倒立擺實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、倒立擺實(shí)驗(yàn)報(bào)告機(jī)自82 組員：李宗澤 李航 劉凱 付榮倒立擺與自動控制原理實(shí)驗(yàn)一 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1.運(yùn)用經(jīng)典控制理論控制直線一級倒立擺,包括實(shí)際系統(tǒng)模型的建立、根軌跡分析和控制器設(shè)計(jì)、頻率響應(yīng)分析、PID 控制分析等內(nèi)容.2.運(yùn)用現(xiàn)代控制理論中的線性最優(yōu)控制LQR 方法實(shí)驗(yàn)控制倒立擺3.學(xué)習(xí)運(yùn)用模糊控制理論控制倒立擺系統(tǒng)4.學(xué)習(xí)MATLAB工具軟件在控制工程中的應(yīng)用5.掌握對實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行建模的方法，熟悉利用MATLAB 對系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真，利用學(xué)習(xí)的控制理論對系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，并對系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)際控制實(shí)驗(yàn)，對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行觀察和分析，非常直觀的感受控制器的控制作用。二. 實(shí)驗(yàn)設(shè)備計(jì)算機(jī)及MATLAB

2、.VC等相關(guān)軟件固高倒立擺系統(tǒng)的軟件固高一級直線倒立擺系統(tǒng),包括運(yùn)動卡和倒立擺實(shí)物倒立擺相關(guān)安裝工具三 倒立擺系統(tǒng)介紹倒立擺是機(jī)器人技術(shù)、控制理論、計(jì)算機(jī)控制等多個(gè)領(lǐng)域、多種技術(shù)的有機(jī)結(jié)合，其被控系統(tǒng)本身又是一個(gè)絕對不穩(wěn)定、高階次、多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，可以作為一個(gè)典型的控制對象對其進(jìn)行研究。倒立擺系統(tǒng)作為控制理論研究中的一種比較理想的實(shí)驗(yàn)手段，為自動控制理論的教學(xué)、實(shí)驗(yàn)和科研構(gòu)建一個(gè)良好的實(shí)驗(yàn)平臺，以用來檢驗(yàn)?zāi)撤N控制理論或方法的典型方案，促進(jìn)了控制系統(tǒng)新理論、新思想的發(fā)展。由于控制理論的廣泛應(yīng)用，由此系統(tǒng)研究產(chǎn)生的方法和技術(shù)將在半導(dǎo)體及精密儀器加工、機(jī)器人控制技術(shù)、人工智能、導(dǎo)彈攔截控

3、制系統(tǒng)、航空對接控制技術(shù)、火箭發(fā)射中的垂直度控制、衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制和一般工業(yè)應(yīng)用等方面具有廣闊的利用開發(fā)前景。倒立擺已經(jīng)由原來的直線一級倒立擺擴(kuò)展出很多種類，典型的有直線倒立擺環(huán)形倒立擺，平面倒立擺和復(fù)合倒立擺等，本次實(shí)驗(yàn)采用的是直線一級倒立擺。倒立擺的形式和結(jié)構(gòu)各異，但所有的倒立擺都具有以下的特性: 1) 非線性2) 不確定性3) 耦合性4) 開環(huán)不穩(wěn)定性5) 約束限制倒立擺控制器的設(shè)計(jì)是倒立擺系統(tǒng)的核心內(nèi)容，因?yàn)榈沽[是一個(gè)絕對不穩(wěn)定的系統(tǒng)，為使其保持穩(wěn)定并且可以承受一定的干擾，需要給系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器，本小組采用的控制方法有：PID 控制、雙PID控制、LQR控制、模糊PID控制、純模糊

4、控制四直線一級倒立擺的物理模型：系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模。實(shí)驗(yàn)建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。機(jī)理建模就是在了解研究對象的運(yùn)動規(guī)律基礎(chǔ)上，通過物理、化學(xué)的知識和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入狀態(tài)關(guān)系。，由于倒立擺本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程。 下面我們采用牛頓歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型： 在忽略了空氣阻力和各種摩擦之

5、后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖所示：我們不妨做以下假設(shè)：M 小車質(zhì)量m 擺桿質(zhì)量b 小車摩擦系數(shù)l 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度I 擺桿慣量F 加在小車上的力x 小車位置 擺桿與垂直向上方向的夾角 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）圖是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N 和P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向?yàn)槭噶空较?。分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程?（3-1）由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： (3-

6、2)即： (3-3)把這個(gè)等式代入式(3-1)中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動方程： (3-4)為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： (3-5) (3-6)力矩平衡方程如下： (3-7)注意：此方程中力矩的方向，由l，故等式前面有負(fù)號。合并這兩個(gè)方程，約去P 和N，得到第二個(gè)運(yùn)動方程： (3-8)設(shè)=+（ 是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè)與1（單位是弧度）相比很小，即<<1，則可以進(jìn)行近似處理： 用u 來代表被控對象的輸入力F，線性化后兩個(gè)運(yùn)動方程如下： (3-9)對式(3-9)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到 (3-10)注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)

7、假設(shè)初始條件為0。由于輸出為角度，求解方程組的第一個(gè)方程，可以得到： 或 如果令 則有： 把上式代入方程組的第二個(gè)方程，得到： 整理后得到傳遞函數(shù)： 其中 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為： 方程組 對, 解代數(shù)方程，得到解如下： 整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程： 由(3-9)的第一個(gè)方程為：對于質(zhì)量均勻分布的擺桿有：于是可以得到： 化簡得到： 設(shè) 則有： 另外，也可以利用MATLAB 中tf2ss 命令對(3-13)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求得上述狀態(tài)方程。實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下:M 小車質(zhì)量 1.096 Kgm 擺桿質(zhì)量 0.109 Kgb 小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/secl 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 0.2

8、5mI 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m把上述參數(shù)代入，可以得到系統(tǒng)的實(shí)際模型。擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)： 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為：擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： 以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： 注意事項(xiàng)：在固高科技所有提供的控制器設(shè)計(jì)和程序中，采用的都是以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，如果用戶需要采用力矩控制的方法，可以參考以上把外界作用力作為輸入的各式。五系統(tǒng)的階越響應(yīng)分析 根據(jù)已經(jīng)得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程，先對其進(jìn)行階躍響應(yīng)分析，在MATLAB 中鍵入以下命令：clear;A= 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0

9、1;0 0 29.4 0;B= 0 1 0 3'C= 1 0 0 0;0 1 0 0;D= 0 0 'step(A, B ,C ,D)可以看出，在單位階躍響應(yīng)作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。六頻率響應(yīng)分析(系統(tǒng)穩(wěn)定性分析) 前面我們已經(jīng)得到了直線一級倒立擺的物理模型，實(shí)際系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：其中輸入為小車的加速度V (s) ，輸出為擺桿的角度(s) 。在MATLAB 下繪制系統(tǒng)的Bode 圖和奈奎斯特圖。在MATLAB 中鍵入以下命令：clear;num=0.02725;den=0.0102125 0 -0.26705;z=roots(num);p=roots(den)

10、;subplot(2,1,1)bode(num,den)subplot(2,1,2)nyquist(num,den)得到如下圖所示的結(jié)果： z =Empty matrix: 0-by-1p =5.1136-5.1136可以得到，系統(tǒng)沒有零點(diǎn)，但存在兩個(gè)極點(diǎn)，其中一個(gè)極點(diǎn)位于右半s 平面，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當(dāng) 從 到+ 變化時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)G( j ) 沿逆時(shí)針方向包圍-1 點(diǎn)p 圈，其中p 為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半S 平面內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)。對于直線一級倒立擺，由奈奎斯特圖我們可以看出，開環(huán)傳遞函數(shù)在S 右半平面有一個(gè)極點(diǎn)，因此G( j ) 需要沿逆時(shí)針方向包圍-1 點(diǎn)一

11、圈。可以看出，系統(tǒng)的奈奎斯特圖并沒有逆時(shí)針繞-1 點(diǎn)一圈，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定，需要設(shè)計(jì)控制器來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。七具體控制方法（一）雙PID控制 直線一級倒立擺雙PID 控制實(shí)驗(yàn) 1PID 控制分析 經(jīng)典控制理論的研究對象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，控制器設(shè)計(jì)時(shí)一般需 要有關(guān)被控對象的較精確模型。PID 控制器因其結(jié)構(gòu)簡單，容易調(diào)節(jié)，且不需要 對系統(tǒng)建立精確的模型，在控制上應(yīng)用較廣。 對于倒立擺系統(tǒng)輸出量為擺桿的角度，它的平衡位置為垂直向上的情 況。系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)框圖如下：2.雙PID實(shí)驗(yàn)控制參數(shù)設(shè)定及仿真。在Simulinkzhong 建立直線一級倒立擺模型上下兩個(gè)PID模塊。鼠標(biāo)右鍵，選擇 “ Look

12、under mask”打開模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)分別為：雙擊第二個(gè)模塊打開參數(shù)設(shè)置窗口令kp=1.ki=0.kd=0得到擺桿角度仿真結(jié)果可看出控制曲線不收斂。因此增大控制量。令kp=-30.ki=0.kd=4.6.得到如下仿真結(jié)果從上面擺桿角度仿真結(jié)果可看出，穩(wěn)定比較好。但穩(wěn)定時(shí)間稍微有點(diǎn)長。雙擊第一個(gè)模塊打開參數(shù)設(shè)置窗經(jīng)多次嘗試在此參數(shù)即kp=-7,ki=0,kp=-4.5 情況下效果最好。得到以下仿真結(jié)果黃線為小車位置輸出曲線，紅線為擺桿角度輸出曲線。從圖中可以看出，系統(tǒng)可以比較好的穩(wěn)定。穩(wěn)定時(shí)間在2-3秒之間。穩(wěn)定性不錯(cuò)。3雙PID控制實(shí)驗(yàn)打開直線一級倒立擺爽PID實(shí)時(shí)控制模塊雙擊doublePI

13、D控制模塊進(jìn)入?yún)?shù)設(shè)置把參數(shù)輸入PID控制器。編譯程序，使計(jì)算機(jī)同倒立擺連接。運(yùn)行程序。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下圖所示從圖中可以看出，倒立擺可以實(shí)現(xiàn)比較好的穩(wěn)定性。（二）線性最優(yōu)二次控制LQR 線性二次最優(yōu)控制LQR 控制實(shí)驗(yàn) 1線性二次最優(yōu)控制LQR 基本原理及分析 線性二次最優(yōu)控制LQR 基本原理為，由系統(tǒng)方程: 確定下列最佳控制向量的矩陣K： u(t)=-K*x(t) 使得性能指標(biāo)達(dá)到最小值: 式中 Q正定(或正半定)厄米特或?qū)崒ΨQ陣 R為正定厄米特或?qū)崒ΨQ陣 圖 3-54 最優(yōu)控制LQR 控制原理圖 方程右端第二項(xiàng)是考慮到控制能量的損耗而引進(jìn)的，矩陣Q和R確定了誤差和能量損耗的相對重要性。并且假設(shè)

14、控制向量u(t)是無約束的。 對線性系統(tǒng)： 根據(jù)期望性能指標(biāo)選取Q 和R，利用MATLAB 命令lqr 就可以得到反饋矩陣 K 的值。 K=lqr(A，B，Q，R) 改變矩陣Q 的值，可以得到不同的響應(yīng)效果，Q 的值越大(在一定的范圍之內(nèi))，系統(tǒng)抵抗干擾的能力越強(qiáng)，調(diào)整時(shí)間越短。但是Q 不能過大 2. LQR 控制參數(shù)調(diào)節(jié)及仿真 前面我們已經(jīng)得到了直線一級倒立擺系統(tǒng)的比較精確的動力學(xué)模型，下面我們針對直線型一級倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用 LQR 法設(shè)計(jì)與調(diào)節(jié)控制器，控制擺桿保持豎直向上平衡的同時(shí)，跟蹤小車的位置。 前面我們已經(jīng)得到了直線一級倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程： 應(yīng)用線性反饋控制器，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖

15、。圖中 R 是施加在小車上的階躍輸入，四個(gè)狀態(tài)量x,x,分別代表小車位移、小車速度、擺桿角度和擺桿角速度，輸出y = x, 包括小車位置和擺桿角度。設(shè)計(jì)控制器使得當(dāng)給系統(tǒng)施加一個(gè)階躍輸入時(shí)，擺桿會擺動，然后仍然回到垂直位置，小車可以到達(dá)新的指定位置。 假設(shè)全狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)（四個(gè)狀態(tài)量都可測），找出確定反饋控制規(guī)律的向量K 。在 Matlab 中得到最優(yōu)控制器對應(yīng)的K 。Lqr 函數(shù)允許你選擇兩個(gè)參數(shù)R 和Q，這兩個(gè)參數(shù)用來平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。最簡單的情況是假設(shè) R = 1，Q =C *C 。當(dāng)然，也可以通過改變Q 矩陣中的非零元素來調(diào)節(jié)控制器以得到期望的響應(yīng)。 其中， Q1,1 代表小

16、車位置的權(quán)重，而Q3,3 是擺桿角度的權(quán)重，輸入的權(quán)重R 是 1。 下面來求矩陣K，Matlab 語句為K = lqr(A,B,Q,R) 。下面在MATLAB 中編程計(jì)算：A=0 1 0 0 ; 0 0 0 0;0 0 0 1; 0 0 29.4 0;B=0 1 0 3'C=1 0 0 0; 0 0 1 0;D=0 0'Q11=1500;Q33=300;Q=Q11 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 Q33 0; 0 0 0 0;R=1;K=lqr(A,B,Q,R);Ac=(A-B*K);Bc=B;Cc=C;Dc=D;T=0:0.005:5;U=0.2*ones(size(

17、T);Cn=1 0 0 0;Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K);Bcn=Nbar*B;Y,X=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T);plot(T,X(:,1),'-');hold on;plot(T,X(:,2),'-');hold on;plot(T,X(:,3),'.');hold on;plot(T,X(:,4),'-');legend('cartpls','cartspd','pendang','pendspd')令Q1,1= 1，Q3,3

18、=1求得 K -1 -1.7855 25.422 4.6849 在 Simulink 中建立直線一級倒立擺的模型如下圖所示：“LQR Controller”為一封裝好的模塊，在其上單擊鼠標(biāo)右鍵，選擇“Look under mask”打開LQR Controller 結(jié)構(gòu)如下： 雙擊“Matrix gain K”即可輸入控制參數(shù)： 點(diǎn)擊 執(zhí)行仿真，得到如下仿真結(jié)果：LQR 控制的階躍響應(yīng)如上圖所示，從圖中可以看出，閉環(huán)控制系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量很小，但穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間偏大，我們可以通過增大控制量來縮短穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間。 可以發(fā)現(xiàn)，Q 矩陣中，增加Q11 使穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間變短，并且使擺桿的角度變

19、化減小。經(jīng)過多次嘗試,這里取Q1,1=1500， Q3,3 =300， 則K = -32.7298 -23.8255 81.6182 14.7098 輸入?yún)?shù)，運(yùn)行得到響應(yīng)曲線如下：從圖中可以看出，系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間有明顯的改善，增大Q1,1 和Q3,3 ，系統(tǒng)的響應(yīng)還會更快，但是對于實(shí)際離散控制系統(tǒng)，過大的控制量會引起系統(tǒng)振蕩。3.直線一級倒立擺LQR控制實(shí)驗(yàn)打開直線一級倒立擺LQR 實(shí)時(shí)控制模塊 其中“LQR Controller”為LQR 控制器模塊，“Real Control”為實(shí)時(shí)控制模塊，雙擊“LQR Controller”模塊打開LQR 控制器參數(shù)設(shè)置窗口如下：在“LQR Contro

20、ller”模塊上點(diǎn)擊鼠標(biāo)右鍵選擇“Look under mask”打開模 型如下： 雙擊“Real Control”模塊打開實(shí)時(shí)控制模塊如下圖： 其中“Pendulum”模塊為倒立擺系統(tǒng)輸入輸出模塊，輸入為小車的速度“Vel ”和“Acc ”，輸出為小車的位置“Pos”和擺桿的角度“Angle ”。 雙擊“Pendulum”模塊打開其內(nèi)部結(jié)構(gòu)：其中“Set Carts Acc and Vel”模塊的作用是設(shè)置小車運(yùn)動的速度和加速度， Get Carts Position”模塊的作用是讀取小車當(dāng)前的實(shí)際位置，“Get Pends Angle” 的作用是讀取擺桿當(dāng)前的實(shí)際角度。2) 運(yùn)行程序， 實(shí)

21、驗(yàn)運(yùn)行結(jié)果如下圖所示： 其中圖片上半部分為小車的位置曲線，下半部分為擺桿角度的變化曲線，從圖中可以看出，小車位置和擺桿角度比較穩(wěn)定?？刂菩Ч芎?。在此實(shí)驗(yàn)中，R值固定，R=1,則只調(diào)節(jié)Q值，Q11 代表小車位置的權(quán)重，而Q33是擺桿角度的權(quán)重，若Q33增加，使得的變化幅度減小，而位移r的響應(yīng)速度變慢；若Q11增加，使得r的跟蹤速度變快，而的變化幅度增大。當(dāng)給系統(tǒng)施加一個(gè)階躍輸入后，得到系統(tǒng)的響應(yīng)結(jié)果。從響應(yīng)曲線可明顯看出是否滿足系統(tǒng)所要達(dá)到的性能指標(biāo)要求。通過這樣反復(fù)不斷的試湊，選取能夠滿足系統(tǒng)動態(tài)性能要求的Q和R。(三)直線二級倒立擺直線兩級倒立擺由直線運(yùn)動模塊和兩級倒立擺組件組成。 6.1

22、 系統(tǒng)物理模型 為簡化系統(tǒng)，我們在建模時(shí)忽略了空氣阻力和各種摩擦，并認(rèn)為擺桿為剛體。 二級倒立擺的組成如圖 6-1 所示：圖 6-1 直線兩級倒立擺物理模型 倒立擺參數(shù)定義如下： M 小車質(zhì)量 m1 擺桿 1 的質(zhì)量 m2 擺桿2 的質(zhì)量 m3 質(zhì)量塊的質(zhì)量 l1 擺桿 1 中心到轉(zhuǎn)動中心的距離 l2 擺桿2 中心到轉(zhuǎn)動中心的距離 1 擺桿 1 與豎直方向的夾角2 擺桿2 與豎直方向的夾角 F 作用在系統(tǒng)上的外力 利用拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動學(xué)方程： 拉格朗日方程為：L(q,q)=T(q,q)-V(q,q)其中 L 為拉格朗日算子，q 為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，T 為系統(tǒng)的動能，V 為系統(tǒng)的勢能。其中 i

23、 1,2,3n，f i 為系統(tǒng)在第i 個(gè)廣義坐標(biāo)上的外力，在二級倒立擺系統(tǒng)中，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)有三個(gè)廣義坐標(biāo)，分別為x,1,2 。首先計(jì)算系統(tǒng)的動能：其中Tm,Tm1,Tm2,Tm3分別為小車的動能，擺桿 1 的動能，擺桿2 的動能和質(zhì)量塊的動能。 小車的動能：Tm1 = Tm1' +Tm2 '' 其中Tm1' ,Tm2 ' 分別為擺桿 1 的平動動能和轉(zhuǎn)動動能。 Tm2 = Tm2 ' +Tm2 '' 其中Tm2 ' ,Tm2 ' 分別為擺桿2 的平動動能和轉(zhuǎn)動動能。 對于系統(tǒng)，設(shè)以下變量： xpend1 擺桿 1

24、 質(zhì)心橫坐標(biāo)； yangle1 擺桿 1 質(zhì)心縱坐標(biāo)； xpend2 擺桿2 質(zhì)心橫坐標(biāo)； yangle2 擺桿2 質(zhì)心縱坐標(biāo)； xmass 質(zhì)量塊質(zhì)心橫坐標(biāo)； ymass 質(zhì)量塊質(zhì)心縱坐標(biāo)； 又有：由于系統(tǒng)在1,2 廣義坐標(biāo)下沒有外力作用，所以有：在Mathematics中計(jì)算以上各式。因其余各項(xiàng)為 0，所以這里僅列舉了 k12、k13、k17、k22、k23、k27 等 7 項(xiàng)，得到結(jié)果如下：6.2 系統(tǒng)可控性分析 系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A,B,C,D 如下：利用MATLAB 計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)可控性矩陣和輸出可控性矩陣的秩：得到結(jié)果如下：或是通過MATLAB 命令ctrb 和obsv 直接得到系統(tǒng)的可控

25、性和可觀測性。運(yùn)行的到：可以得到，系統(tǒng)狀態(tài)和輸出都可控，且系統(tǒng)具有可觀測性。6.3 直線兩級倒立擺MATLAB 仿真 在MATLAB Simulink 中建立直線兩級倒立擺的模型： 其中“State-Space”模塊為直線兩級倒立擺的狀態(tài)方程，雙擊模塊打開模型：“Controller”模塊為控制器模塊，在“Controller”模塊上單擊鼠標(biāo)右鍵，選擇 “ Look under mask”打開模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)： 其中“Matrix Gain K”為反饋矩陣。 雙擊“Controller”模塊打開其參數(shù)設(shè)置窗口：先設(shè)置參數(shù)為“1”。 “Disturbance”模塊為外界干擾模塊，其作用是給系統(tǒng)施加一

26、個(gè)階躍信號，點(diǎn)擊 “ ”運(yùn)行模型進(jìn)行開環(huán)系統(tǒng)仿真。 得到運(yùn)行結(jié)果如下： 從仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)發(fā)散，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，需要對其添加控制器。 6.4 LQR 控制器設(shè)計(jì)及仿真 給系統(tǒng)添加LQR 控制器，添加控制器后的系統(tǒng)閉環(huán)圖如下圖所示： 下面利用線性二次最優(yōu)控制 LQR 方法對系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)clear;clc;k12=86.69;k13=-21.62;k17=6.64;k22=-40.31;k23=39.45;k27=-0.088;a=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0

27、60;0 0 0 0 1;0 0 0 0 0 0;0 k12 k13 0 0 0;0 k22 k23 0 0 0;b= 0 0 0 1 k17 k27'c=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1

28、0;0 0 0;d=0; 0; 0;q11=1;q22=1;q33=1;q=q11 0 0 0 0 0;0 q22 0 0 0 0;0 0 q33 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;r=1;k=lqr(a,b,

29、q,r)aa=a-b*k;b=b*k(1);sys=ss(aa,b,c,d);t=0:0.01:5;y,t,x=step(sys,t);plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),'r',t,y(:,3);grid on 運(yùn)行得到以下結(jié)果： LQR 控制參數(shù)為： K= 1 73.818 -83.941 2.0162 4.2791 -13.036 得到仿真結(jié)果如下：可以看出，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間過長，因此增加權(quán)重Q 的值。設(shè)Q11=300;Q22=500;Q33=500; 運(yùn)行得到仿真結(jié)果：LQR 控制參數(shù)為： K= 17.321 110.87 -19

30、7.57 18.468 2.7061 -32.142 從圖中可以看出，系統(tǒng)可以很好的穩(wěn)定，在給定倒立擺干擾后，系統(tǒng)在 2.5 秒內(nèi)可以恢復(fù)到平衡點(diǎn)附近。 把以上仿真參數(shù)輸入 Simulink 模型中得到運(yùn)行結(jié)果從圖中可知，系統(tǒng)穩(wěn)定性還不錯(cuò)。但這未必是最好的參數(shù)。所以，下面改變LQR參數(shù)，比較結(jié)果變化。確定最合適參數(shù)。1. 設(shè)Q11=1000;Q22=500;Q33=500; 運(yùn)行得到仿真結(jié)果：LQR 控制參數(shù)為： k=31.6228 116.7093 -238.1742 29.1041 1.2221 -39.3596可看出位置在2秒左右就可恢復(fù)到平衡點(diǎn)位置。而角度依然是在2.5秒內(nèi)恢復(fù)到平衡位

31、置。2、設(shè)Q11=1500;Q22=500;Q33=500; 運(yùn)行得到仿真結(jié)果：LQR 控制參數(shù)為： k= 38.7298 119.2083 -257.0671 34.1612 0.5092 -42.7166可看出位置在1.5-2.0秒內(nèi)就可恢復(fù)到平衡點(diǎn)位置。而角度依然是在2.5秒內(nèi)恢復(fù)到平衡位置。3. 設(shè)Q11=1500;Q22=500;Q33=500; 運(yùn)行得到仿真結(jié)果：LQR 控制參數(shù)為： k = 44.7214 121.1834 -272.5934 38.3562 -0.0849 -45.4751可看出位置依然在1.5秒就可恢復(fù)到平衡點(diǎn)位置。而角度依然是在2.5秒內(nèi)恢復(fù)到平衡位置。4.

32、設(shè)Q11=1500;Q22=1000;Q33=1000; 運(yùn)行得到仿真結(jié)果：LQR 控制參數(shù)為：k = 38.7298 129.4996 -281.3118 35.7389 0.4721 -46.5905可看出位置在1.5-2.0內(nèi)就可恢復(fù)到平衡點(diǎn)位置。而角度是在2.5秒內(nèi)恢復(fù)到平衡位置。5.設(shè)Q11=1500;Q22=100;Q33=100; 運(yùn)行得到仿真結(jié)果：LQR 控制參數(shù)為：k = 38.7298 108.6175 -232.1487 32.4616 0.5479 -38.7170可看出位置在1.5內(nèi)就可恢復(fù)到平衡點(diǎn)位置。而角度是在2秒內(nèi)恢復(fù)到平衡位置。通過對比，第5個(gè)參數(shù)最合適。LQ

33、R 控制參數(shù)為：k = 38.7298 108.6175 -232.1487 32.4616 0.5479 -38.7170把其輸入到Simulink模型中。得到運(yùn)行結(jié)果。此結(jié)果最好，系統(tǒng)不僅可以很好的穩(wěn)定，而且在給定倒立擺干擾后，系統(tǒng)可在2秒內(nèi)恢復(fù)到平衡點(diǎn)附近。八個(gè)人小結(jié)。倒立擺實(shí)驗(yàn)個(gè)人小結(jié) 李航 08011041 大三上學(xué)期的第一次機(jī)械工程實(shí)驗(yàn)，我們接觸和學(xué)習(xí)了減速器，維持一個(gè)學(xué)期的實(shí)驗(yàn)，我們從結(jié)構(gòu)，運(yùn)動等方面，對機(jī)械有了更深的認(rèn)識，而這個(gè)學(xué)期，我們要更進(jìn)一步，從機(jī)械控制理論，來讓自己對機(jī)械的理解，有一個(gè)新的高度。我們接觸的倒立擺是機(jī)器人技術(shù)、控制理論、計(jì)算機(jī)控制等多個(gè)領(lǐng)域、多種技術(shù)的有機(jī)

34、結(jié)合，其被控系統(tǒng)本身又是一個(gè)絕對不穩(wěn)定、高階次、多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，可以作為一個(gè)典型的控制對象對其進(jìn)行研究。倒立擺數(shù)學(xué)模型：通過對倒立擺系統(tǒng)的物理模型和實(shí)際模型的認(rèn)知，以及對該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，可控性分析和頻率響應(yīng)分析，我們可以知道倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，可控的，所以就有了我們的課題：具體的控制方法。在前半個(gè)學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了機(jī)械控制理論，了解了伯德圖和奈奎斯特圖，而在大一的高數(shù)學(xué)習(xí)中，我們初步學(xué)習(xí)了MATLAB，通過在圖書館以及網(wǎng)上查找資料，我們學(xué)習(xí)了SIMULINK仿真，為這次實(shí)驗(yàn)打下了一定的基礎(chǔ)。對于一級倒立擺線性系統(tǒng)，我們實(shí)驗(yàn)了兩種控制方法：分別是雙PID控制和LQR控制。常規(guī)的PI

35、D控制，是最早的也是最經(jīng)典的一種控制方式，由于其算法簡單、魯棒性好、可靠性高,因而至今仍廣泛應(yīng)用于工業(yè)過程控制中。它有三個(gè)控制環(huán)節(jié)，分別是比例、積分和微分，實(shí)驗(yàn)中使用的控制器的傳遞函數(shù)是 其中Kp、Ki、Kd分別為比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)。各個(gè)系數(shù)功能如下：1. 比例系數(shù)Kp增大，閉環(huán)系統(tǒng)的靈敏度增加，穩(wěn)態(tài)誤差減小，系統(tǒng)振蕩增強(qiáng)；比例系數(shù)超過某個(gè)值時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)可能變得不穩(wěn)定。2. 積分系數(shù)Ki增大，可以提高系統(tǒng)的型別，使系統(tǒng)由有差變?yōu)闊o差；積分作用太強(qiáng)會導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。3. 微分系數(shù)Kd增大，預(yù)測系統(tǒng)變化趨勢的作用增強(qiáng)，會使系統(tǒng)的超調(diào)量減小，響應(yīng)時(shí)間變快。但是上述的各個(gè)參數(shù)在調(diào)節(jié)過程中

36、并不是相互獨(dú)立的，而是會相互影響。PID控制的快速性較差，而且只能對擺角進(jìn)行控制，無法控制位移。雙PID控制，則解決了傳統(tǒng)的PID控制只能控制擺角的缺陷，但是對于雙PID控制，如何使擺角角度和小車位置達(dá)到協(xié)調(diào)，使系統(tǒng)響應(yīng)收斂，是個(gè)難題，而且PID控制是單控制量，外部擾動對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響會比較大，所以我們學(xué)習(xí)了線性二次型控制，也就是LQR控制。LQR控制是通過最小化性能指標(biāo)，得到系統(tǒng)的控制量U=-KX，其中Q，R，分別是狀態(tài)變量和輸入向量的加權(quán)矩陣，X是狀態(tài)量，U是控制量，K是狀態(tài)矩陣。根據(jù)期望性能指標(biāo)選取Q和R，利用MATLAB 命令lqr 就可以得到反饋矩陣K 的值。K=lqr( A，B，Q

37、，R)改變矩陣Q 的值，可以得到不同的響應(yīng)效果，Q 的值越大(在一定的范圍之內(nèi))，系統(tǒng)抵抗干擾的能力越強(qiáng)，調(diào)整時(shí)間越短。利用MATLAB自帶的函數(shù)，可以很快算出反饋矩陣各參數(shù)的值。 通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)LQR控制作為多變量的控制，穩(wěn)定性，快速性和抗干擾性都很好，,LQR控制可得到狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制規(guī)律 ,易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論中發(fā)展最早也最為成熟的一種狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法。實(shí)驗(yàn)心得：比較這三種控制方法，經(jīng)典PID控制方法的效果是最不理想的，因?yàn)镻ID這類單輸入輸出的線性控制器，對于倒立擺這種非線性，很不穩(wěn)定的系統(tǒng)，雖然能使其穩(wěn)定，但是快速性和抗干擾性都很差，相比較而言，LQR的效果

38、就要好很多。這次的倒立擺實(shí)驗(yàn)，可以說是我做過的最難的一個(gè)實(shí)驗(yàn)了，不僅涉及面十分廣，而且涉及的知識也都很難。通過這次實(shí)驗(yàn)，我們對機(jī)械控制理論有了更深一步的了解，也把書上學(xué)的知識，應(yīng)用到了實(shí)際中。在實(shí)驗(yàn)過程中，我們認(rèn)識了倒立擺這個(gè)經(jīng)典的控制系統(tǒng)，也接觸了PID和LQR等多種控制方法，讓我們對機(jī)械，這個(gè)詞的概念，也更加深入的有了自己的理解。而且作為一個(gè)分組實(shí)驗(yàn)，我充分感受到了團(tuán)隊(duì)力量的強(qiáng)大，也體會到了克服困難的艱辛，學(xué)會了用多種的途徑去解決難題。通過預(yù)習(xí)，借閱書籍，上網(wǎng)等多種途徑，也為將來的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。而且通過這個(gè)控制領(lǐng)域的經(jīng)典基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)，為將來考研以及科研都是很有幫助的。同時(shí)要感謝同學(xué)和老師

39、對自己的幫助，讓自己能順利的完成這次實(shí)驗(yàn)。但是在實(shí)驗(yàn)中，我個(gè)人也有一些建議。首先這個(gè)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)是機(jī)械控制理論基礎(chǔ)這門課，但是這么課我們在實(shí)驗(yàn)開始的時(shí)候壓根就沒學(xué)，所以前幾周只能靠自學(xué)或者毫無進(jìn)展，但是自學(xué)不能保證效率，所以實(shí)驗(yàn)的時(shí)間安排感覺不是很好。倒立擺實(shí)驗(yàn)小結(jié) 李宗澤08011043我是這次倒立擺實(shí)驗(yàn)我們小組的組長，由于分組的關(guān)系，我們組的組員平時(shí)成績都不是特別理想，但是從一開始，我們就有信心能把這次實(shí)驗(yàn)完成。這次實(shí)驗(yàn)要求我們運(yùn)用經(jīng)典控制理論控制直線一級倒立擺,包括實(shí)際系統(tǒng)模型的建立、控制器設(shè)計(jì)、頻率響應(yīng)分析、PID 控制分析等內(nèi)容。運(yùn)用現(xiàn)代控制理論中的線性最優(yōu)控制LQR 方法實(shí)驗(yàn)控制倒立

40、擺。并且能熟練的運(yùn)用matlab解決實(shí)際問題，了解SIMULINK仿真。倒立擺是一種典型的快速、多變量、非線性、絕對不穩(wěn)定、非最小相位系統(tǒng)。是進(jìn)行控制理論研究的典型實(shí)驗(yàn)平臺，倒立擺實(shí)驗(yàn)是運(yùn)用古典控制理論，結(jié)合現(xiàn)代應(yīng)用軟件MATLAB里的SIMULINK對其進(jìn)行仿真，最后在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中對擺桿進(jìn)行快速性，準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性控制，達(dá)到理想的效果。因此，研究倒立擺具有重要的理論和實(shí)踐意義。實(shí)驗(yàn)的初期，也就是前幾周，我們主要先大致預(yù)習(xí)了控制理論里的頻率響應(yīng)和時(shí)域響應(yīng)的內(nèi)容，了解了伯德圖和奈奎斯特圖的含義。并且到圖書館里借閱了相關(guān)書籍，到網(wǎng)上查找有關(guān)資料，并且結(jié)合大一時(shí)的高數(shù)課，復(fù)習(xí)了matlab的基本操作。這

41、次實(shí)驗(yàn)的主要內(nèi)容是利用三種控制方法，使倒立擺系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定，并且比較三種控制方法的優(yōu)劣。我們首先做的是經(jīng)典PID控制，經(jīng)典PID控制是最早發(fā)展起來的一種控制方法,由于其算法簡單、魯棒性好、可靠性高,因而至今仍廣泛應(yīng)用于工業(yè)過程控制中。該方法的主要思想是：根據(jù)給定值r與系統(tǒng)的實(shí)際輸出值c構(gòu)成控制偏差e,然后將偏差的比例( P) 、積分( I)和微分(D)三項(xiàng)通過線性組合構(gòu)成控制量,對被控對象進(jìn)行控制,故稱為PID控制。比例環(huán)節(jié)P的作用，是對當(dāng)前時(shí)刻的偏差信號進(jìn)行放大或衰減后作為控制信號輸出。積分環(huán)節(jié)I可以累計(jì)從零時(shí)刻起到當(dāng)前的輸入信號的全部值。微分環(huán)節(jié)D的輸出正比于輸入的當(dāng)前變化率，作用是有偏差信

42、號的當(dāng)前變化率來預(yù)見隨后的偏差將是增大還是減小，增減幅度如何。PID控制通過調(diào)節(jié)KP,KI,KD三個(gè)基本參數(shù)，來實(shí)現(xiàn)仿真，達(dá)到預(yù)期的控制效果，但是PID控制是一個(gè)單輸入輸出的控制，它只能搖桿的角度，而不能控制小車的位移。雙PID控制是利用兩個(gè)PID來同時(shí)控制倒立擺系統(tǒng)，雙PID的模型如下：雙PID控制雖然能控制小車的位移，但是我們在實(shí)際操作過程中，發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的曲線很難達(dá)到收斂，往往都是發(fā)散的。LQR控制：線性二次型調(diào)節(jié)器(Linear Quadratic Regulator LQR) 問題在現(xiàn)代控制理論中占有非常重要的位置，受到控制界的普遍重視，應(yīng)用十分廣泛，是現(xiàn)代控制理論的中最重要的成果之

43、一。線性二次型(LQ) 性能指標(biāo)易于分析、處理和計(jì)算,而且通過線性二次型最優(yōu)設(shè)計(jì)方法得到的倒立擺系統(tǒng)控制方法,具好較好的魯棒性與動態(tài)特性以及能夠獲得線性反饋結(jié)構(gòu)等優(yōu)點(diǎn),因而在實(shí)際的倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中,得到了廣泛的應(yīng)用。 LQR控制通過matlab的程序，根據(jù)期望性能指標(biāo)選取Q和R，就可以得到反饋矩陣K的值。改變矩陣Q的值，可以得到不同的響應(yīng)結(jié)果，Q的值越大，系統(tǒng)抵抗干擾能力越強(qiáng)，調(diào)整時(shí)間越短。 從實(shí)驗(yàn)的結(jié)果來看，LQR控制在快速性和抗干擾性上，都要強(qiáng)于PID控制，這是因?yàn)長QR是多變量控制。 經(jīng)過了這次實(shí)驗(yàn)，我有了很多收獲：1. 作為一個(gè)小組的組長，我體會到了自己身上的責(zé)任和壓力，從分配任務(wù)到實(shí)驗(yàn)進(jìn)行，實(shí)驗(yàn)報(bào)告，對我自己都是一個(gè)很好的鍛煉。2. 這次實(shí)驗(yàn)過程中，我也學(xué)習(xí)到了很多平時(shí)接觸不到的知識，復(fù)習(xí)了matlab的應(yīng)用，了解了simulink模塊的應(yīng)用，而且