析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用過點(diǎn) A （4, 1）,過B,兩點(diǎn)坐標(biāo)適合方程，圓和直線相切， 圓心到直線的距離等于半徑，求得圓的方程.【解答】解：設(shè)圓的方程為（x-a） 2+ （y-b） 2=r2,則a） （i-b） 2二 r， （2 - a ）。（Lb）邑丁2, _二-1 , a - 2解得b=0，F(xiàn)近,故所求圓的方程為（x-3） 2+y2=2.故答案為：（x-3） 2+y 2=2 .【點(diǎn)評(píng)】 命題意圖：本題主要考查

19、利用題意條件求解圓的方程，通常借助待定系數(shù)法求解.16. （5 分）在 ABC 中，D 為邊 BC 上一點(diǎn)，BD=-DC, / ADB=120 °, AD=2 ,若 ADC2的面積為3-泥，則/ BAC= 60° .【考點(diǎn)】 余弦定理的應(yīng)用.【專題】 計(jì)算題；壓軸題.【分析】先根據(jù)三角形的面積公式利用 4ADC的面積求得DC,進(jìn)而根據(jù)三角形 ABC的面 積求得BD和BC ,進(jìn)而根據(jù)余弦定理求得 AB .最后在三角形 ABC中利用余弦定理求得 cos/BAC,求得/ BAC 的值.【解答】解：由4ADC的面積為3-夷可得S仙C的叩式眄電二苧DC=3-«S間與（3-7

20、3）=AB-AC-sinZBAC解得 DC=2V3 - 2,則 BD=V3 - L BC=3V5 - 3.AB2=AD 2+BD2- 2AD?BD?cos120 = 4+ （如 - 1 ） ?+2 （我 T）二6，止捉,AC2=AD2KD£_ 2AD'CDpcos60° =4+4（右 T ） 2 - 4 （3 -二24-12行AC=V6 （V3 - 1）-匚.BA2+AC2 -BC2_6+24- 12V3- (”2不) W5 - 62AB , AC12(V3 1) 2故/ BAC=60 °.分析問題解決問【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形中的邊角關(guān)系及其面積等基

21、礎(chǔ)知識(shí)與技能, 題的能力以及相應(yīng)的運(yùn)算能力.三、解答題(共8小題，滿分90分),、一一.42n 117. (12 分)設(shè)數(shù)列滿足 ai=2, an+1-an=3?2(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn=nan,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和.【專題】計(jì)算題.【分析】(I)由題意得 an+1= (an+1 - an) + (an-an-1)+ (a2-a1)+a1=3 ( 22n 1+22n 3+-+2) +2=22(n+1L1.由此可知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=22n 1.(n)由 bn=nan=n?22n _ 1 知 Sn=1?2+2?23+3?25+n?22n

22、- 1,由此入手可知答案.【解答】 解：(I)由已知，當(dāng) n當(dāng)時(shí)，an+1= (an+1 an) + (anan-1)+ ,+ (a2a)+a12n -=3 (212n3+ +2) +2=3+2=22 (n+1) - 1而 a1=2,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2?n (n )由 bn=nan=n?22n 1 知 Sn=1 ?2+2?23+3?25+ +n?22n 1 從而 22Sn=1?23+2?25+n?22n+1 -得(1-2)?Sn=2+2 +2 +,+2- n?2.即 (配-D 221vH+2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列累加法(疊加法)求數(shù)列通項(xiàng)、錯(cuò)位相減法求數(shù)列和等知識(shí)以及相應(yīng)運(yùn)算能

23、力.18. (12分)如圖，已知四棱錐 P-ABCD的底面為等腰梯形，AB /CD, AC ± BD ,垂足為H, PH是四棱錐的高，E為AD中點(diǎn)(1)證明：PEXBC(2)若/ APB= Z ADB=60 °,求直線PA與平面PEH所成角的正弦值.【考點(diǎn)】用向量證明垂直；直線與平面所成的角.【專題】【分析】計(jì)算題；作圖題；證明題；轉(zhuǎn)化思想.以H為原點(diǎn)，HA, HB, HP分別為x, y, z軸，線段HA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系.(1)表示PE, BC,計(jì)算PEBC=0,就證明pe± BC.(2) /APB=/ADB=60 °,求出 C, P的坐

24、標(biāo)，再求平面 PEH的法向量,求向量PA,然后求笆與面PEH的法向量的數(shù)量積，可求直線PA與平面PEH所成角的正弦值.【解答】解：以H為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則(I )設(shè) C (m, 0, 0), PHA :A (0,HB, HP分別為x, y, z軸，線段HA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng), (1, 0, 0), B (0, 1, 0) 0, n) (m<0, n>0)可得而二喙當(dāng)一 口)，氏二5，-1, 0)因?yàn)?所以PEXBC.(H)由已知條件可得m= -, n=1，故 C ( - o，0),E (J,-卓 0), P(0, 0, 1) z b設(shè)口= (x, y, z)為平面 PEH的

25、法向量n HE=0即,t n*HP=0fl V3 n、z-0因此可以取左(1,如，0)， 由 PA二(1, 0, -1)可得!：''所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為 立.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間幾何體中的位置關(guān)系、線面所成的角等知識(shí)， 考查空間想象能力以及利用向量法研究空間的位置關(guān)系以及線面角問題的能力.19. (12分)為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào) 查了 500位老年人，結(jié)果如下：性別是否需要志愿男女4030不需要160270(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是

26、否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿幫助的p (k2>k)0.00.0100.001k3.8416.63510.828老年人的比例？說明理由.附：n (ad - be) 2 (a+b) (c+d) (a+c) Cb+d)【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；獨(dú)立性檢驗(yàn).【專題】計(jì)算題.【分析】(1)由列聯(lián)表可知調(diào)查的 500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供幫助，兩 個(gè)數(shù)據(jù)求比值得到該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估算值.(2)根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)，代入隨機(jī)變量的觀測(cè)值公式，得到觀測(cè)值的結(jié)果，把觀測(cè)值 的結(jié)果與臨界值

27、進(jìn)行比較，看出有多大把握說該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān).(3)從樣本數(shù)據(jù)老年人中需要幫助的比例有明顯差異，調(diào)查時(shí)，可以先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、 女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法 更好.【解答】 解：(1)二調(diào)查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供幫助，70該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估算值為黑瑞.500(2)根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)，代入隨機(jī)變量的觀測(cè)值公式,2_5。0乂(40X270- 30*160)200X300X70X4302-=9. 9679.967 >6.635,有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助

28、與性別有關(guān).(3)由(2)的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該 地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時(shí)，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、 女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽 樣方法更好.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)研究實(shí)際問 題的能力以及相應(yīng)的運(yùn)算能力.2220. (12分)設(shè)Fl, F2分別是橢圓 2(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過Fl斜率J b2為1的直線？與E相交于A, B兩點(diǎn)，且|AF2|, |AB|, |BF2|成等差數(shù)列.(1)求E的離心率；(2

29、)設(shè)點(diǎn)P (0, - 1)滿足|PA|二|PB|,求E的方程.【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；等差數(shù)列的性質(zhì)；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題.【專題】計(jì)算題.【分析】(I)根據(jù)橢圓的定義可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a ,進(jìn)而根據(jù)|AF2|, |AB|, |BF2|成等差數(shù)表示出|AB|,進(jìn)而可知直線l的方程，設(shè)A (X1, y1)，B (X2, y2),代入直線和橢圓方程，2聯(lián)立消去y,根據(jù)韋達(dá)定理表示出 X1+X2和X1X2進(jìn)而根據(jù)2a= 少b 求得a和b的關(guān)系，3r十小進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，離心率可得.(II)設(shè)AB的中點(diǎn)為N (xo, y0),根據(jù)(1)則可分別表示出 xo

30、和y0,根據(jù)|PA|二|PB|,推知直線PN的斜率，根據(jù) 包 1求得c,進(jìn)而求得a和b,橢圓的方程可得.町【解答】 解：(I)由橢圓定義知 |AF2|+|BF2|+|AB|=4a ,又 21AB|=|AF 2|+|BF2|,的方程為y=x+c，其中國(guó)/ _設(shè) A (xi, y1)，B(X2,y2),則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組.y=x+c22工1+72=1a b化簡(jiǎn)白a ( a2+b2)x2+2a2cx+a2 (c2-b2) =0則了. I ：.-2因?yàn)橹本€AB斜率為1,1AB尸血 |X1 - X2|=Jm(1+X2)工工，2得假"故a2=2b23 a2+b2Va2 - b2 V22c

31、3C，v產(chǎn)o+5涉及等差數(shù)列知x + x(II)設(shè)AB的中點(diǎn)為N(X0, y0),由(I)知心二-o 2由 |PA|二|PB|,得 kpN= 1,即一工0得c=3,從而平入歷，X故橢圓E的方程為止+J18 9 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓錐曲線中的橢圓性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系, 識(shí)，考查利用方程思想解決幾何問題的能力及運(yùn)算能力21. (12 分)設(shè)函數(shù) f (x) =ex - 1 - x - ax2.(1)若a=0,求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)x用時(shí)f (x)可，求a的取值范圍.【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【專題】分類討論.【分析】(1)先對(duì)函數(shù)f (x)求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)大于 0時(shí)原函數(shù)

32、單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減.(2)根據(jù)ex高+x可得不等式f'(x)彳-2ax= (1-2a)x,從而可知當(dāng)1-2a我 即3工時(shí),2f' (x)用判斷出函數(shù)f (x)的單調(diào)性，得到答案.【解答】 解：(1) a=0時(shí)，f (x) =ex- 1 - x, f'(x) =ex- 1.當(dāng) xC ( 00, 0)時(shí)，f (x) v 0；當(dāng) xC (0, +00)時(shí)，f (x) >0.故f (x)在(-8, 0)單調(diào)減少，在(0, +OO)單調(diào)增加(II) f' (x) =ex- 1 - 2ax由(I)知ex1+x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.故f'

33、; (x)牙-2ax= (1 - 2a) x,從而當(dāng)1 -2a不，即(x)可(x用)，而 f (0) =0,2于是當(dāng)x再時(shí)，f (x)洱.由 ex> 1+x (x0)可得 e x> 1 - x (x0).從而當(dāng) a時(shí)，f' (x) < ex-1+2a (e x T)=e x (ex - 1) (ex -2a),故當(dāng) xC (0, ln2a)時(shí)，f (x)v 0,而 f (0)=0,于是當(dāng)x (0,ln2a)時(shí)，f (x)v 0.綜合得a的取值范圍為 (- 8, 1.w【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、不等式恒成立問題以及參數(shù)取值范圍問題, 考查分類討論、轉(zhuǎn)化與

34、劃歸解題思想及其相應(yīng)的運(yùn)算能力.22. （10分）如圖：已知圓上的弧 AC-BD,過C點(diǎn)的圓的切線與 BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn), 證明：（I ） / ACE= / BCD .（n） bc2=be?cd.【考點(diǎn)】圓的切線的判定定理的證明；弦切角.【專題】證明題.【分析】（I）先根據(jù)題中條件：得/ BCD=/ABC.再根據(jù)EC是圓的切線，得到/ ACE= /ABC ,從而即可得出結(jié)論.（II）欲證BC2=BE x CD ,即證里 國(guó).故只須證明4BDC4ECB即可.BE BC【解答】解：（I）因?yàn)榻鸲?所以/ BCD= / ABC .又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C,故/ ACE= / ABC所以/ ACE= Z BCD . （5 分）（n）因?yàn)? ECB=/CDB, /EBC=/BCD,所以ABDCECB,故區(qū)，!.BE'BC即 BC2=BE>CD. （10 分