控制系統(tǒng)的時域分析法(20211109205447)

1、第三章 控制系統(tǒng)的時域分析法暫態(tài)響應(yīng) 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性典型例題分析習題重點內(nèi)容1. 熟練掌握一階、二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)及暫態(tài)性能指標的計算；2. 掌握閉環(huán)主導(dǎo)極點的概念，3. 理解系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念，熟練掌握線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件及勞斯穩(wěn)定判據(jù);4. 理解控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的定義，熟練掌握穩(wěn)態(tài)誤差的計算與分析。 根本內(nèi)容1 . 了解規(guī)定典型輸入信號的意義；2. 了解高階系統(tǒng)的組成、階躍響應(yīng)及其與閉環(huán)零點、極點的關(guān)系；了解用二階系統(tǒng) 響應(yīng)近似分析高階系統(tǒng)性能的方法；難點通過研究二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)去評價系統(tǒng)的性能，即穩(wěn)定性、暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。一.暫態(tài)響應(yīng)控制系統(tǒng)時間響應(yīng)的暫態(tài)分量即暫態(tài)響應(yīng)。通常以階

2、躍響應(yīng)表征系統(tǒng)的暫態(tài)性能。1. 一階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)1一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s) -Ts +1式中T稱為時間常數(shù)，它是表征系統(tǒng)慣性的一個重要參數(shù)。是一個非周期的慣性環(huán)節(jié)。t單位階躍響應(yīng)為丫(t) = 1 - e T(t - 0)是一條初始值為o，按指數(shù)規(guī)律上升到穩(wěn)態(tài)值1的曲線，見圖3-1。圖3-1 一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線特點：(1) 由于Y(t)的終值為1，因此系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為 0。(2) 當t=T時，Y(T)=0.632。這說明當系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)到達穩(wěn)態(tài)值的63.2%時的時間，就是該系統(tǒng)的時間常數(shù)T。單位階躍響應(yīng)曲線的初始斜率為dy(t)dtt =01所需的時間恰好等這說明一階系統(tǒng)的單位階躍

3、響應(yīng)如果以初始速度上升到穩(wěn)態(tài)值 于T。性能指標:調(diào)節(jié)時間為ts=3T(s)(5%的誤差帶)ts =4T(s)(2% 的誤差帶)延遲時間為td =0.69T(s)上升時間為tr =2.20T(s)峰值時間和超調(diào)量都為0。2. 二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)二階系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)為:C(s) _1R(S) _T2s22 Ts 1式中匚一一阻尼比-n 無阻尼自然振蕩角頻率，-n =1 T當0 :： 1時，典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為c(t) =1e一転七 sin(ant(1 _二2 + arctg其單位階躍響應(yīng)曲線如圖 其性能指標：3-2所示上升時間峰值時間tr-2-2Mp(其中二rctg上;100%,用弧度表

4、示)超調(diào)量第三章 控制系統(tǒng)的時域分析法圖3-2典型二階系統(tǒng)的單位階躍響曲線3. 高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)對于高階系統(tǒng)，其暫態(tài)響應(yīng)可以看成是由一階和二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)分量組合而成的。如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)中距離虛軸最近的閉環(huán)極點，其實部僅有其他極點實部的1 5或更小一些，并且該閉環(huán)極點附近無閉環(huán)零點，那么可認為系統(tǒng)的響應(yīng)主要由該極點決定。這種閉環(huán) 極點被稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點。通常系統(tǒng)的主導(dǎo)極點是共軛復(fù)數(shù)極點，故系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)性能也可由相應(yīng)的二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)近似估計。系統(tǒng)特征根的分布與階躍響應(yīng)之間的關(guān)系。二線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性1 .系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念和穩(wěn)定的充分必要條件一個線性系統(tǒng)正常工作的首要條件，就是它必須是穩(wěn)定的。

5、所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)受 到擾動作用后偏離原來的平衡狀態(tài)，在擾動作用消失后，經(jīng)過一段過度時間能否回復(fù)到原 來的平衡狀態(tài)或足夠準確地回到原來的平衡狀態(tài)的性能。假設(shè)系統(tǒng)能恢復(fù)到原來的平衡狀 態(tài)，那么稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；假設(shè)擾動消失后系統(tǒng)不能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，那么稱系統(tǒng)是不穩(wěn) 定的。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，而與外部輸入無關(guān)。設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)二C(s) bsm r(s =_aosn. m4+ biS+ +bm_lS+bmnV-ais亠 亠an - an其特征方程式即閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母多項式=0 為asn +aiSn，+ +ans+an =0線性系統(tǒng)穩(wěn)定充分必要條件 是：系

6、統(tǒng)特征方程式的所有根即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點全部為負實數(shù)或為具有負實部的共軛復(fù)數(shù)，也就是所有的極點均應(yīng)位于 s平面虛軸的左側(cè)。2勞斯穩(wěn)定判據(jù)2 .勞斯穩(wěn)定判據(jù)指出： 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：特征方程式的各項系數(shù)都大于零，且勞斯表左端第一 列各系數(shù)都大于零。注：如果特征方程式中的系數(shù)有負的或為零，那么系統(tǒng)為不穩(wěn)定的 如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號發(fā)生變化，那么系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列元素正負號的改變次數(shù)等于特征方程式的根在s平面右半局部的個數(shù)。 勞斯表中兩種特殊情況a勞斯表中某一行第一列的元素為零，但其余各項不為零或沒有其余項。在這種情況下，可以用一個很小的正數(shù) ；代替這個零，并繼續(xù)列勞斯表。如果勞斯表

7、第一列中；上下各項的符號相同，那么說明系統(tǒng)存在一對虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；如果；上下各項的符號不同，說明有符號變化，那么系統(tǒng)不穩(wěn)定。(b)如果勞斯表中某一行中的所有元素都為零，那么說明系統(tǒng)存在大小相等符號相反的實根和(或)實部相反的共軛復(fù)根(包括純虛根)。這時可以利用該行上面一行的系數(shù)構(gòu)成一個輔助方程式(必為偶次)，將對輔助方程式求導(dǎo)后的系數(shù)列入該行，并繼續(xù)列勞斯 表。s平面中這些大小相等，徑向相反的根可以通過求解輔助方程式得到，而且這些根的 個數(shù)總是偶數(shù)。3.穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是指，穩(wěn)定系統(tǒng)在輸入?yún)⒓雍?，?jīng)過足夠長的時間，其暫態(tài)響應(yīng)已衰 減到微缺乏道時，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的期望值與實際值之間的

8、誤差。穩(wěn)態(tài)誤差可以衡量某種特定類 型信號輸入系統(tǒng)后的穩(wěn)態(tài)精度。圖3-3系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-3所示，在此定義誤差為給定信號與反應(yīng)信號之差，即E(s) =R(s) - B(s)=R(s) - H (s)C(s)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：G(s) =G1(s)G2(s)H(s)系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)為：eG)E(s) 1一 R(s) _1 G(s)系統(tǒng)的擾動誤差傳遞函數(shù)為:C(s) = G2(s)N(s) 一1 G(s)(1)給定穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法 應(yīng)用拉氏變換的終值定理計算sR(s) ess =lim e(t) =lim s E(s) =limss t護、/ t / T 1 +G(S)注

9、意：E(s)在S平面的右半平面及虛軸上(原點除外)必須解析。 應(yīng)用靜態(tài)誤差系數(shù)計算與系統(tǒng)的型別v如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)的個數(shù)為v (稱為型別),那么當v等于0、1、2 時，系統(tǒng)分別稱為 0型系統(tǒng)、1型系統(tǒng)、2型系統(tǒng)一。十愈高，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度越 高，但系統(tǒng)的穩(wěn)定性愈差。靜態(tài)誤差系數(shù)分別為：位置誤差系數(shù)Kp=limG(s)P sT速度誤差系數(shù)Kv dim sG(s)加速度誤差系數(shù)Ka =lim s2G(s)7當系統(tǒng)的輸入信號為2ab2cr (t) = a + bt + ct 時，eSS =+SS 1+KpKvKa=lim e(t lim s En(s limsG2 (s)H(s)1

10、G(s)N(s)三典型例題分析例3-1 一階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如題 3-4圖所示。要求系統(tǒng)閉環(huán)增益K：.：=2，調(diào)節(jié)時間ts蘭0.4 (s),試確定參數(shù) K1, K2的值。解由結(jié)構(gòu)圖寫出閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)K1(s)K1s.K1K2 s K1K2s令閉環(huán)增益K= 2 ,K2令調(diào)節(jié)時間2 二說；4，S 1K1K2得:得:K2K1= 0.5_15 。(1)(2)(3)例3-2單位反應(yīng)隨動系統(tǒng)如圖 典型二階系統(tǒng)的特征參數(shù)和* * ；暫態(tài)特性指標 M p和ts(500);欲使Mp =1600，當T不變時，K應(yīng)取何值。3-5所示。假設(shè)K =16 ,T = 0.25s。試求:R(s)KC(s)!- *s(Ts 切圖3

11、-5隨動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖擾動穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法解：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可求出閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為K/T“、K(s)2Ts2 s K 21 Ks 十一 S十T T與典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)比擬于是，可2 -n(S)22s +2J.CinS+C0n2、KTK、T值，由上式可得16；0.25- 1=8(rad / s),0.2524 KT_4 M p% =e 1-20.25 二100%；me 1亠.25：100% =47%ts-3=1.5s(A=5%)n 0.25 8為使M p =16 00，由公式可求得=0.5，即應(yīng)使由0.25增大到0.5，此時1 1K 屯=44T即K值應(yīng)減小4倍。例3-3設(shè)二階控制系統(tǒng)的單位階

12、躍響應(yīng)曲線如圖3-6所示。如果該系統(tǒng)為單位反應(yīng)控制系統(tǒng)，試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)及閉環(huán)傳遞函數(shù)。圖3-6單位階躍響應(yīng)曲線解：由圖3-6可知本例題系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，可以從上圖直接得出Mp=200和 tp =01s。由4: *2Mp%=e 1-100% =20%t p0.1 s迫njl _呼可以解得:In (m1p)2 兀2 +1門(応)2兀In(0)2、兀 +I n()二 35.3rad / s= 0.456所以系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為:G(s)二2-nS(S 2 J1246.1s(s 32.2)例3-4控制系統(tǒng)框圖如圖1246.1s2 - 32.2s 1246.13-5所示。要求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量

13、M p =9.5% ,K1與的值，并計算在此情況下系統(tǒng)上升時間圖3-7控制系統(tǒng)框圖 解：由圖可得控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：tr和調(diào)整時且峰值時間tp =0.5s。試確定間 ts20。C(s) R(s) s2 +(1 +101眉十10心 系統(tǒng)的特征方程為 s2(1 10.)s 10K0。所以10Kcon2,2Bn =1 +101由題設(shè)條件：M p =e 00% =0.095, tp =0.5sZ-孕=0.35s調(diào)整時間ts(2%)4-jCO n= 0.85自動控制原理學(xué)習指導(dǎo)可解得= 0.6,- -n =7.854，進而求得iz2a 仔2n -1 ca/K1 6.15, e 0.841 10 1

14、0在此情況下系統(tǒng)上升時間4“0V - cos ( ) =53.1 = 0.9 2 7r3id3-5設(shè)系統(tǒng)的特征方程式分別為s4 2s3 3s2 4s 5 0s4 2s3 s2 2s 1 054323. s5 s4 3s3 3s2 2s 2 =0試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解題的關(guān)鍵是如何正確列出勞斯表，然后利用勞斯表第一列系數(shù)判斷穩(wěn)定性。1列勞斯表如下4 s1353 s242 s151 s-60 s5勞斯表中第一列系數(shù)中出現(xiàn)負數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定；又由于第一列系數(shù)的符號改變兩 次，1 t -6 5,所以系統(tǒng)有兩個根在 s平面的右半平面。2列勞斯表如下4 s11 13 s222 s0(

15、)11 s2-2/ 0 s1由于是很小的正數(shù)，仃第列兀素就是一個絕對值很大的負數(shù)。整個勞斯表中第一列元素符號共改變兩次，所以系統(tǒng)有兩個位于右半s平面的根。3列勞斯表如下5 s1324 s1323 s00由上表可以看出，s3行的各項全部為零。為了求出s3各行的兀素，將s4行的各行組成輔助方程式為、4 小2小A(s)= s + 3s +2s將輔助方程式A(s)對s求導(dǎo)數(shù)得dA(s)ds3二 4s 6s用上式中的各項系數(shù)作為s3行的系數(shù)，并計算以下各行的系數(shù)，得勞斯表為5 s1324s1323 s462 s3/221 s2/302s從上表的第一列系數(shù)可以看出，各行符號沒有改變，說明系統(tǒng)沒有特征根在s

16、右半平面。但由于輔助方程式 A(s)= s4+ 3s2+2=( s2+1)( s2+2)=0可解得系統(tǒng)有兩對共軛虛根si,2= j，S3,4= j2，因而系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。例3-6系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 3-8所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。R(s)KC(s)* s(s+1)(s + 2)$圖3-8控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：解題的關(guān)鍵是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖正確求出系統(tǒng)的特征方程式，然后再用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確 定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為K+3s2 +2s + K其閉環(huán)特征方程式為32/s + 3s + 2s+ K =0列勞斯表為：s3122 s3K1 s(6- K )/30 sK為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使

17、勞斯表中第一列系數(shù)全大于零，即K 0和6-K .0，因此,K的取值范圍為0 : K ：6，并且系統(tǒng)臨界穩(wěn)定放大系數(shù)為Ki =6。例3-7單位反應(yīng)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下。,1010(s a) . . :.(1) G(s) (2) G(s) 2(a =0.5)s(0.1s+1)(0.5s +1)s2(s +1)(s +5)試求：1 靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp、靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka ；自動控制原理學(xué)習指導(dǎo)2 求當輸入信號為2r(t) =1(t) 4t t時的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(S)=G(s)1 G(s)20032S312s220s200其閉環(huán)特征方程為 s31

18、2s220s200 。由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)為I型,可以求得靜態(tài)誤差為:Kp10二 lim G(s) =limsos0s(0.1s 1)(0.5s 1)=0Kv10= lim sG(s) = lim s10s)Ds 刃 s(0.1s 1)(0.5s 1)Ka1022w= lim s G(s)二 lim s0s 0SR s(0.1s 1)(0.5s 1)所以給定輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差計算如下:1 KpKv Ka解：(1)首先判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(2)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(s)40.51+G(s) s4 +6s3 +5s2 +10S + 5其閉環(huán)特征方程為 s4 6s3 5s2

19、 10s *5=0。由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)為n型，可以求得靜態(tài)誤差為：Kp =limG(s)=lim 210(s 05P T7 S2(S+1)(s+5)10(s 0.5) Kv =lim sG(s) =lim s 匯 =T7 s2(s+1)(s+5)Ka =lim s2G(s) =lim s2 匯一=1t7s2(s+1)(s+5)所以給定輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差計算如下：1 KpKvAKa=2注意：該例中假設(shè)取a=2，那么由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。因此不能定義靜態(tài)誤差系 數(shù)，也談不上求穩(wěn)態(tài)誤差。例3-8設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-9所示，輸入信號r(t)=2 - 3t，試求使ess 0.5的K值

20、取值范 圍。R(s)KC(s)A 一s(s +2)(s 十7)k圖3-9控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：穩(wěn)態(tài)誤差只有在系統(tǒng)穩(wěn)定時才有意義，因此應(yīng)首先判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(s)二邑二 1 G(s) s3 9s214s K其閉環(huán)特征方程為 s +9s2 +14s + K =0 ,由勞斯判據(jù)可知，當0 ：K ：126時系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)二s(s+2)(s+7)Kp = lim G(s) =lim p s Q / s 0s(s - 2)(s7)kKKv = lim sG(s) =lim sv s 0 / s Q s(s 2)(s7)14當輸入信號為r(t) =2 3t時，系

21、統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算如下:233 14e$s :K的取值范圍為84 ：: K 126。1 Kp Kv K由條件ess : 0.5，可求出K 84。因此四習題3-1單位反應(yīng)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:G(s)-s(0.1s 1)(1 )求阻尼比=0.5系數(shù)時的K值；tr、tp、ts 和 M p。(2)當K=5時，求系統(tǒng)的動態(tài)性能指標3-2設(shè)控制系統(tǒng)如圖 3-10所示。如果要求系統(tǒng)的最大超調(diào)量Mp =15%，上升時間tr = 0.54s。試確定放大系數(shù) K1和反應(yīng)系數(shù)Kf的數(shù)值，并求出在此和情況下系統(tǒng)的峰值 時間tp和調(diào)整時間ts (取允許誤差帶為穩(wěn)態(tài)值的-2%)。圖3-10控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖3-3某二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-11所示。如果該系統(tǒng)為單位反饋控制系統(tǒng)，試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。3-4控制系統(tǒng)的特征方程