齊次微分方程

1、第二講 一階微分方程【教學內容】齊次微分方程、一階線性微分方程【教學目得】 理解齊次微分方程得概念 , 掌握齊次微分方程、一階線性微分方程得解法?！窘虒W重點與難點】 齊次微分方程、一階線性微分方程得解法【 教學過程 】一、齊次微分方程 :形如得微分方程 ; 叫做齊次微分方程對它進行求解時 , 只要作變換原方程便化為可分離變量得微分方程來求解。于就是有 ,從而原方程可化為 ,即此方程就是可分離變量得微分方程。 按可分離變量微分方程得解法 ,求出方程得通解 ,再將變量 u還原為 , 所得函數(shù)就就是原方程得通解。例1、 求微分方程 , 滿足初始條件得特解。解 : 方程可化為它就是齊次方程。令 , 代

2、入整理后 , 有分離變量 , 則有兩邊積分 , 得即將代入上式 , 于就是所求方程得通解為把初始條件代入上式 ,求出, 故所求方程得特解為二、一階線性微分方程形如得方程稱為一階線性微分方程 ,其中 P( x) 、 Q( x)都就是連續(xù)函數(shù)。 當 Q( x) = 0 時 , 方程稱為一階線性齊次微分方程 ;當 Q(x) 0 , 方程稱為一階線性非齊次微分方程。1、 一階線性齊次微分方程得解法將方程分離變量得兩邊積分得方程得通解為( C 為任意常數(shù) )例2 、 求微分方程得通解。解法 1( 分離變量法 )所給方程就是一階線性齊次方程變量分離得兩邊積分得即令 方程得通解為解法 2( 公式法 )將 P

3、( x) =2 x 代入通解公式 , 得通解y CeP(x)dxCe2xdxCe2、 一階線性非齊次微分方程得解法 非齊次方程與齊次方程得差異僅就是方程右邊得項Q( x) 。從齊次方程得通解得結構及導數(shù)運算得規(guī)律 , 我們有理由推測非齊次方程得解形如(C(x)就是關于 x 得函數(shù) )代入非齊次方程 , 得一階非齊次線性方程通解得公式為 :C1e442P(4x)4d3x齊次方程的通解e1 4P4(x4)d4x4Q2(x4)e4P4(x4)d4x3dx 非齊次方程 的特解Ce P(x)dxC1e44 2 4 43 齊次方程 的通解P(x)dx P(x)dx1e 4 4 4 4 4Q2( x4)e4

4、 4 4 4 3dx 非齊次方程 的特解上述求解方法稱為常數(shù)變易法、用常數(shù)變易法求一階非齊次線性方程通解得步驟為(1) 先求出非齊次線性方程所對應得齊次方程得通解;(2) 利用常數(shù)變易法設出非齊次線性方程得一個特解;(3) 將所設特解代入非齊次線性方程 ,解出 C(x), 寫出非齊次線性方程得通解、 例 3 、求微分方程得通解、解法 1( 常數(shù)變易法 ) 原方程變形為 : 對應得齊次方程為 :得通解為設原方程得解為從而代入原方程得1x2C (x)e212 C(x)e12C(x)e1x2e化簡得 兩邊積分 , 得所以, 原方程得通解解法 2(用公式法 )把它們代入公式得,求此曲線例 4、已知曲線過點 (0,0),且該曲線上任意點 p(x,y) 處得切線得斜率為該點得橫坐標與縱坐標之與 方程。解法 1 (采用常數(shù)變易法求解 )設所求得曲線方程為 y=y(x), 由導數(shù)得幾何意義有即初始條件為下由分離變量并積分 ,得令 ,則 ,把 y,代入方程中 ,于就是有兩端積分后 ,得(c 為任意常數(shù) )將上式代入 ,從而方程得通解為再把初始條件代入上式 ,解出 c