江蘇啟東中學(xué)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習之考點透析9：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)考點透析

1、江蘇啟東中學(xué)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習之考點透析9:三角函數(shù)圖象與性質(zhì)考點透析【考點聚焦】考點1:函數(shù)y=Asin( x )(A0,0)的圖象與函數(shù)y=sinx圖象的關(guān)系以及根據(jù)圖象寫出函數(shù)的解析式考點2:三角函數(shù)的定義域和值域、最大值和最小值;考點3:三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最小正周期和三角函數(shù)圖象的對稱軸問題;【考題形式】1。由參定形，由形定參。2。對稱性、周期性、奇偶性、單調(diào)性【考點小測】1.安徽卷將函數(shù)y sin x(a 0平移，平移后的圖象如下列圖,6，對應(yīng)函數(shù)的解析式是sin(xC.ysin(2x3)解：將函數(shù)sinx(0)的圖象按向量a-,0平移,6平移后的圖象所對應(yīng)的解析式為ysin(x6)

2、，由圖象知，(尋6)，所以22，因此選Co2.四川卷以下函數(shù)中，圖象的一局部如右圖所示的是Aysin xBy sin 2xCy cos4xDy cos2x -6解析：從圖象看出,1-T=41264，所以函數(shù)的最小正周期為n,函數(shù)應(yīng)為y= sin 2x向左平移了 一個單位，即6y sin2(x -) = sin(2x -)cos( 2x )23COs(2( ?選 D.3. 2007 年廣東 5.函數(shù) f(x) sin2(x) sin2(x)是 ()44的奇函數(shù)；B.周期為 2的奇函數(shù)2的偶函數(shù)4.湖南卷設(shè)點P是函數(shù)f (x) sin x的圖象C的一個對稱中心，假設(shè)點P到圖象C的對稱軸上的距離的最

3、小值 _，那么f(x)的最小正周期是A .2nB. nC.4-D.24解析：設(shè)點P是函數(shù)f(x) sin x的圖象C的一個對稱中心，假設(shè)點P到圖象C的對稱軸上最小正周期為 n選B.5.天津卷函數(shù)yAsin(x )(0,2,x R)的局部圖象如下列圖，那么函數(shù)表達式為4y/Ay4sin( x8By4 si n(x )84Cy4sin( x8Dy6天津卷要得到函數(shù)cosx的圖象,只需將函數(shù) y2sin(2x 4)的圖象上所有的點的(A)橫坐標縮短到原來的縱坐標不變,再向左平行移動個單位長度8(B)橫坐標縮短到原來的縱坐標不變，再向右平行移動個單位長度4(C)橫坐標伸長到原來的縱坐標不變，再向左平行

4、移動個單位長度4(D)橫坐標伸長到原來的縱坐標不變，再向右平行移動個單位長度87.全國卷I設(shè)函數(shù)f xcosI f/ x是奇函數(shù),解析：f'(x) 3sin(、3x)，那么fcos(、3x )、3si n(. 3x),3x )為奇函數(shù)，二0=.6&湖南卷假設(shè)f (x) a sin(x ) 3sin(x)是偶函數(shù)，那么a=44解析：7272J2J2冃f (x) asin(x ) 3sin(x ) a( sin xcosx) 3( sinxcosx)是442222小測題號12345678答案CDABAC"6-3【典型考例】例 1 . 2006 福建卷函數(shù) f(x)=sin

5、2x+ x 3 sinxcosx+Zcosx R.I求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;H函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù) y=sin2x(x R)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到?三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等根本知本小題主要考查三角函數(shù)的根本公式、三角恒等變換、識,以及推理和運算能力?？偡种?2分。解:If(x)胄Ux2(1cos2x)割2x1 cos2x2sin(2x6)f (x)的最小正周期T由題意得2k- 2x2kZ, 即x k , k Z.36f (x)的單調(diào)增區(qū)間為3，kUI方法一先把y sin2x圖象上所有點向左平移力個單位長度，得到y(tǒng) sin(2x 石)的圖象，再把所得圖象上所有的點向上平移

6、3y si n(2x )的圖象。33個單位長度，就得到2方法把y sin 2x圖象上所有的點按向量a(五肖平移，就得到3y si n(2x )的圖象。例 22007 全國設(shè)函數(shù) f(x) sin(2x)(0), y f (x)圖像的一條對稱軸是直線x 。1求8；n求函數(shù)yf (x)的單調(diào)增區(qū)間；川畫出函數(shù)y f (x)在區(qū)間0,上的圖像。本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)及圖像的根本知識，考查推理和運算能力，總分值12分.解:sin (21,k-,k Z.0,3424n由I知33因此y3sin (2x).44由題意得2k2x32k,kZ.242所以函數(shù)y3sin(2x中的單調(diào)增區(qū)間為k8,kIx 8是

7、函數(shù)yf (x)的圖像的對稱軸,58，kZ.3川由 y sin(2x)知4x08385878y璧-101022故函數(shù)y f(x)在區(qū)間0,上圖像是2n例 3. 2006 山東卷函數(shù) f(x)=Asin (4'x I y)(a>o,3 >o,o<© < 函數(shù)，且 y=f(x)2的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2,并過點1, 21求 f(x);2計算 f(1)+f(2)+ +f(2 008).2a解: 1y A sin ( x )2A cos(22x 2).-yf (x)的最大值為2, A 0 .A2A22, A2.又.其圖象相鄰兩對稱軸間的距離

8、為2,0 ,1 21(2 ) 2,4解法二:f (x) 2sin2( x4)f(1)f(3)2si n2() 2sin42(4)2,f(2)2f(4) 2sin (二)22si n2()2,f(1)f (2)f(3)f(4)4.又yf (x)的周期為4, 20224 502 ,f(1)f(2)f (2022)4 5022022例4 2006湖北設(shè)函數(shù)f (x)a(bc),其中向量a(sin x,cosx),f(1)f(2)f (2022)4 5022022.b (sin x, 3cosx), c ( cosx,sin x),x R。2 2f(x) § 嚴xcos( x 2 ).2Ty

9、 f(x)過(1,2)點,cos(21.2 2k2,kZ,2k7k乙II丨解法一:cos( x )2 2sin x.2f(1)f(2)f (3)f(4)10 14.又:yf(x)的周期為4, 20224 502 ,I、求函數(shù)f (x)的最大值和最小正周期;n、將函數(shù)f(x)的圖像按向量d平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標原點成中心對稱, 求長度最小的d?！菊n后訓(xùn)練】一選擇題.1.全國卷I函數(shù)f x tan x十一的單調(diào)增區(qū)間為V4丿I7Tk +1汀,k EA.5_, k斤一一Bk汀,ZI22,C 1(kr,51 -l,=zD7T,0十,kZI44丿X44 )2.全國II假設(shè) f(sinx)= 3

10、 cos2x.那么 f(cosx)=A3 cos2xB3 sin2xC3 + cos2xD3+ sin2x3浙江卷函數(shù)y=sinx+sin 2x,x R的值域是2(A)丄,3 :(B)-,1 :(C)2 2 2 2 24.天津卷函數(shù)f(x) =asinx bcosx3冗處取得最小值，那么函數(shù)y = f( x)是4a偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點n ,0)對稱3C.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點 (-，0)對稱1,21.21,2 1,(D),-2 2222 22_na、b為常數(shù)，a，0, x匚R丨在x=- 43冗B 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(，0)對稱2d奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點 n,0)對稱5 2004年廣東9當

11、0 X 7時，函數(shù)f(x)2cos xcos xs in x sin2x的最小值是11A. B. C.2D.4426.北京卷對任意的銳角 a, 3,以下不等關(guān)系中正確的選項是Asin( a+ 3>sin a+sin 3 Bsin( a+®>cos a+cos 3Ccos( a+ 3<sin d- sin 3 Dcos( a+ 3)<cos 處 cos 37.全國卷n函數(shù)y =ta nx 在-,丨內(nèi)是減函數(shù)，貝U22A0<< 1B-1 w< 0C> 1 Dw -1&湖北卷假設(shè)sincostan (0),那么2A 嚇B (6G)C

12、(越)D (3'2)9 山東卷函數(shù)f(x)sin( xx 1),1x0假設(shè) f(1) f(a) 2,那么a的所有可能值為e ,x02<2.2A1B1,CD1,-22210.上海卷函數(shù)f(x)si nx21 si n x |,x0,2的圖象與直線yk有且僅有兩個不同的交點，貝U k的取值范圍是 。11.湖北卷函數(shù)y |sinx|cosx 1的最小正周期與最大值的和為 題號123456789101112答案CCCDDBACB1<k<32 121解答題(II)求f(X)的的最大值和最小值;3(III)假設(shè)f () ，求sin2的值.4解： f (x) sin x sin(x

13、y)sin x cosx . 2 sin(x )4I f (x)的最小正周期為Tn f (x)的最大值為,2和最小值 2 ；川因為 f()即sin3 亠cos2 sin cos47,即16sin 27162.函數(shù)f (x) 4sin2x2sin2x 2, x R。1.廣東卷函數(shù)f (x) sinx sin(x -),x R.(I)求f (x)的最小正周期;1求f (x)的最小正周期、f (x)的最大值及此時 x的集合;2證明：函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x n對稱。8解:f (x) 4sin2x 2sin2x 2 2sin x 2(1 2sin2x)2sin 2x 2cos 2x 2、2 sin

14、(2x n)4n所以，當2x nn2k n，即 x3 n , k n時,428證明：欲證明函數(shù)f (x)的圖像關(guān)于直線x(1)所以f (x)的最小正周期T n,因為x R,f(x)最大值為2.2 ；n8f(8x)f(x)成立，8因為f(冗x)2 .2sin2(nx)22sin( n2x)2 , 2 cos 2x ,8842f(冗8x)22 s in2(nn-x)-842 .2 sin( n22x)2、2 cos2x ,所以f(冗8x)f ( x)成立，從而函數(shù)8f (x)的圖像關(guān)于直線nx對稱。8對稱，只要證明對任意x R，有3.上海春函數(shù)f (x) 2sin x2 cosx, x1假設(shè)sin

15、x -，求函數(shù)f(x)的值;52求函數(shù)f (x)的值域.解：14sin x ,5cosxf(x) 23sinx 1 cosx 2 cosx.3sin xcosx32 2552f (x)2sin xxx 51sin x16 236626x 2,5函數(shù)f(x)的值域為1, 2.4.(重慶卷)設(shè)函數(shù) f(x)=73cos23 x+s inxcos x+a(其中> 0,a R),且f(x)的圖象在y軸右x側(cè)的第一個高點的橫坐標為.I丨求3的值；n如果f(x)在區(qū)間53, 6上的最小解：( I ) f (x)三 cos 2xsin 2xsin2 x -2223依題意得2解之得16322(II)由(

16、I1 ) 知 ,f(x)=sin(x+亍2又當x,5時，x0,7 ,3636值為 3，求a的值.3_2-故 1 sin( x )1,23從而f(x)在，5 上取得最小值36因此，由題設(shè)知-上3二故 一2 2 25 函數(shù) f(x) sin'cos*3 cos2 -333I將 f(x)寫成 Asin( x)的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標;n如果 ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x,試求x的范圍及此時函數(shù)f(x)的值域.解:f (x) sin 警3(1cos%23231 . 2x sin -2仝cos空2sin(警-)-2332I由 sin-)=0 即 2x33(k

17、z)得x3k即對稱中心的橫坐標為3k 12n由 b2=aca2c2b2c2ac2acaccosx2ac2accosx 1,2ac3I3sin 3sin(空3. 3 sin()133綜上所述，x (0,3f (x)值域為(.3,1說明：此題綜合運用了三角函數(shù)、余弦定理、根本不等式等知識，還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決函數(shù)值域的問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，對知識進行整合的能力。6.函數(shù) y=cos2x+si nx cosx+1 x R,2 21當函數(shù)y取得最大值時，求自變量 x的集合;2該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?解: 1y= cos2x 3 sinx cosx+1= (2cos 2x 1)+2 22sinx cosx+14cos2x+2in2x+4451=(cos2x sin +sin2x426cos)+§64=-sin(2x+ )+ 5264所以y取最大值時，只需 2x+ =+2kn , k