高中數(shù)學(xué)經(jīng)典50題(附答案)

1、高中數(shù)學(xué)題庫1. 求下列函數(shù)的值域： 解法2 令tsinx，則f(t)t2t1， |sinx|1, |t|1.問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于t的二次函數(shù)f(t)在閉區(qū)間1,1上的最值 本例題(2)解法2通過換元，將求三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，從而達(dá)到解決問題的目的，這就是轉(zhuǎn)換的思想善于從不同角度去觀察問題，溝通數(shù)學(xué)各學(xué)科之間的內(nèi)在聯(lián)系，是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)換的目的是將數(shù)學(xué)問題由陌生化熟悉，由復(fù)雜化簡單，一句話：由難化易可見化歸是轉(zhuǎn)換的目的，而轉(zhuǎn)換是實(shí)現(xiàn)化歸段手段。2. 設(shè)有一顆慧星沿一橢圓軌道繞地球運(yùn)行，地球恰好位于橢圓軌道的焦點(diǎn)處，當(dāng)此慧星離地球相距萬千米和萬千米時(shí)，經(jīng)過地球

2、和慧星的直線與橢圓的長軸夾角分別為，求該慧星與地球的最近距離。解：建立如下圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)地球位于焦點(diǎn)處，橢圓的方程為（圖見教材P132頁例1）。當(dāng)過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角為時(shí)，由橢圓的幾何意義可知，彗星A只能滿足。作故由橢圓第二定義可知得兩式相減得答：彗星與地球的最近距離為萬千米。說明：（1）在天體運(yùn)行中，彗星繞恒星運(yùn)行的軌道一般都是橢圓，而恒星正是它的一個(gè)焦點(diǎn)，該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，一個(gè)是近地點(diǎn)，另一個(gè)則是遠(yuǎn)地點(diǎn)，這兩點(diǎn)到恒星的距離一個(gè)是，另一個(gè)是（2）以上給出的解答是建立在橢圓的概念和幾何意義之上的，以數(shù)學(xué)概念為根基充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。另外，數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的解決在數(shù)學(xué)化的過

3、程中也要時(shí)刻不忘審題，善于挖掘隱含條件，有意識(shí)地訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)。3. A，B，C是我方三個(gè)炮兵陣地，A在B正東6，C在B正北偏西，相距4，P為敵炮陣地，某時(shí)刻A處發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號(hào)，由于B，C兩地比A距P地遠(yuǎn)，因此4后，B，C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)，此信號(hào)的傳播速度為1，A若炮擊P地，求炮擊的方位角。（圖見優(yōu)化設(shè)計(jì)教師用書P249例2）解：如圖，以直線BA為軸，線段BA的中垂線為軸建立坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，所以點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上。因?yàn)?，BC中點(diǎn)，所以直線PD的方程為（1）又故P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上。設(shè)，則雙曲線方程為（2）。聯(lián)立（1）（2），得，所以因此，故炮擊的方位角北偏

4、東。說明：本題的關(guān)鍵是確定P點(diǎn)的位置，另外還要求學(xué)生掌握方位角的基本概念。4. 河上有拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂5米時(shí)，水面寬度為8米，一小船寬4米，高2米，載貨后船露出水面的部分高0.75米，問水面上漲到與拋物線拱頂距多少時(shí)，小船開始不能通行？解：建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拱橋型拋物線方程為。將B（4,-5）代入得P=1.6船兩側(cè)與拋物線接觸時(shí)不能通過則A(2,yA)，由22=-3.2 yA得yA = - 1.25因?yàn)榇冻鏊娴牟糠指?.75米所以h=yA+0.75=2米答：水面上漲到與拋物線拱頂距2米時(shí)，小船開始不能通行思維點(diǎn)拔注意點(diǎn)與曲線的關(guān)系的正確應(yīng)用和用建立拋物線方程解決實(shí)際問題的技巧

5、。5. 如圖所示，直線和相交于點(diǎn)M，點(diǎn)，以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)N的距離相等。若為銳角三角形，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程。解：以直線為x軸，線段MN的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，由條件可知，曲線段C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A、B分別為曲線段C的端點(diǎn)。設(shè)曲線段C的方程為，其中為A、B的橫坐標(biāo)，所以，由，得（1）（2），（1）（2）聯(lián)立解得，代入（1）式，并由解得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，故舍去，所以由點(diǎn)B在曲線段C上，得，綜上，曲線段C的方程為思維點(diǎn)拔本題體現(xiàn)了坐標(biāo)法的基本思路，考查了定義法，待定系數(shù)法求曲線方程的步驟，綜合考查了學(xué)生分析問

6、題、解決問題的能力。6. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為A,以B(a+4,0)點(diǎn)為圓心，AB為半徑，在x軸上方畫半圓，設(shè)拋物線與半圓相交與不同的兩點(diǎn)M，N。點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)。（1）求AM+AN的值（2）是否存在實(shí)數(shù)a，恰使AMAPAN成等差數(shù)列？若存在，求出a，不存在，說明理由。解：(1)設(shè)M,N,P在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為M,N,P.AM+AN=MM+NN=xM+xN+2a 又圓方程將代入得得AM+AN=8(2)假設(shè)存在a因?yàn)锳M+AN=MM+NN=2PP所以AP=PP ，P點(diǎn)在拋物線上，這與P點(diǎn)是MN的中點(diǎn)矛盾。故a不存在。7. 拋物線上有兩動(dòng)點(diǎn)A，B及一個(gè)定點(diǎn)M，F(xiàn)為焦點(diǎn)，若成等差數(shù)列（1） 求證線

7、段AB的垂直平分線過定點(diǎn)Q（2） 若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求拋物線的方程。（3） 對于（2）中的拋物線，求AQB面積的最大值。解：（1）設(shè)，則，由題意得，的中點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為，其中（否則），而，故AB的垂直平分線為，即，可知其過定點(diǎn)（2）由，得，聯(lián)立解得。（3）直線AB：，代入得，又點(diǎn)到AB的距離，令，則，令即，得或或，時(shí)。思維點(diǎn)拔設(shè)而不求法和韋達(dá)定律法是解決圓錐曲線中的兩大基本方法，必須熟練掌握，對定點(diǎn)問題和最值的處理也可由此細(xì)細(xì)的品味。8、已知直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若為的傾斜角，且的長不小于短軸的長，求的取值范圍。解：將的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，得由，的取值范圍是思維點(diǎn)拔對于弦長公式一定要能熟

8、練掌握、靈活運(yùn)用民。本題由于的方程由給出，所以可以認(rèn)定，否則涉及弦長計(jì)算時(shí)，還要討論時(shí)的情況。9、已知拋物線與直線相交于A、B兩點(diǎn)（1） 求證：（2） 當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，求的值。（1） 證明：圖見教材P127頁，由方程組消去后，整理得。設(shè)，由韋達(dá)定理得 在拋物線上，（2） 解：設(shè)直線與軸交于N，又顯然令思維點(diǎn)拔本題考查了兩直線垂直的充要條件，三角形的面積公式，函數(shù)與方程的思想，以及分析問題、解決問題的能力。10、在拋物線y2=4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對稱，求k的取值范圍。解設(shè)B、C關(guān)于直線y=kx+3對稱，直線BC方程為x=-ky+m代入y2=4x得：y2+4ky-4m=0， 設(shè)B（x

9、1，y1）、C（x2，y2），BC中點(diǎn)M（x0，y0），則y0=（y1+y2）/2=-2k。x0=2k2+m，點(diǎn)M（x0，y0）在直線上。-2k（2k2+m）+3，m=-又BC與拋物線交于不同兩點(diǎn)，=16k2+16m>0把m代入化簡得即，解得-1<k<0思維點(diǎn)拔對稱問題要充分利用對稱的性質(zhì)特點(diǎn)。11、已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1（0，-2），對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為y=-，且離心率e滿足：2/3，e，4/3成等比數(shù)列。（1） 求橢圓方程；（2） 是否存在直線，使與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN恰被直線x=-平分。若存在，求的傾斜角的范圍；若不存在，請說明理由。解依題意e=（1）-c=

10、-2=，又e=3，c=2，b=1，又F1（0，-2），對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為y=-。橢圓中心在原點(diǎn)，所求方程為：=1（2）假設(shè)存在直線，依題意交橢圓所得弦MN被x=-平分，直線的斜率存在。設(shè)直線：由 =1消去y，整理得=0直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0即m2-k2-9<0 設(shè)M （x1，y1）、N（x2，y2）， 把代入可解得：直線傾斜角思維點(diǎn)拔 傾斜角的范圍，實(shí)際上是求斜率的范圍。12、設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值為12，則的最小值為（ ） A B C D 4答案：A解析：不等式表

11、示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線ax+by= z（a>0，b>0）過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(diǎn)（4,6）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6, 而=，故選A點(diǎn)評(píng)：本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值，對于形如已知2a+3b=6，求的最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答13、本公司計(jì)劃2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為元/分鐘和

12、200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為03萬元和02萬元問該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是 萬元答案：700100200300100200300400500yxlM解析：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為分鐘和分鐘，總收益為元，由題意得目標(biāo)函數(shù)為二元一次不等式組等價(jià)于作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域如圖：作直線，即平移直線，從圖中可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值聯(lián)立解得點(diǎn)的坐標(biāo)為（元）點(diǎn)評(píng)：本題是線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題，需要通過審題理解題意，找出各量之間的關(guān)系，找出線性約束

13、條件，寫出所研究的目標(biāo)函數(shù)，通過數(shù)形結(jié)合解答問題用線性規(guī)劃的方法解決實(shí)際問題能提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，隨著課改的深入，這類試題應(yīng)該是高考的熱點(diǎn)題型之一14、設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)(1)若，求的取值范圍；(2)求的最小值；(3)設(shè)函數(shù)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集解析：（1）若，則；（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上；（3）時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，>0，得：；討論得：當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力15、知函數(shù)（）設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，前n

14、項(xiàng)和為，其中若點(diǎn)(nN*)在函數(shù)的圖象上，求證：點(diǎn)也在的圖象上；（）求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值解析：()證明： 因?yàn)樗?，由點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,， 又， 所以，是的等差數(shù)列， 所以,又因?yàn)?所以, 故點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上()解:,令得當(dāng)x變化時(shí),的變化情況如下表: x(-,-2)-2(-2,0)f(x)+0-f(x)極大值 注意到,從而當(dāng),此時(shí)無極小值；當(dāng)?shù)臉O小值為,此時(shí)無極大值；當(dāng)既無極大值又無極小值點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識(shí)，考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題和解決問題的能力16、設(shè)若是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為（ ） A8 B4 C1 D答案：B解析：因?yàn)?/p>

15、，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”成立，故選擇B點(diǎn)評(píng)：本小題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，以及均值不等式求最值的運(yùn)用，考查了變通能力17、設(shè)數(shù)列滿足為實(shí)數(shù)（）證明：對任意成立的充分必要條件是；（）設(shè)，證明：；（）設(shè)，證明：解析： (1) 必要性： ，又 ，即充分性 ：設(shè)，對用數(shù)學(xué)歸納法證明， 當(dāng)時(shí)，假設(shè)， 則，且，由數(shù)學(xué)歸納法知對所有成立(2) 設(shè) ，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立當(dāng) 時(shí)， ,由（1）知，所以 且 ， ， ，(3) 設(shè) ，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立， 當(dāng)時(shí)，由（2）知， 點(diǎn)評(píng)：該題綜合考查了等比數(shù)列的求和、不等式的性質(zhì)的應(yīng)用、充分必要條件和數(shù)學(xué)歸納法等，具有較高的難度，對邏輯推理能力的考查要求較高18、將一骰子連續(xù)拋

16、擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為（）                           解析：一骰子連續(xù)拋擲三次得到的數(shù)列共有個(gè)，其中為等差數(shù)列有三類：（1）公差為0的有6個(gè)；（2）公差為1或-1的有8個(gè)；（3）公差為2或-2的有4個(gè)，共有18個(gè)，成等差數(shù)列的概率為，選B點(diǎn)評(píng)：本題是以數(shù)列和概率的背景出現(xiàn)，題型新穎而別開生面，有采取分類討論

17、，分類時(shí)要做到不遺漏，不重復(fù)19、 等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別用Sn和Tn表示，若，則的值為( )A B C D 答案：A解析： ； 點(diǎn)評(píng)：考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的變形。20、已知x0，y0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是_答案：4 解析：4點(diǎn)評(píng)：考查等差等比數(shù)列的基本知識(shí)，均值不等式。21、命題實(shí)數(shù)滿足，其中，命題實(shí)數(shù)滿足或，且是的必要不充分條件，求的取值范圍解析：設(shè)，=因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以，且推不出而，所以，則或即或點(diǎn)評(píng)：考查邏輯用語，一元二次方程及其含參數(shù)的解集。22、已知二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為 a ，且不等式 的解集為（1 , 3）（l）

18、若方程有兩個(gè)相等的根，求的解析式； （2）若的最大值為正數(shù)，求 a 的取值范圍解析：（1）因?yàn)榈慕饧癁椋?，3），所以且 因而 （1）由方程得： （2）因?yàn)榉匠蹋?）有兩個(gè)相等的根所以，即解得：（舍去）或，將代入（1）得的解析式為：，（2），有a < 0，可得的最大值為，所以 > 0，且a < 0解得：，故當(dāng)?shù)淖畲笾禐檎龜?shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是點(diǎn)評(píng)：含參數(shù)的未知一元二次方程，求函數(shù)表達(dá)式以及參數(shù)的取值范圍。計(jì)算量比較大，且要求對一元二次函數(shù)的知識(shí)熟練。23、已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。分析

19、：由于b和c中的項(xiàng)都和a中的項(xiàng)有關(guān)，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入點(diǎn)探索解題的途徑解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，數(shù)列b是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=3·2當(dāng)n2時(shí)，S=4a+2=2(3n-4)+2；當(dāng)n=1時(shí)，S=a=1也適合上式綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2說明：1本例主要

20、復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時(shí)應(yīng)用24、設(shè)實(shí)數(shù)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，記，求證：當(dāng)時(shí)，對任意自然數(shù)都有=解：。記+得說明：本例主要復(fù)習(xí)利用錯(cuò)位相減解決差比數(shù)列的求和問題。關(guān)鍵是先研究通項(xiàng)，確定是等差數(shù)列，等比數(shù)列。25、設(shè)正數(shù)數(shù)列a為一等比數(shù)列，且a=4，a=16說明：這是2000年全國高考上海試題，涉及對數(shù)、數(shù)列、極限的綜合題，主要考查等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，對數(shù)計(jì)算，求數(shù)列極限等基礎(chǔ)

21、知識(shí)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力26、（2004年北京春季高考20）下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”：47（）（）（）712（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第i行第j列的數(shù)。（I）寫出的值；（II）寫出的計(jì)算公式；（III）證明：正整數(shù)N在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積。分析：本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力。解：（I）（II）該等差數(shù)陣的第一行是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列：第二行是首項(xiàng)為7，公差為5的等差數(shù)列：第i行是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，因此（II

22、I）必要性：若N在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i，j使得從而即正整數(shù)2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積。充分性：若2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積，由于2N+1是奇數(shù)，則它必為兩個(gè)不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k，l，使得，從而可見N在該等差數(shù)陣中。綜上所述，正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積。27、已知點(diǎn)的序列（，0），其中=0，A3是線錢A1A2的中點(diǎn)，A4是線段A2A3的中點(diǎn)，An是線段的中點(diǎn)，。（I）寫出與、之間的關(guān)系式（3）（II）設(shè)，計(jì)算，由此推測數(shù)列的通項(xiàng)公式，并加以證明。（I）解：當(dāng)n3時(shí)，（II）解：.由此推測。證法一：因?yàn)?/p>

23、，且（n2）所以。證法二：（用數(shù)學(xué)歸納法證明：）（i）當(dāng)時(shí)，公式成立，（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，公式成立，即成立。那么當(dāng)時(shí)，=式仍成立。根據(jù)（i）與（ii）可知，對任意，公式成立評(píng)注：本小題主要考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式、等比數(shù)列等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力。28、（94年全國理)設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，并且對所有自然數(shù)n，an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng).(1)寫出數(shù)列an的前三項(xiàng)；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(寫出推證過程)；(3)令bn=(nN)，求：b1+b2+bn-n.解：(1)由題意=an0令n=1時(shí)，=S1=a1解得a1=2令n=2時(shí)有=a1+a2解得a2=6令n

24、=3時(shí)有=S3=a1+a2+a3解得a3=10故該數(shù)列的前三項(xiàng)為2、6、10.(2)解法一：由(1)猜想數(shù)列an有通項(xiàng)公式an=4n-2，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=4n-2(nN)1°當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)?×1-22，又在(1)中已求得a1=2，所以上述結(jié)論正確.2°假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論正確，即有ak=4k-2由題意有得ak=4k-2,代入上式得2k=,解得Sk=2k2由題意有=Sk+1=Sk+ak+1得Sk=2k2代入得=2(ak+1+2k2)整理a2k+1-4ak+1+4-16k2=0由于ak+10，解得：ak+1=2+4k所以ak+1=2+4k

25、=4(k+1)-2這就是說n=k+1時(shí)，上述結(jié)論成立.根據(jù)1°，2°上述結(jié)論對所有自然數(shù)n成立.解法二：由題意有，=(nN)整理得Sn=(an+2)2由此得Sn+1=(an+1+2)2所以an+1=Sn+1-Sn=（an+1+2)2-(an+2)2整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0由題意知an+1+an0,所以an+1-an=4即數(shù)列an為等差數(shù)列，其中a1=2,公差d=4，所以an=a1(n-1)d=2+4(n-1)即通項(xiàng)公式an=4n-2.(3)令cn=bn-1,則cn=b1+b2+bn-n=c1+c2+cn=說明：該題的解題思路是從所給條件出發(fā)，通過觀

26、察、試驗(yàn)、分析、歸納、概括、猜想出一般規(guī)律，然后再對歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明.對于含自然數(shù)n的命題，可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，該題著重考查了歸納、概括和數(shù)學(xué)變換的能力.29、（江蘇18）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M、N分別是橢圓的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k（1）當(dāng)直線PA平分線段MN，求k的值；（2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；（3）對任意k>0，求證：PAPB本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線方程、直線的垂直關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解

27、能力和推理論證能力，滿分16分.解：（1）由題設(shè)知，所以線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點(diǎn)，又直線PA過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以（2）直線PA的方程解得于是直線AC的斜率為（3）解法一：將直線PA的方程代入則故直線AB的斜率為其方程為解得.于是直線PB的斜率因此解法二：設(shè).設(shè)直線PB，AB的斜率分別為因?yàn)镃在直線AB上，所以從而因此30、（安徽理21）設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)滿足，經(jīng)過點(diǎn)與軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)滿足,求點(diǎn)的軌跡方程。本題考查直線和拋物線的方程，平面向量的概念，性質(zhì)與運(yùn)算，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程等基本知識(shí)，考查靈活運(yùn)用知識(shí)探究問題

28、和解決問題的能力，全面考核綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng).解：由知Q，M，P三點(diǎn)在同一條垂直于x軸的直線上，故可設(shè) 再設(shè)解得 將式代入式，消去，得 又點(diǎn)B在拋物線上，所以，再將式代入，得故所求點(diǎn)P的軌跡方程為31、（北京理19） 已知橢圓.過點(diǎn)（m,0）作圓的切線I交橢圓G于A，B兩點(diǎn).（I）求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；（II）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.（19）（共14分）解：（）由已知得所以所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為離心率為（）由題意知，.當(dāng)時(shí)，切線l的方程，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為此時(shí)當(dāng)m=1時(shí)，同理可得當(dāng)時(shí)，設(shè)切線l的方程為由設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則又由l與圓所以由于當(dāng)時(shí)，所以.因?yàn)榍耶?dāng)時(shí)，|AB|=2

29、，所以|AB|的最大值為2.32、（福建理17）已知直線l：y=x+m，mR。（I）若以點(diǎn)M（2,0）為圓心的圓與直線l相切與點(diǎn)P，且點(diǎn)P在y軸上，求該圓的方程；（II）若直線l關(guān)于x軸對稱的直線為，問直線與拋物線C：x2=4y是否相切？說明理由。本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想。滿分13分。解法一：（I）依題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m）因?yàn)?，所以，解得m=2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）從而圓的半徑故所求圓的方程為（II）因?yàn)橹本€的方程為所以直線的方程為由（1）當(dāng)時(shí)，直線與拋物線C相切（2）當(dāng)，那時(shí)，直線與

30、拋物線C不相切。綜上，當(dāng)m=1時(shí)，直線與拋物線C相切；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線C不相切。解法二：（I）設(shè)所求圓的半徑為r，則圓的方程可設(shè)為依題意，所求圓與直線相切于點(diǎn)P（0，m），則解得所以所求圓的方程為（II）同解法一。33、（廣東理19） 設(shè)圓C與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切。（1）求C的圓心軌跡L的方程;（2）已知點(diǎn)M，且P為L上動(dòng)點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo) （1）解：設(shè)C的圓心的坐標(biāo)為，由題設(shè)條件知化簡得L的方程為 （2）解：過M，F(xiàn)的直線方程為，將其代入L的方程得解得因T1在線段MF外，T2在線段MF內(nèi)，故，若P不在直線MF上，在中有故只在T1點(diǎn)取得最大值2。34、（湖北理20） 平面

31、內(nèi)與兩定點(diǎn)，連續(xù)的斜率之積等于非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，加上、兩點(diǎn)所成的曲線可以是圓、橢圓成雙曲線（）求曲線的方程，并討論的形狀與值得關(guān)系；（）當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的曲線為；對給定的，對應(yīng)的曲線為，設(shè)、是的兩個(gè)焦點(diǎn)。試問：在撒謊個(gè)，是否存在點(diǎn)，使得的面積。若存在，求的值；若不存在，請說明理由。本小題主要考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理運(yùn)算的能力，以及分類與整合和數(shù)形結(jié)合的思想。（滿分14分） 解：（I）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M，其坐標(biāo)為， 當(dāng)時(shí)，由條件可得即，又的坐標(biāo)滿足故依題意，曲線C的方程為當(dāng)曲線C的方程為是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，C是圓心在原點(diǎn)的圓；當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，C是焦點(diǎn)在x

32、軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線。（II）由（I）知，當(dāng)m=-1時(shí)，C1的方程為當(dāng)時(shí)，C2的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為對于給定的，C1上存在點(diǎn)使得的充要條件是由得由得當(dāng)或時(shí)，存在點(diǎn)N，使S=|m|a2；當(dāng)或時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)N，當(dāng)時(shí)，由，可得令，則由，從而，于是由，可得綜上可得：當(dāng)時(shí)，在C1上，存在點(diǎn)N，使得當(dāng)時(shí)，在C1上，存在點(diǎn)N，使得當(dāng)時(shí)，在C1上，不存在滿足條件的點(diǎn)N。35、（湖南理21） 如圖7，橢圓的離心率為，x軸被曲線截得的線段長等于C1的長半軸長。（）求C1，C2的方程；（）設(shè)C2與y軸的焦點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與C2相交于點(diǎn)A,B,直線MA,MB分別與C1相

33、交與D,E（i）證明：MDME;（ii）記MAB,MDE的面積分別是問：是否存在直線l,使得?請說明理由。解 ：（）由題意知故C1，C2的方程分別為（）（i）由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為.由得.設(shè)是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是又點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1），所以故MAMB，即MDME.（ii）設(shè)直線MA的斜率為k1，則直線MA的方程為解得則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.又直線MB的斜率為，同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為于是由得解得則點(diǎn)D的坐標(biāo)為又直線ME的斜率為，同理可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為于是.因此由題意知，又由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可知，故滿足條件的直線l存在，且有兩條，其方程分別為36、（遼寧理20） 如圖，已知橢

34、圓C1的中心在原點(diǎn)O，長軸左、右端點(diǎn)M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線lMN，l與C1交于兩點(diǎn)，與C2交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D（I）設(shè)，求與的比值；（II）當(dāng)e變化時(shí)，是否存在直線l，使得BOAN，并說明理由解：（I）因?yàn)镃1，C2的離心率相同，故依題意可設(shè)設(shè)直線，分別與C1，C2的方程聯(lián)立，求得 4分當(dāng)表示A，B的縱坐標(biāo)，可知 6分 （II）t=0時(shí)的l不符合題意.時(shí)，BO/AN當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即解得因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，不存在直線l，使得BO/AN；當(dāng)時(shí)，存在直線l使得BO/AN. 12分 37、（全國

35、大綱理21） 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過F且斜率為的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足（）證明：點(diǎn)P在C上；（）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上解：（I）F（0，1），的方程為，代入并化簡得2分設(shè)則由題意得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)P的坐標(biāo)為滿足方程故點(diǎn)P在橢圓C上。6分 （II）由和題設(shè)知， PQ的垂直平分線的方程為設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則，AB的垂直平分線為的方程為由、得的交點(diǎn)為。9分故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，由此知A、P、B、Q四點(diǎn)在以N為圓心，NA為半徑的圓

36、上38、（全國新課標(biāo)理20） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中， 已知點(diǎn)A（0，-1），B點(diǎn)在直線上，M點(diǎn)滿足，M點(diǎn)的軌跡為曲線C（I）求C的方程；（II）P為C上動(dòng)點(diǎn)，為C在點(diǎn)P處的切線，求O點(diǎn)到距離的最小值 解：()設(shè)M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1).所以=（-x，-1-y）， =(0，-3-y)， =(x，-2).再由題意可知（+） =0， 即（-x，-4-2y） (x，-2)=0.所以曲線C的方程式為y=x-2.()設(shè)P(x，y)為曲線C：y=x-2上一點(diǎn)，因?yàn)閥=x，所以的斜率為x因此直線的方程為，即則O點(diǎn)到的距離.又，所以當(dāng)=0時(shí)取等號(hào)，所以O(shè)點(diǎn)到距

37、離的最小值為2.39、（山東理22） 已知?jiǎng)又本€與橢圓C: 交于P、Q兩不同點(diǎn)，且OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).（）證明和均為定值;（）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求的最大值；（）橢圓C上是否存在點(diǎn)D,E,G，使得?若存在，判斷DEG的形狀；若不存在，請說明理由.（I）解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，所以因?yàn)樵跈E圓上，因此又因?yàn)樗杂?、得此時(shí) （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為由題意知m，將其代入，得，其中即（*）又所以因?yàn)辄c(diǎn)O到直線的距離為所以又整理得且符合（*）式，此時(shí)綜上所述，結(jié)論成立。 （II）解法一： （1）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（I）知因此 （2）當(dāng)直線

38、的斜率存在時(shí)，由（I）知所以 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值為解法二：因?yàn)?所以即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。因此 |OM|·|PQ|的最大值為 （III）橢圓C上不存在三點(diǎn)D，E，G，使得證明：假設(shè)存在，由（I）得因此D，E，G只能在這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過原點(diǎn)，與矛盾，所以橢圓C上不存在滿足條件的三點(diǎn)D，E，G.40、（陜西理17） 如圖，設(shè)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的攝影，M為PD上一點(diǎn)，且（）當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；（）求過點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長度解：（）設(shè)M的

39、坐標(biāo)為（x,y）P的坐標(biāo)為（xp,yp）由已知得P在圓上，    ，即C的方程為（）過點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線方程為，設(shè)直線與C的交點(diǎn)為將直線方程代入C的方程，得 即        線段AB的長度為注：求AB長度時(shí)，利用韋達(dá)定理或弦長公式求得正確結(jié)果，同樣得分。41、（上海理23） 已知平面上的線段及點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，線段長度的最小值稱為點(diǎn)到線段的距離，記作。（1）求點(diǎn)到線段的距離；（2）設(shè)是長為2的線段，求點(diǎn)集所表示圖形的面積；（3）寫出到兩條線段距離相等的點(diǎn)的集合，其中，是下列三

40、組點(diǎn)中的一組。對于下列三組點(diǎn)只需選做一種，滿分分別是2分，6分，8分；若選擇了多于一種的情形，則按照序號(hào)較小的解答計(jì)分。 。 。 。解： 設(shè)是線段上一點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，。 設(shè)線段的端點(diǎn)分別為，以直線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，點(diǎn)集由如下曲線圍成，其面積為。 選擇， 選擇。 選擇。42、（四川理21） 橢圓有兩頂點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），過其焦點(diǎn)F（0，1）的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q（I）當(dāng)|CD | = 時(shí)，求直線l的方程；（II）當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí)，求證：為定值。 解：由已知可得橢圓方程為，設(shè)的方程為為的斜率。則的方程為43、（天

41、津理18）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)已知為等腰三角形（）求橢圓的離心率；（）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問題能力與運(yùn)算能力.滿分13分. （I）解：設(shè) 由題意，可得即整理得（舍），或所以（II）解：由（I）知可得橢圓方程為直線PF2方程為A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得解得 得方程組的解不妨設(shè)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由于是由即，化簡得將所以因此，點(diǎn)M的軌跡方程是44、（浙江理21）已知拋物線:，圓:的圓心為

42、點(diǎn)M（）求點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的距離；（）已知點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn)P作圓的兩條切線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若過M，P兩點(diǎn)的直線垂直于AB，求直線的方程本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線、圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分。 （I）解：由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為： 所以圓心M（0，4）到準(zhǔn)線的距離是（II）解：設(shè)，則題意得，設(shè)過點(diǎn)P的圓C2的切線方程為，即則即，設(shè)PA，PB的斜率為，則是上述方程的兩根，所以將代入由于是此方程的根，故，所以由，得，解得即點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以直線的方程為45、（重慶理20）如題（20）圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率，一條準(zhǔn)線的方程為 （）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足：，其中是橢圓上的點(diǎn)，直線與的斜率之積為，問：是否