平面向量基本定理(教案)

1、2.3.1 平面向量基本定理教案【教材】 人教版數(shù)學必修4（A版）第105-106頁 【課時安排】 1個課時【教學對象】 高一學生 【授課教師】 華南師范大學 數(shù)學科學學院 陳曉妹【教材分析】1. 向量在數(shù)學中的地位向量是近代數(shù)學中重要的概念，它不僅是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，還是解決許多實際問題的重要工具，因此具有很高的教育價值。2. 本節(jié)在教學中的地位平面向量基本定理是向量進行坐標表示，并由此進一步將向量運算轉(zhuǎn)化為坐標運算的重要基礎；該“定理”以二維向量空間為依托，可以推廣到n維向量空間，是今后引出空間向量用三維坐標表示的基礎。因此本節(jié)知識在本章中起承上啟下的作用。3. 本節(jié)在教學思維方面的培

2、養(yǎng)價值平面向量基本定理蘊含了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。它是用基本要素用基本要素（基底、元）表達事物（向量空間、具有某種性質(zhì)的對象的集合），并把對事物的研究轉(zhuǎn)化為對事物基本要素研究的典型范例，這是人們認識事物的一種重要方法。 【目標分析】知識與技能1. 理解平面向量的基底的意義與作用，學會選擇恰當?shù)幕?，將簡單圖形中的任一向量表示為一組基底的線性組合；2. 了解平面向量的基本定理，初步利用定理解決問題（如相交線交成線段比的問題等）。過程與方法1. 通過平面向量基本定理，認識平面向量的“二維”性，并由此進一步體會“某一方向上的向量的一維性”，培養(yǎng)“維數(shù)”的基本觀念；2. 通過對平面向量基本定理的探究過程，讓

3、學生體會數(shù)學定理的產(chǎn)生、形成過程，體驗定理所蘊含的轉(zhuǎn)化思想。情感態(tài)度價值觀1. 培養(yǎng)學生主動探求知識、合作交流的意識，感受數(shù)學思維的全過程；2. 與物理學科之間的滲透，改善數(shù)學學習信念，提高學生學習數(shù)學的興趣?！緦W情分析】有利因素1. 學生在前面已經(jīng)掌握了向量的基本概念和基本運算（特別是向量加法平行四邊形法則和向量共線的充要條件）都為學生學習本節(jié)內(nèi)容提供了知識準備；2. 學生在物理學科的學習中已經(jīng)清楚了力的合成和力的分解，同時作圖習慣已經(jīng)養(yǎng)成，這為我們學習向量分解提供了認知準備。不利因素1. 學生對向量加減法及數(shù)乘運算的意義與作用認識不夠，可能增加向量用基底表示時的難度；2. 對于向量加減法及

4、數(shù)乘運算停留在幾何直觀的理解上，缺乏從代數(shù)運算的角度理解向量運算特征的感受，容易將平面向量基本定理的作用僅僅理解為形式上的變換。3. 如果不加啟發(fā)與引導，學生是不會從“基底”、“元”、“維數(shù)”這些角度去理解平面向量基本定理的深刻內(nèi)涵，也難以認識這個定理在今后用向量方法解決問題中的重要作用。【教學重點、難點、關(guān)鍵】重點：平面向量基本定理的理解與應用。難點：對平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程。關(guān)鍵：分層次設計探究問題并讓學生進行操作實踐?！窘虒W方法】引導探究、討論交流?！窘虒W手段】計算機、PPT、幾何畫板?！窘虒W過程設計】教學環(huán)節(jié)教 學 內(nèi) 容教師活動學生活動設 計 意 圖（一）游戲引入游戲介紹：

5、同桌兩人為一組，單號的同學在平面上任意畫兩個向量e1, e2并分別乘以一個數(shù)再相加（減）如：3e1+2e2 ,請雙號的同學做出所得的向量。師生共同回顧游戲中所利用的舊知識教師進一步拋出新的游戲題目：現(xiàn)在由雙號的同學在平面內(nèi)任意畫一個向量，同桌一起討論能否用形如+的向量表示出來？教師邊作圖邊回顧向量的加減及數(shù)乘運算，平行四邊形法則。教師提示游戲其實是物理學中力的合成和分解問題。學生動手作圖并在教師的引導下復習舊知識。讓學生通過自己動手做圖，再對向量的求和和數(shù)乘進行復習，加強學生對舊知的鞏固。通過游戲開場，引發(fā)學生學習的興趣；同時新的游戲題目，激發(fā)了學生的好奇心和求知欲，順利引入新課。、（二）分層

6、探究（三）定理形成探究一任意畫出的向量是否一定可以用“一個”已知的非零向量表示？（復習向量共線定理）探究二任意畫出的向量是否一定可以用“兩個”已知的不共線向量表示？如圖1，設e1, e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，a是這一平面內(nèi)的任一向量。e2ae1圖1請你將向量a 分解成圖中所給的兩個方向上的向量。 小組對照，比較分解成的兩個向量的方向和長度是否一致？教師提問： 學生畫完圖后，小組對照片刻，比較分解成的兩個向量的方向和長度是否一致，即觀察分解的結(jié)果是否唯一？(學生觀察并討論)探究結(jié)果分解結(jié)果一致，即該分解唯一。教師提問：既然a 可以分解成e1，e2兩個方向上的向量，那么a 是否可以用含有e

7、1，e2的式子表示出來？ (學生回答，教師板書)板書：= e1， = 1 e1 ； = e2； =2 e2； = a = + =1 e1+2 e2 追問：一對數(shù)1 ，2 是否唯一？(學生討論并回答)教師點評：分解結(jié)果的唯一，決定了兩個分解向量的唯一，由共線向量定理，有且只有一個實數(shù)1 使得=1 e1成立，同理，實數(shù)2 也唯一，即一組數(shù)1 ，2 唯一確定。探究三探究二中的向量a可否用其他兩個不共線的向量表示出來？教師在黑板上另畫出向量a和不共線的向量e3, e4，請一位同學板演出新分解。探究結(jié)果：可以選取不同一組不共線的向量表示向量a。探究四請同學們把剛剛同桌雙號同學任意畫出的向量用兩個不共線的

8、向量表示出來。探究結(jié)果：平面內(nèi)任一向量都可以分解成兩個給定方向上的向量。由分層探究的過程，教師引導學生嘗試概括定理，得到平面向量的基本定理及相關(guān)概念。學生活動（思考并討論）： （1）作為基底的這兩個向量是什么位置關(guān)系？（共線還是不共線，共線為什么不行） （2）表示平面上任一向量的基底有多少組？（無數(shù)組）（動畫演示）（3）當基底確定后向量的表示是否唯一？ （唯一）教師發(fā)出指令引導學生探索新知。啟發(fā)學生得出定理，強調(diào)定理中的重點詞句，剖析這其實是把向量代數(shù)化，為研究問題帶來極大方便。學生動手操作體會定理的探索過程。學生通過分層探究的過程歸納總結(jié)定理教師層層深入引導探索，從簡單到復雜，從特殊到一般，

9、讓學生親身經(jīng)歷定理的發(fā)生、形成過程，并體會探索問題的思路。得出平面向量基本定理的內(nèi)容，進一步強化理解。（四）定理運用（六）小結(jié)作業(yè)MABCD例 已知ABCD的兩條對角線相交于點M，設=，=，試用基底、表示、和。思考一：能否用、表示、？用怎樣的法則運算？思考二：，與哪些向量有關(guān)？學生回答，并完成題目，歸納解題方法。分析：1、不共線，所以平面內(nèi)的所有向量都可以用它們作基底來表示。2此類題目的關(guān)鍵是找所求向量與基底間的關(guān)系，常通過觀察圖形，運用向量加減法的平行四邊形法則和三角形法則來尋求。練習如圖：質(zhì)量為m的物體靜止的放在斜面上，斜面與水平面的夾角為，求斜面與物體的摩擦力知識總結(jié)：1平面向量基本定理 2基底、向量夾角、垂直的概念 3 定理的應用思想方法總結(jié)：本節(jié)課主要應用了數(shù)形結(jié)合 及轉(zhuǎn)化的思想。平時學