高中數(shù)學(xué)通用模型解題方法

1、 13. 反函數(shù)存在的條件是什么？ （一一對(duì)應(yīng)函數(shù)） 求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？ （反解x；互換x、y；注明定義域） 14. 反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？ 反函數(shù)性質(zhì)：1、 反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域 （可擴(kuò)展為反函數(shù)中的x對(duì)應(yīng)原函數(shù)中的y）2、 反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域（可擴(kuò)展為反函數(shù)中的y對(duì)應(yīng)原函數(shù)中的x）3、 反函數(shù)的圖像和原函數(shù)關(guān)于直線=x對(duì)稱（難怪點(diǎn)（x,y）和點(diǎn)（y，x）關(guān)于直線y=x對(duì)稱 互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱； 保存了原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性； 由反函數(shù)的性質(zhì)，可以快速的解出很多比較麻煩的題目，如（04. 上海春季高考）已知函數(shù)，則方程的解_.1對(duì)于這一類題目，其實(shí)方法

2、特別簡(jiǎn)單，呵呵。已知反函數(shù)的y,不就是原函數(shù)的x嗎？那代進(jìn)去阿，答案是不是已經(jīng)出來(lái)了呢？（也可能是告訴你反函數(shù)的x值，那方法也一樣，呵呵。 自己想想，不懂再問(wèn)我 15 . 如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？ （取值、作差、判正負(fù)）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有三種：(1)定義法：根據(jù)定義，設(shè)任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之間的大小關(guān)系可以變形為求的正負(fù)號(hào)或者與1的關(guān)系(2)參照?qǐng)D象：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱，函數(shù)f(x)在關(guān)于點(diǎn)(a，0)的對(duì)稱區(qū)間具有相同的單調(diào)性； （特例：奇函數(shù)）若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱，則函數(shù)f(x)在關(guān)于點(diǎn)(a，0)的對(duì)稱區(qū)間里具有相反的單調(diào)

3、性。（特例：偶函數(shù)）(3)利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)f(x)與f(x)c(c是常數(shù))是同向變化的函數(shù)f(x)與cf(x)(c是常數(shù))，當(dāng)c0時(shí)，它們是同向變化的；當(dāng)c0時(shí)，它們是反向變化的。如果函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們同向變化；（函數(shù)相加）如果正值函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們同向變化；如果負(fù)值函數(shù)f1(2)與f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們反向變化；（函數(shù)相乘）函數(shù)f(x)與在f(x)的同號(hào)區(qū)間里反向變化。若函數(shù)u(x)，x，與函數(shù)yF(u)，u()，()或u(),()同向變化，則在，上復(fù)合函

4、數(shù)yF(x)是遞增的；若函數(shù)u(x),x，與函數(shù)yF(u)，u()，()或u()，()反向變化，則在，上復(fù)合函數(shù)yF(x)是遞減的。（同增異減）若函數(shù)yf(x)是嚴(yán)格單調(diào)的，則其反函數(shù)xf1(y)也是嚴(yán)格單調(diào)的，而且，它們的增減性相同。f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x) 都是正數(shù)增增增增增增減減/減增減/減減增減減 ）16. 如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？ 值是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3 a的最大值為3）17. 函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？ （f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱） 注意如下結(jié)論： （1）在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶

5、函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。 判斷函數(shù)奇偶性的方法一、 定義域法一個(gè)函數(shù)是奇（偶）函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).二、 奇偶函數(shù)定義法在給定函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，計(jì)算，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷其奇偶性.三、 復(fù)合函數(shù)奇偶性f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18. 你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？ 函數(shù)，T是一個(gè)周期。） 我們?cè)谧鲱}的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t

6、)=0,我們要馬上反應(yīng)過(guò)來(lái)，這時(shí)說(shuō)這個(gè)函數(shù)周期2t. 推導(dǎo)：，同時(shí)可能也會(huì)遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說(shuō)f(a-x)=f(a+x).其實(shí)這都是說(shuō)同樣一個(gè)意思：函數(shù)f(x)關(guān)于直線對(duì)稱， 對(duì)稱軸可以由括號(hào)內(nèi)的2個(gè)數(shù)字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者說(shuō)f(a-x)=f(a+x)就都表示函數(shù)關(guān)于直線x=a對(duì)稱。 如： 19. 你掌握常用的圖象變換了嗎？ 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(-x,y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(x,-y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(-x,-y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(y,x) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(2a-x,y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(2a-x,0) （這是書(shū)上的

7、方法，雖然我從來(lái)不用， 但可能大家接觸最多，我還是寫(xiě)出來(lái)吧。對(duì)于這種題目，其實(shí)根本不用這么麻煩。你要判斷函數(shù)y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,畫(huà)出點(diǎn)的坐標(biāo)。 看點(diǎn)和原點(diǎn)的關(guān)系，就可以很直觀的看出函數(shù)平移的軌跡了。） 注意如下“翻折”變換： 19. 你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？ (k為斜率，b為直線與y軸的交點(diǎn)) 的雙曲線。 應(yīng)用：“三個(gè)二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系二次方程求閉區(qū)間m，n上的最值。 求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問(wèn)題。 一元二次方程根的分布問(wèn)題。 由圖象記性質(zhì)！ （注意底數(shù)的限定?。?利用它的單調(diào)性求最值

8、與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？（均值不等式一定要注意等號(hào)成立的條件）20. 你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎？ 21. 如何解抽象函數(shù)問(wèn)題？ （賦值法、結(jié)構(gòu)變換法） （對(duì)于這種抽象函數(shù)的題目，其實(shí)簡(jiǎn)單得都可以直接用死記了1、 代y=x，2、 令x=0或1來(lái)求出f(0)或f(1)3、 求奇偶性，令y=x；求單調(diào)性：令x+y=x1 幾類常見(jiàn)的抽象函數(shù) 1. 正比例函數(shù)型的抽象函數(shù) f（x）kx（k0）-f（x±y）f（x）±f（y）2. 冪函數(shù)型的抽象函數(shù) f（x）xa-f（xy） f（x）f（y）；f（）3. 指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù) f（x）ax- f（xy）f（x）f（y）；

9、f（xy）4. 對(duì)數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）logax（a>0且a1）-f（x·y）f（x）f（y）；f（） f（x）f（y）5. 三角函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）tgx- f（xy）f（x）cotx- f（xy）例1已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y均有f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，f(1) 2求f(x)在區(qū)間2,1上的值域.分析：先證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)（注意到f（x2）f（x2x1）x1f（x2x1）f（x1）；再根據(jù)區(qū)間求其值域.例2已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)&g

10、t;2，f(3) 5，求不等式 f（a22a2）<3的解.分析：先證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)（仿例1）；再求出f（1）3；最后脫去函數(shù)符號(hào).例3已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f（xy）f（x）f（y），且f（1）1，f（27）9，當(dāng)0x1時(shí)，f（x）0，1.（1） 判斷f（x）的奇偶性；（2） 判斷f（x）在0，上的單調(diào)性，并給出證明；（3） 若a0且f（a1），求a的取值范圍.分析：（1）令y1； （2）利用f（x1）f（·x2）f（）f（x2）； （3）0a2.例4設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（，），滿足條件：存在x1x2，使得f（x1）f（x2）；對(duì)任何x和y，f（

11、xy）f（x）f（y）成立.求：（1） f（0）；（2） 對(duì)任意值x，判斷f（x）值的符號(hào).分析：（1）令x= y0；（2）令yx0.例5是否存在函數(shù)f（x），使下列三個(gè)條件：f（x）>0,xN；f（ab） f（a）f（b），a、bN；f（2）4.同時(shí)成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，說(shuō)明理由.分析：先猜出f（x）2x；再用數(shù)學(xué)歸納法證明.例6設(shè)f（x）是定義在（0，）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f（x·y）f（x）f（y），f（3）1，求：（1） f（1）；（2） 若f（x）f（x8）2，求x的取值范圍.分析：（1）利用31×3；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和已知關(guān)系

12、式.例7設(shè)函數(shù)y f（x）的反函數(shù)是yg（x）.如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）·g（b）是否正確，試說(shuō)明理由.分析：設(shè)f（a）m，f（b）n，則g（m）a，g（n）b，進(jìn)而mnf（a）f（b） f（ab）f g（m）g（n）.例8已知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足以下三個(gè)條件： x1、x2是定義域中的數(shù)時(shí)，有f（x1x2）； f（a） 1（a0，a是定義域中的一個(gè)數(shù)）； 當(dāng)0x2a時(shí)，f（x）0. 試問(wèn)：（1） f（x）的奇偶性如何？說(shuō)明理由；（2） 在（0，4a）上，f（x）的單調(diào)性如何？說(shuō)明理由. 分析：（1）利用f （x1x2） f （x1x2

13、），判定f（x）是奇函數(shù)；（3） 先證明f（x）在（0，2a）上是增函數(shù)，再證明其在（2a，4a）上也是增函數(shù). 對(duì)于抽象函數(shù)的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函數(shù)問(wèn)題，對(duì)應(yīng)的特殊模型不是我們熟悉的基本初等函數(shù).因此，針對(duì)不同的函數(shù)要進(jìn)行適當(dāng)變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函數(shù)問(wèn)題. 例9已知函數(shù)f（x）（x0）滿足f（xy）f（x）f（y），（1） 求證：f（1）f（1）0；（2） 求證：f（x）為偶函數(shù)；（3） 若f（x）在（0，）上是增函數(shù)，解不等式f（x）f（x）0.分析：函數(shù)模型為：f（x）loga|x|（a0）（1） 先令xy1，再令xy

14、 1；（2） 令y 1；（3） 由f（x）為偶函數(shù)，則f（x）f（|x|）.例10已知函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y滿足f（0）0，f（xy）f（x）·f（y），且當(dāng)x0時(shí)，f（x）1，求證：（1） 當(dāng)x0時(shí)，0f（x）1；（2） f（x）在xR上是減函數(shù).分析：（1）先令xy0得f（0）1，再令yx；（3） 受指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的啟發(fā)：由f（xy）f（x）f（y）可得f（xy），進(jìn)而由x1x2，有f（x1x2）1.練習(xí)題：1.已知：f（xy）f（x）f（y）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都成立，則（ ）（A）f（0）0 （B）f（0）1 （C）f（0）0或1 （D）以上都不對(duì)2. 若對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y總有f（xy）f（x）f（y），則下列各式中錯(cuò)誤的是（ ）（A）f（1）0 （B）f（） f（x） （C）f（） f（x）f（y） （D）f（xn）nf（x）（nN）3.已知函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y滿足：f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x0時(shí)，f（x）1，則當(dāng)x0時(shí)，f（x）的取值范圍是（ ）（A）（1，） （B）（，1）（C）（0，1） （D）（1，）4.函數(shù)f（x）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)定義域內(nèi)不同的x1、x2都有f（x1x2），則f（x）為（ ）（A）奇函數(shù)非偶函