高一數(shù)學(xué)寒假課程第9講-三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)

1、第八講 三角函數(shù)一、知識(shí)梳理1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：2.周期函數(shù)定義：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期.結(jié)論：如果函數(shù)對(duì)于，那么函數(shù)的周期T=2k；如果函數(shù)對(duì)于，那么函數(shù)的對(duì)稱軸是3.圖象的平移對(duì)函數(shù)yAsin（xj）k （A0， 0， j0， k0），其圖象的基本變換有： （1）振幅變換（縱向伸縮變換）：是由A的變化引起的.A1，伸長(zhǎng)；A1，縮短. （2）周期變換（橫向伸縮變換）：是由的變化引起的.1，縮短；1，伸長(zhǎng). （3）相位變換（橫向平移變換）：是由的變化引起的.j0

2、，左移；j0，右移.（4）上下平移（縱向平移變換）： 是由k的變化引起的.k0， 上移；k0，下移二、方法歸納1.求三角函數(shù)的值域的常用方法： 化為求代數(shù)函數(shù)的值域； 化為求的值域； 化為關(guān)于（或）的二次函數(shù)式；2.三角函數(shù)的周期問題一般將函數(shù)式化為（其中為三角函數(shù)，）3.函數(shù)為奇函數(shù)；函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為偶函數(shù)；函數(shù)為奇函數(shù)4.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間可由解出，單調(diào)減區(qū)間可由解出； 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間可由解出，單調(diào)減區(qū)間可由解出.5.對(duì)稱性：（1）函數(shù)對(duì)稱軸可由解出；對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是方程的解，對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)為.（ 即整體代換法）（2）函數(shù)對(duì)稱軸可由解出；對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是方程的解，對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)為

3、.（ 即整體代換法）（3）函數(shù)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)可由解出，對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)為，函數(shù)不具有軸對(duì)稱性.三、課堂例題精講例1.下列函數(shù)中，周期為的是（ ）A. B. C. D.答案：D例2.已知函數(shù)的最小正周期為，則該函數(shù)的圖象（ ）A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.關(guān)于直線對(duì)稱C.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.關(guān)于直線對(duì)稱答案：A.解析：由題意知，所以解析式為，經(jīng)驗(yàn)證可知它的一個(gè)對(duì)稱中心為. 例3.函數(shù)的最小正周期和最大值分別為（ ）A.，B.，C.，D.，答案：A.解析：，T=，ymax=1例4.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）A.B.C.D.答案：D.解析：因?yàn)?，?.將的圖象按向量a=平移，則平移后所得圖象的解析式為（ ）A. B

4、. C. D. 答案：A.解析：看向量a=的數(shù)據(jù)“符號(hào)”，指令圖象左移和下移，按“同旁相減，異旁相加”的口訣，立可否定B、C、D.例6.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（ ）A. B.C.D.答案：C解析：法一：函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，又函數(shù)是以為周期的函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（kZ）.當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為.故選C.法二：作出函數(shù)的圖象，由圖易知的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為.故選C.法三：將每個(gè)選擇支中區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)值代入函數(shù)表達(dá)式，A、B兩個(gè)選擇支的端點(diǎn)值相等，而選擇支D的左端點(diǎn)值大于右端點(diǎn)值，所以根據(jù)單調(diào)遞增的概念判斷，可排除A、B、D，故選C.例7.函數(shù)（為常數(shù)，）在閉區(qū)間上的圖象如圖所示

5、，則= . 答案： =3例8.已知函數(shù)和的圖象的對(duì)稱軸完全相同.若，則的取值范圍是 .答案：解析：由題意知，因?yàn)椋?，由三角函?shù)圖象知：的最小值為，最大值為，所以的取值范圍是.例9.定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cosx的圖象與y=5tanx的圖象的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PP1x軸于點(diǎn)P1，直線PP1與y=sinx的圖象交于點(diǎn)P2，則線段P1P2的長(zhǎng)為 .答案：解析“線段P1P2的長(zhǎng)即為sinx的值，且其中的x滿足6cosx=5tanx，解得sinx=.故線段P1P2的長(zhǎng)為.例10.設(shè)函數(shù)，其中向量，且的圖象經(jīng)過點(diǎn).（）求實(shí)數(shù)的值；（）求函數(shù)的最小值及此時(shí)值的集合.解析：（），由已知，得.（）由（）得

6、，當(dāng)時(shí)，的最小值為，由，得值的集合為.例11. 已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，且在區(qū)間0，上是單調(diào)函數(shù)，求和的值.解析：由是偶函數(shù)，得，故，對(duì)任意x都成立，且依題設(shè)0，由的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得取又，得 當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù).當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù).當(dāng)2時(shí)，在上不是單調(diào)函數(shù).所以，綜合得或.四、課后作業(yè)1.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（ ）A. B. C. D.2.已知函數(shù)=Acos（）的圖象如圖所示，則=（ ） A. B . C. D. 3. 設(shè)>0，函數(shù)f（x）=2sinx在上為增函數(shù)，那么的取值范圍是 .4.判斷方程sinx=實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).1005.求函數(shù)y=2sin的單調(diào)區(qū)間.

7、6.已知函數(shù)，求它的定義域和值域，并判斷奇偶性.7.已知函數(shù).（）求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.8.設(shè) ，（1）求的最大值及最小正周期；（2）若銳角滿足，求tan的值.9. 求下列函數(shù)的值域：（1）y=； （2）y=sinx+cosx+sinxcosx； （3）y=2cos+2cosx.10.已知函數(shù)f（x）=sin2x+sinx+a，（1）當(dāng)f（x）=0有實(shí)數(shù)解時(shí)，求a的取值范圍；（2）若xR，有1f（x），求a的取值范圍.11.已知函數(shù)，.（）求的最大值和最小值；（）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.12.已知f（x）=2asin2x2asinx+a+b的定義

8、域是0，值域是5，1，求a、b的值.參考答案：1.答案：A2.答案：C3.答案： 4.答案：199解析：方程sinx=的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)等于函數(shù)y=sinx與y=的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，|sinx|1|1， |x|100當(dāng)x0時(shí)，如下圖，此時(shí)兩線共有100個(gè)交點(diǎn)，因y=sinx與y=都是奇函數(shù)，由對(duì)稱性知當(dāng)x0時(shí)，也有100個(gè)交點(diǎn)，原點(diǎn)是重復(fù)計(jì)數(shù)的，所以只有199個(gè)交點(diǎn).5.解析：y=2sin可看作是由y=2sinu與u=復(fù)合而成的. 又u=為減函數(shù)， 由2k-u2k+（kZ），得-2k-x-2k+ （kZ）.即（kZ）為y=2sin 的遞減區(qū)間.由2k+u2k+ （kZ）， 得2k+-x2k+ （kZ）

9、，解得-2k-x-2k- （kZ），即（kZ）為y=2sin的遞增區(qū)間.綜上可知：y=2sin的遞增區(qū)間為（kZ）；遞減區(qū)間為（kZ）.6.解析：由題意知cos2x0，得2xk+， 解得x（kZ）.所以的定義域?yàn)?又=cos2x-1=-sin2x.又定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 是偶函數(shù).顯然-sin2x-1，0，但x，kZ. -sin2x-.所以原函數(shù)的值域?yàn)?7.解析：（）.因此，函數(shù)的最小正周期為.（）解法一：因在區(qū)間上增，在區(qū)間上減，又，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.解法二：作函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的區(qū)間上的圖象如下：yxO由圖象得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.8.解析：（）.故的最大

10、值為；最小正周期.（）由得，故.又由得，故，解得.從而.9.解析：（1）y=2cos2x+2cosx=2-.于是當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時(shí)取得ymax=4，但cosx1， y4，且ymin=-，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=-時(shí)取得. 故函數(shù)值域?yàn)?（2）令t=sinx+cosx，則有t2=1+2sinxcosx，即sinxcosx=.有y=f（t）=t+=.又t=sinx+cosx=sin， -t.故y=f（t）= （-t）， 從而知：f（-1）yf（），即-1y+. 即函數(shù)的值域?yàn)?（3）y=2cos+2cosx=2coscosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-sinx=2=2cos.1，該函數(shù)值域?yàn)?2，2.10.解析：（1）f（x）=0，即a=sin2xsinx=（sinx）2當(dāng)sinx=時(shí)，amin=，當(dāng)sinx=1時(shí)，amax=2，a，2為所求.（2）由1