平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教學設(shè)計

1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教學設(shè)計盧龍縣城關(guān)中學 馮愛琴一、整體設(shè)計思路本節(jié)課從總體上講是一節(jié)概念教學課，依據(jù)新課程改革應(yīng)關(guān)注知識的發(fā)生和發(fā)展過程的理念，結(jié)合本節(jié)課知識的特點，充分利用課件輔助教學，改變相關(guān)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，增加課堂容量。并設(shè)計合理板書，加深對主要知識的印象，使學生清楚本節(jié)內(nèi)容知識間的邏輯關(guān)系，形成知識網(wǎng)絡(luò)。并采用啟發(fā)類比和探究-建構(gòu)教學相結(jié)合的教學模式。1情境設(shè)置生活化本著新課程的教學理念，考慮到高一學生的心理特點以及初、高中教學的銜接，讓學生初步了解“數(shù)學來源于生活”，采用運用學生熟悉的物理課中功的概念背景，創(chuàng)設(shè)問題情景，意在營造和諧、積極的學習氣氛，激發(fā)學生的探究欲。

2、2問題探究活動化教學中本著以學生發(fā)展為本的理念，充分給學生想的時間、說的機會以及展示思維過程的舞臺，通過他們自主學習、合作探究,展示學生解決問題的思想方法，共享學習成果，體驗數(shù)學學習成功的喜悅。通過師生之間不斷合作和交流，發(fā)展學生的數(shù)學觀察能力和語言表達能力，培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性和嚴謹性。3辨析質(zhì)疑結(jié)構(gòu)化 在理解概念的基礎(chǔ)上,及時類比辨析探索、歸納總結(jié)，強化了概念理解，促進學生主動建構(gòu)，有助于學生形成新的知識系統(tǒng)，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)。二、教學背景分析平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運算之后的又一重要運算，也是高中數(shù)學的一個重要概念，在數(shù)學、物理等學科中應(yīng)用十分廣泛。本節(jié)內(nèi)容教材共安排兩課時，其中第一課

3、時主要研究數(shù)量積的概念，第二課時主要研究數(shù)量積的坐標運算，本節(jié)課是第一課時。本節(jié)課的主要學習任務(wù)是通過物理中“功”的事例抽象出平面向量數(shù)量積的概念，在此基礎(chǔ)上探究數(shù)量積的性質(zhì)與運算律，使學生體會類比的思想方法，進一步培養(yǎng)學生的抽象概括和推理論證的能力。其中數(shù)量積的概念既是對物理背景的抽象，又是研究性質(zhì)和運算律的基礎(chǔ)。學生在學習本節(jié)內(nèi)容之前，已熟知了實數(shù)的運算體系，掌握了向量的概念及其線性運算，具備了功等物理知識，并且初步體會了研究向量運算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再從概念出發(fā)，在與實數(shù)運算類比的基礎(chǔ)上研究性質(zhì)和運算律。這為學生學習數(shù)量積做了很好的鋪墊，使學生倍

4、感親切。三、教學目標分析1知識與技能：闡明平面向量的數(shù)量積及其幾何意義。了解一個向量在另一個向量上投影的概念，運用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)、運算律進行相關(guān)的運算和判斷。2過程與方法：以物體受力做功為背景引入向量數(shù)量積的概念，從數(shù)與形兩方面引導學生對向量數(shù)量積定義進行探究，通過作圖分析，使學生明確向量的數(shù)量積與數(shù)的乘法的聯(lián)系與區(qū)別。3情感態(tài)度與價值觀：由具體的功的概念到向量的數(shù)量積，再到共線、垂直時的數(shù)量積，使學生學習從特殊到一般，再由一般到特殊的認知規(guī)律，體會數(shù)形結(jié)合思想，類比思想，體驗法則學習研究的過程，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣及良好的學習習慣。四、教學重難點分析1、重點：平面向量數(shù)量積的概念。在

5、這個概念中，既有長度又有角度，既有形又有數(shù)，是代數(shù)、幾何與三角的最佳結(jié)合點，不僅應(yīng)用廣泛，而且很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，使得數(shù)量積的概念成為本節(jié)課的核心概念，也是本節(jié)課教學的重點。2、難點：平面向量數(shù)量積的定義的理解。相對于線性運算而言，數(shù)量積的結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化，兩個有形有數(shù)的向量經(jīng)過數(shù)量積運算后，形卻消失了，學生對這一點是很難接受的；由于受實數(shù)乘法運算的影響，也會造成學生對數(shù)量積理解上的偏差，特別是對性質(zhì)和運算律的理解。因而本節(jié)課教學的難點是數(shù)量積的概念。五、教學基本流程概念引入概念獲得簡單運用算律探究理解掌握運用提高六、教學過程設(shè)計1創(chuàng)設(shè)情境，引入課題【問題】：如圖所示，如果一個

6、物體在力F的作用下，產(chǎn)生的位移為S，那么請問力F在這個運動過程中所做的功？（1）力F所做的功W= 。（2）請同學們分析公式的特點：W（功）是 量，F(xiàn)（力）是 量，S（位移）是 量，是 。（3）師生共同探討以引出向量乘以向量?！驹O(shè)計意圖】設(shè)計意圖在于使學生了解數(shù)量積的物理背景，讓學生知道，我們研究數(shù)量積絕不僅僅是為了數(shù)學自身的完善，而是有其客觀背景和現(xiàn)實意義的，從而產(chǎn)生了進一步研究這種新運算的愿望。同時，也為抽象數(shù)量積的概念做好鋪墊。2步步探索，形成概念（1）概念的明晰已知兩個非零向量與 ，它們的夾角為 ，我們把數(shù)量 ·cos 叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作： · 【問題1】

7、：向量的數(shù)量積運算與線性運算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？【問題2】：向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它何時為正？何時為負？它能等于零嗎？ 【問題3】：請同學們用一句話來概括功的數(shù)學本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積 ?！驹O(shè)計意圖】問題1，2使學生不但在形式上認識數(shù)量積的定義而且從細節(jié)上進一步理解數(shù)量積的定義 。 問題3 使學生理解了數(shù)量積的物理意義。例題訓練教材例1（由學生獨立完成）【設(shè)計意圖】通過計算鞏固對定義的理解。（2）探討數(shù)量積的幾何意義給出投影的概念并提問：【問題1】兩向量的夾角對投影的正負有什么影響？【問題2】由向量投影的定義你得到數(shù)量積的幾何意義是什么？【設(shè)計意圖】：這樣做

8、不僅讓學生從“形”的角度重新認識數(shù)量積的概念，從中體會數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，同時也更符合知識的連貫性，而且也節(jié)約了課時。同時也為數(shù)量積的性質(zhì)埋下伏筆。（3）數(shù)量積性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)教材中關(guān)于數(shù)量積的三條性質(zhì)是以探究的形式出現(xiàn)的，為了很好地完成這一探究活動，在完成上述問題后，我不失時機地提出：【問題】：比較· 與× 的大小，你有什么結(jié)論？在學生討論交流的基礎(chǔ)上，教師進一步明晰數(shù)量積的性質(zhì)，然后再由學生利用數(shù)量積的定義給予證明，完成探究活動。（4）明晰數(shù)量積的性質(zhì)【設(shè)計意圖】：體現(xiàn)了教師只是教學活動的引領(lǐng)者，而學生才是學習活動的主體，讓學生成為學習的研究者，不斷地體驗到成功的喜悅，激

9、發(fā)學生參與學習活動的熱情，不僅使學生獲得了知識，更培養(yǎng)了學生由特殊到一般的思維品質(zhì)。（5）運算律的發(fā)現(xiàn)關(guān)于運算律，教材仍然是以探究的形式出現(xiàn)，為此，首先提出下面問題【問題】：我們學過了實數(shù)乘法的哪些運算律？這些運算律對向量是否也適用？讓學生自己寫運算律，可能學生的答案有遺漏或錯誤，教師以此強調(diào)運算律學習的重要性。(6)明晰數(shù)量積的運算律(7)證明運算律學生獨立證明運算律（1）、（2）。師生共同證明運算律（3）。運算律（3）的證明對學生來說是比較困難的，為了節(jié)約課時，這個證明由師生共同完成，我想這也是教材的本意。【設(shè)計意圖】：在這個環(huán)節(jié)中，我仍然是首先為學生創(chuàng)設(shè)情景，讓學生在類比的基礎(chǔ)上進行猜想

10、歸納，然后教師明晰結(jié)論，最后再完成證明，這樣做不僅培養(yǎng)了學生推理論證的能力，同時也增強了學生類比創(chuàng)新的意識，將知識的獲得和能力的培養(yǎng)有機的結(jié)合在一起。3典例剖析，鞏固提高例2、（學生獨立完成）對任意向量，是否有以下結(jié)論：（1）(+ )2= 2+2 · +2 （2）(+)·(- )= 22例3、（師生共同完成）已知=6，=4, a與的夾角為60°，求（+2）·（-3），并思考此運算過程類似于哪種運算？例4、（師生共同完成）已知=3，=4, 且 與不共線，k為何值時，向量+k 與-k互相垂直？并思考：通過本題你有什么收獲？【設(shè)計意圖】：我根據(jù)學生實際在這里安

11、排了教材后三道例題，并對例3和例4增加了題后反思。例2先要求學生自己猜測給出的兩個公式，再由學生獨立完成證明，一方面這并不困難，另一方面培養(yǎng)了學生通過類比這一思維模式達到創(chuàng)新的目的。例3是數(shù)量積的性質(zhì)和運算律的綜合應(yīng)用，教學時，我重點從對運算原理的分析和運算過程的規(guī)范書寫兩個方面加強示范。完成計算后，進一步提出問題：此運算過程類似于哪種運算？目的是想讓學生在類比多項式乘法的基礎(chǔ)上掌握這種運算。例4的主要作用是，在繼續(xù)鞏固性質(zhì)和運算律的同時，教給學生如何利用數(shù)量積來判斷兩個向量的垂直，是平面向量數(shù)量積的基本應(yīng)用之一，教學時重點給學生分析數(shù)與形的轉(zhuǎn)化原理。4知識遷移，創(chuàng)新演練為了使學生更好的理解數(shù)

12、量積的含義，熟練掌握性質(zhì)及運算律，并能夠應(yīng)用數(shù)量積解決有關(guān)問題，再安排如下練習：（1）有四個式子： 其中正確的個數(shù)為（ ）A、4個B、3個C、2個D、1個（2）已知 、 都是單位向量，下列結(jié)論正確的是（ ）A、B、C、 D、（3）有下列四個關(guān)系式： ，其中正確的個數(shù)是（）A、1B、2C、3D、4 【設(shè)計意圖】安排練習（1）（2）（3）的主要目的是，使學生在與實數(shù)乘法比較的基礎(chǔ)上全面認識數(shù)量積這一重要運算， 通過練習（4）（5）使學生學會用數(shù)量積表示兩個向量的夾角和向量的模，進一步感受數(shù)量積的應(yīng)用價值。5課堂小結(jié)，歸納提升（1）平面向量的數(shù)量積及其幾何意義。（2）平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律

13、?！驹O(shè)計意圖】：通過上述小結(jié)，使學生對本節(jié)課的知識有了更加全面深刻的認識。6課后作業(yè)，拓展延伸（1）課本P121習題2.4A組1、2、3、6、7。（必做）（2）已知與都是非零向量，且+3與7-5垂直，-4與 7-2垂直，求與的夾角。（選做）【設(shè)計意圖】：在這個環(huán)節(jié)中，我首先考慮檢測全體學生是否都達到了“課標”的基本要求，因此安排了一組教材中的習題，目的是讓所有的學生繼續(xù)加深對數(shù)量積概念的理解和應(yīng)用，為后續(xù)學習打好基礎(chǔ)。其次，為了能讓不同的學生在數(shù)學領(lǐng)域得到不同的發(fā)展，我又安排了一道有一定難度的問題供學有余力的同學選做。七、板書設(shè)計§平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義一、數(shù)量積的概念1、數(shù)量積的定義2、投影的概念3、數(shù)量積的幾何意義： 二、數(shù)量積的性質(zhì)三、數(shù)量積的運算律八、教學反思以落實課程標準為目標，以學生知識技能的形成、數(shù)學思維的完善和情感態(tài)度的發(fā)展為出發(fā)點，用多媒體輔助教學，在教師的組織、引導、參與下，以學生的積極動腦、動口為主線來促進學生的有效學習活動。以數(shù)學來源于生活，又服務(wù)于生活的理念來設(shè)計本節(jié)課。突出新知識必須在學生自主探索，交流合作的基礎(chǔ)上讓學生自己去發(fā)現(xiàn)和歸納，讓學生充分的自主學習、