高考中含參數(shù)線性規(guī)劃問題專題(學(xué)生版)

1、高考中線性規(guī)劃專題縱觀近幾年高考試題，線性規(guī)劃問題是每年的必考內(nèi)容。題型多以選擇題、填空題出現(xiàn)，它是直線方程在解決實(shí)際問題中的運(yùn)用，特別是含參數(shù)線性規(guī)劃問題，與數(shù)學(xué)中的其它知識(shí)結(jié)合較多，題目靈活多變，要引起高度重視.近三年全國(guó)卷是這樣考1.(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷理科·T15)若x,y滿足約束條件則的最大值為.2.(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷文科·T15)若x,y滿足約束條件則z=3x+y的最大值為.3.(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷理科·T14)若x,y滿足約束條件x-y+10,x-2y0,x+2y-20,則z=x+y的最大值為.4.(201

2、5·新課標(biāo)全國(guó)卷文科·T4)若x,y滿足約束條件則z=2x+y的最大值為.5. (2014·新課標(biāo)全國(guó)卷高考文科數(shù)學(xué)·T9) 設(shè)x,y滿足約束條件則z=x+2y的最大值為()A.8 B.7 C.2 D.16. (2014·新課標(biāo)全國(guó)卷高考理科數(shù)學(xué)·T9)設(shè)x,y滿足約束條件則z=2x-y的最大值為 ()A.10 B.8 C.3 D.27.(2013·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·T9)已知a>0,x,y滿足約束條件若z=2x+y的最小值為1,則a=() A.B. C.1D.28.（2013·新課標(biāo)全國(guó)高考文科

3、·3）設(shè)滿足約束條件，則的最小值是（ ）A. B. C. D.9（2013·新課標(biāo)高考文科·14）設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值為_.10. （2013·大綱版全國(guó)卷高考文科·15）若滿足約束條件則 .11.（2013·大綱版全國(guó)卷高考理科·15）記不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)槿糁本€ .含參問題的探究一、恒過“定點(diǎn)”問題例1.（2009福建，9）在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組（為參數(shù)）所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則的值為 （ ）A B. C. D. 解析：作出不等式組所圍成的平面區(qū)域。如圖（1）所示由題意可知，公共區(qū)域的面

4、積為2 的坐標(biāo)為，代入得，故選D . 圖（1） 點(diǎn)評(píng)：該題在作可行域時(shí)，若能抓住直線方程中含有參數(shù)這個(gè)特征，迅速與“直線系”產(chǎn)生聯(lián)系，就會(huì)明確可變形為的形式，則此直線必過定點(diǎn)，此時(shí)，可行域的“大致”情況就可以限定，再借助于題中的其它條件，就可輕松獲解。規(guī)律總結(jié)：當(dāng)參數(shù)在線性規(guī)劃問題的約束條件中時(shí)，作可行域要注意應(yīng)用“過定點(diǎn)的直線系”知識(shí)，使直線“初步穩(wěn)定”，再結(jié)合題中的條件進(jìn)行全方面分析才能準(zhǔn)確獲得答案。二、恒成立問題例2.（2008浙江，17）若，且當(dāng)時(shí)，恒有，則以為坐標(biāo)的點(diǎn)所成的平面區(qū)域的面積是 （ ）A. B. C. 1 D. 解析：作出滿足條件的點(diǎn)的可行域，如圖（2）所示.，且恒有，結(jié)

5、合直線，與可行域可知: 點(diǎn)所成的平面區(qū)域如圖（3）.故所形成的平面區(qū)域的面積是1.故選C。 圖（2） 圖（3）點(diǎn)評(píng)：正確解答此題的關(guān)鍵是：“恒有”的巧妙運(yùn)用，因中含有兩個(gè)參數(shù)兩個(gè)變量，故用“恒成立”的“數(shù)值解法”比較困難，只能用“圖形控制”來解答；根據(jù)“恒有”的“圖形控制”先求的約束條件，再畫出其約束的平面區(qū)域，是正確解答此題的突破口。規(guī)律總結(jié)：在線性規(guī)劃問題可行域下的恒成立問題，一定要結(jié)合“可行域”將“恒成立”加以控制，使之轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域間關(guān)系的恒成立，再進(jìn)行解答就輕松多了。三、“動(dòng)”“靜”結(jié)合問題例3.（2006廣東.9）在約束條件下，當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最大值的變化范圍是 （ ）A.6，15

6、 B.7,15 C.6,8 D.7,8解析：當(dāng)時(shí)，約束條件所表示的可行域就是與軸、軸在第一象限圍成的三角形區(qū)域，直線過點(diǎn)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，直線過與的交點(diǎn)時(shí)，取得最大，結(jié)合圖形分析，此時(shí)，當(dāng)，的最大值中的最小值為7.故答案為D。 圖（4）點(diǎn)評(píng)：該題在作可行域時(shí)，由于直線方程中含有參數(shù)“” 且給定了該參數(shù)的取值范圍，使問題變得復(fù)雜。解決此類問題的主要思路是：先將能夠畫出圖形的部分全部畫出來，再分析“動(dòng)直線”的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，確定好運(yùn)動(dòng)的“最大位置”及“最小位置”，將“最大位置”及“最小位置”固定（靜）下來，使“動(dòng)”在“靜”下做，借用運(yùn)動(dòng)的觀念逐步分析，確定答案。規(guī)律總結(jié)：在約束條件中的二元不等式若含有

7、參數(shù)且給定了該參數(shù)的取值范圍的問題，就意味著直線是“動(dòng)直線”，則應(yīng)將該動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)的“最大”“最小”位置固定下來，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)確定好不同情況下的可行域，再針對(duì)解答目標(biāo)逐步分析方能獲解。四、轉(zhuǎn)移模型問題例4.（2006重慶，16）已知變量滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)（其中）僅在點(diǎn)取得最大值，則的取值范圍為。解析：依據(jù)約束條件,作出可行域，如圖（5） 圖（5）由可行域可知，要使目標(biāo)函數(shù)（其中）僅在點(diǎn)取得最大值，則必有直線的斜率>直線的斜率又， 得： 故答案為點(diǎn)評(píng)：此題的目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)且，因此目標(biāo)函數(shù)所確定的直線的斜率0，直線大致圖象能確定下來，由線性規(guī)劃的“平移”解法可知，欲使直線平移過點(diǎn)處

8、取得最大值，只需控制的斜率直線的斜率即可，問題就轉(zhuǎn)化為研究“斜率”問題（模型）了。規(guī)律總結(jié)：目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際意義注意轉(zhuǎn)化成“直線的斜率”、“點(diǎn)到直線的距離”等模型進(jìn)行討論研究。五、消元化歸問題例5.（2003天津）已知，且，求函數(shù)的最大值。解：由得于是同時(shí)可變?yōu)閯t題設(shè)中的不等式即線性約束條件變形為：滿足上述約束條件的區(qū)域如圖（6）所示，其中，, 圖（6）設(shè)，則是經(jīng)過區(qū)域且斜率為1的直線在軸上的截距易知當(dāng)這些平行直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，截距為最小當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，截距取最大值 點(diǎn)評(píng)：該題與常規(guī)型的線性規(guī)劃相比：在約束條件及目標(biāo)函數(shù)中均多了一個(gè)“參數(shù)”，但題中確給出了一個(gè)含“”的等式。因此，總可以用