高中數(shù)學(xué)第五章平面向量專題講義【精品】

1、第1講平面向量的概念及線性運(yùn)算1.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為零的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為±平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：abba. (2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求

2、a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.第2講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示知 識(shí) 梳 理1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向

3、量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10.第3講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用知 識(shí) 梳 理1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念(1)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b，記a，b，則AOB(0°180°

4、;)叫做向量a與b的夾角.(2)數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos_ 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b|a|b|cos_，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a0.(3)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos_的乘積.2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角.(1)數(shù)量積：a·b|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夾角：cos .(4)兩非零向量ab的充要條件：

5、a·b0x1x2y1y20.(5)|a·b|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)|x1x2y1y2| ·.3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·bb·a(交換律).(2)a·b(a·b)a·(b)(結(jié)合律).(3)(ab)·ca·cb·c(分配律).第1講平面向量的概念及線性運(yùn)算基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1.已知下列各式：；，其中結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.42.設(shè)a是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A.a與a的方向相反 B.a與2a的方向相同 C.|a|a

6、| D.|a|·a3.如圖，在正六邊形ABCDEF中，()A.0 B. C. D.4.設(shè)a0為單位向量，下述命題中：若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.假命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.35.設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則等于()A. B.2 C.3 D.46.在ABC中，c，b，若點(diǎn)D滿足2，則等于()A.bc B.cbC.bc D.bc7.(2017·溫州八校檢測)設(shè)a，b不共線，2apb，ab，a2b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的

7、值為()A.2 B.1 C.1 D.28.如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，a，b，則()A.ab B.abC.ab D.ab二、填空題9.如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點(diǎn)和中心為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與向量相等的向量有_個(gè).10.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則_.11.向量e1，e2不共線，3(e1e2)，e2e1，2e1e2，給出下列結(jié)論：A，B，C共線；A，B，D共線；B，C，D共線；A，C，D共線，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為_.能力提升題組13.(2017·延安模擬)設(shè)e1與e2是兩個(gè)不共線向

8、量，3e12e2，ke1e2，3e12ke2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值為()A. B. C. D.不存在14.已知點(diǎn)O,A,B不在同一條直線上，點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn)，且22，則()A.點(diǎn)P在線段AB上B.點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上C.點(diǎn)P在線段AB的延長線上D.點(diǎn)P不在直線AB上16.若點(diǎn)O是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|2|，則ABC的形狀為_.第2講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1.(必修4P118A組2(6)下列各組向量中，可以作為基底的是()A.e1(0，0)，e2(1，2)B.e1(1，2)，e2(5，7)C.e1(3，5)，e2(6，10)D.e1(2，3

9、)，e22.(2016·沈陽質(zhì)監(jiān))已知在ABCD中，(2，8)，(3，4)，則()A.(1，12) B.(1，12)C.(1，12) D.(1，12)3.已知向量a(1，2)，b(3，m)，mR，則“m6”是“a(ab)”的()A.充分必要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4.如右圖，向量e1，e2，a的起點(diǎn)與終點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則向量a可用基底e1，e2表示為()A.e1e2 B.2e1e2 C.2e1e2 D.2e1e25.已知向量(k，12)，(4，5)，(k，10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值是()A. B. C. D.6.在A

10、BC中，點(diǎn)D在BC邊上，且2，rs，則rs等于()A. B.C.3 D.07.在ABC中，點(diǎn)P在BC上，且2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若(4，3)，(1，5)，則等于()A.(2，7) B.(6，21)C.(2，7) D.(6，21)8.已知點(diǎn)M是ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且2，則向量()A. B. C. D.二、填空題9.(2017·廣州綜測)已知向量a(x，1)，b(2，y)，若ab(1，1)，則xy_.10.若三點(diǎn)A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab0)共線，則的值為_.11.已知向量a(1，2)，b(x，1)，ua2b，v2ab，且uv，則實(shí)數(shù)x的值為_.12

11、.在平行四邊形ABCD中，e1，e2，則_(用e1，e2)表示.能力提升題組13.(2017·長沙調(diào)研)如圖，在OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，xy，且2 ，則()A.x，y B.x，y C.x，y D.x，y14.已知|1，|，·0，點(diǎn)C在AOB內(nèi)，且與的夾角為30°，設(shè)mn(m，nR)，則的值為()A.2 B. C.3 D.415.已知點(diǎn)A(1，2)，B(2，8)，則的坐標(biāo)為_.第3講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1.(2016·蘭州診斷考試)已知向量a，b滿足a·b0，|a|1，|b|2，則|ab|()A.0 B.1 C.

12、2 D.2.(2015·陜西卷)對(duì)任意平面向量a，b，下列關(guān)系式中不恒成立的是()A.|a·b|a|b| B.|ab|a|b| C.(ab)2|ab|2 D.(ab)·(ab)a2b23.已知a(1，2)，b(x，2)，且ab，則|b|()A.2 B. C.10 D.54.(2015·廣東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，(1，2)，(2，1)，則·等于()A.5 B.4 C.3 D.25.(2015·重慶卷)已知非零向量a，b滿足|b|4|a|，且a(2ab)，則a與b的夾角為()A. B.C. D.二、

13、填空題6.(2016·全國卷)設(shè)向量a(x，x1)，b(1，2)，且ab，則x_.7.(2016·北京卷)已知向量a(1，)，b(，1)，則a與b夾角的大小為_.8.已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若ABC為銳角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.三、解答題9.已知|a|4，|b|3，(2a3b)·(2ab)61，(1)求a與b的夾角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面積.10.(2017·德州一模)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且m·n.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影.能力提升題組11.(必修4P120 1(6)改編)若平面向量a，b，c兩兩所成的角相等，且|a|1，|b|1，|c|3，則|abc|等于()A.2 B.5 C.2或5 D.或12.(2015·山東卷)已知菱形