常微分方程期末試題答案2

1、一、填空題（每空2 分，共16分）。1、方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是xoy平面2. 方程組的任何一個解的圖象是 n+1 維空間中的一條積分曲線.3連續(xù)是保證方程初值唯一的 充分 條件4方程組的奇點的類型是 中心 5方程的通解是6變量可分離方程的積分因子是7二階線性齊次微分方程的兩個解,成為其基本解組的充要條件是 線性無關(guān) 8方程的基本解組是 二、選擇題（每小題 3 分，共 15分）。9一階線性微分方程的積分因子是（ A ）（A） （B） （C） （D）10微分方程是（ B ）（A）可分離變量方程 （B）線性方程 （C）全微分方程 （D）貝努利方程11方程x(y21)dx+y(x21)

2、dy=0的所有常數(shù)解是（ C ）(A) (B) (C), (D), 12階線性非齊次微分方程的所有解（ D ） （A）構(gòu)成一個線性空間 （B）構(gòu)成一個維線性空間 （C）構(gòu)成一個維線性空間 （D）不能構(gòu)成一個線性空間13方程（ D ）奇解（A）有一個 （B）有無數(shù)個 （C）只有兩個 （D）無三、計算題（每小題8分，共48分）。14求方程的通解解：令，則 ，于是， 所以原方程的通解為 15求方程的通解解：取則，于是原方程為全微分方程所以原方程的通解為 即 16求方程的通解解:令 ，得到 （*） ，兩端同時關(guān)于求導(dǎo)，整理得 ，則取 ,得 ,代入（*） 得解 取 ,得,代入（*）得原方程得通解為 17

3、求方程的通解解 對應(yīng)的齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ， 故齊次方程的通解為 因為不是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為 代入原方程，得 即 ， 故原方程的通解為 18求方程的通解解：先求解對應(yīng)的其次方程：，則有，因為數(shù)不是特征根，故原方程具有形如 的特解。將上式代入原方程，由于 故 或 比較上述等式兩端的的系數(shù)，可得 因此，故所求通解為19求方程組的實基本解組解：方程組的特征多項式為 ，其特征根是，那么 屬于的特征向量， 屬于的特征向量。則方程的基本解組為，其實基本解組為。而因此所求實基本解組為四、應(yīng)用題（每小題 11 分，共11分）。20（1）求函數(shù)的拉普拉斯變換（2）求初值問題的解解：（1）（2）設(shè)，是已知初值問題的解。對已知方程兩端同時使用拉普拉斯變換，可分別得到 故有 使用部分分式法，可得 由（1）可知，故所求的初值解為 。得分評卷教師 五、證明題（每小題10分，共10分）。21 證明：對任意及滿足條件的，方程的滿足條件的解在上存在。證： 由于 在全平面上連續(xù)，所以原方程在全平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延展定理條件又顯然是方程的兩個