一、微分的概念

1、 一、微分的概念一、微分的概念5.5 5.5 微微 分分 若在有限增量公式0()()yf xx ox 中刪去高階無窮小量項(xiàng) 關(guān)于 的一個(gè)線性近y x 似式, 這就是“微分”; 其中的線性因子 即為0()fx 四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 三、高階微分三、高階微分 二、微分的運(yùn)算法二、微分的運(yùn)算法則則導(dǎo)數(shù).所以,微分和導(dǎo)數(shù)是一對相輔相成的概念.微分從本質(zhì)上講是函數(shù)增量中關(guān)于自變量增量的微分從本質(zhì)上講是函數(shù)增量中關(guān)于自變量增量的數(shù)數(shù). 如果給邊長如果給邊長 x 一個(gè)增量一個(gè)增量 , 正方形面積的增量正方形面積的增量x 的線性部分的線性部分 和和 的高階部分的高階部分( )(

2、 )2.因因x2 x xxx此此, 當(dāng)邊長當(dāng)邊長 x 增加一個(gè)微小量增加一個(gè)微小量 時(shí)時(shí), 可用可用xxS一、微分的概念一、微分的概念222()2()Sxxxxxx 由兩部分組成由兩部分組成 : 設(shè)一邊長為設(shè)一邊長為 x 的正方形的正方形, 它的面積它的面積 S = x 2 是是 x 的函的函線性部分線性部分, 請先看一個(gè)具體例子請先看一個(gè)具體例子. 的線性部分來近似的線性部分來近似. . 由此產(chǎn)生的誤差是一個(gè)關(guān)于由此產(chǎn)生的誤差是一個(gè)關(guān)于的高階無窮小量的高階無窮小量 , , 即以即以 為邊長的小為邊長的小 x2( )xx2xx xx x2x正方形正方形( (如圖如圖).).00( )()yf

3、xxf x可以表示成可以表示成( ),(1)yAxox定義定義 5 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 如果增量如果增量0( ),().yf xxU x可微可微, 并稱并稱 為為 f 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的微分處的微分, 記作記作A x0 x其中其中 A 是與是與 無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù), 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f 在點(diǎn)在點(diǎn)0 xx00d ,d ( ).(2)xxxxyAxf xAx 或或由定義由定義, 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) 處的微分與增量只相差一個(gè)處的微分與增量只相差一個(gè)0 x關(guān)于關(guān)于 的高階無窮小量的高階無窮小量, ,而而 是是 的線性函數(shù)的線性函數(shù). .xdyx(1).yAox于是于是 定理定理 1 函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微的

4、充要條件是可微的充要條件是 在在ff0 x00d ( )().xxf xfxx 點(diǎn)點(diǎn) 可導(dǎo)可導(dǎo), 且且0 x證證 (必要性必要性) 如果如果 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微可微, 據(jù)據(jù) (1) 式有式有f0 x000()limlim (1),xxyfxAoAx 更通俗地說更通俗地說, 是是 的線性近似的線性近似.ydy即即 在點(diǎn)在點(diǎn) 可導(dǎo)可導(dǎo), 且且f0 x0().fxA ( (充分性充分性) ) 設(shè)設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可導(dǎo)處可導(dǎo), ,則由則由 的有限增量的有限增量ff0 x公式公式 說明函數(shù)增量說明函數(shù)增量 可可0()( ),yfxxox y00d() .xxyfxx 且且表示為表示為 的線性部分的線性部分 ,

5、 ,與關(guān)于與關(guān)于 的的高高x 0()fxx x階無窮小量部分階無窮小量部分 之和之和. .( )ox所以所以 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微可微, ,f0 x微分概念的幾何解釋微分概念的幾何解釋, , 示于下圖示于下圖: :0 xx xyO( )yf x ydy0 xPRQQ ,yRQ 它是點(diǎn)它是點(diǎn) P 處切線相處切線相 在點(diǎn)在點(diǎn) 的增量為的增量為 f0 xd,yRQ 而微分是而微分是應(yīng)于應(yīng)于 的增量的增量.x當(dāng)當(dāng) 很小時(shí)很小時(shí), ,兩者之差兩者之差 相比于相比于|d |yyQ Q |x|x將是更小的量將是更小的量( (高階無窮小高階無窮小).).更由于更由于000dlimlim()0,xxyyQ QfxxR

6、Q 故若故若 則得到則得到 0()0,fx 0lim0.xQ QRQ 這說明當(dāng)這說明當(dāng)d( ) ,(3)yfxxxI 的高階無窮小量的高階無窮小量.QQ RQ 還是還是0,x 時(shí)時(shí)若函數(shù)若函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上每一點(diǎn)都可微上每一點(diǎn)都可微, ,則稱則稱 是是 上上fIfI它既依賴于它既依賴于 , 也與也與 有關(guān)有關(guān).xx( )f xI在上的微分記為在上的微分記為的的可微函數(shù)可微函數(shù). .d( )d ,.(4)yfxxxI (4) 式的寫法會(huì)帶來不少好處式的寫法會(huì)帶來不少好處, 首先可以把導(dǎo)數(shù)看首先可以把導(dǎo)數(shù)看 所以導(dǎo)數(shù)也稱為所以導(dǎo)數(shù)也稱為微商微商. 更多的好處將體現(xiàn)在后面更多的好處將體現(xiàn)在后面習(xí)

7、慣上喜歡把習(xí)慣上喜歡把 寫成寫成 , ,于是于是 (3) 式可改寫成式可改寫成xdxdd .yxx這相當(dāng)于這相當(dāng)于 的情形的情形, , 此時(shí)顯然有此時(shí)顯然有 yx d( ),dyfxx (5) 積分學(xué)部分中積分學(xué)部分中. 成成函數(shù)的微分與自變量的微分之商函數(shù)的微分與自變量的微分之商, , 即即d(sin )cosd ;xx x d()lnd .xxaaax 1d()d;xxx 例例12( )( )d ( )( )d ( )3. d;( )( )u xv xu xu xv xv xvx 4. d( )( )( )d,( ) .fg xfu g xxug x 其中其中由導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系由導(dǎo)數(shù)與微分

8、的關(guān)系,可方便得出微分運(yùn)算法則可方便得出微分運(yùn)算法則:1. d( ( )( )d ( )d ( );u xv xu xv x2. d( ( ) ( )( )d ( )( )d ( );u x v xv xu xu xv xd( )d,ug xx 由于由于故運(yùn)算法則故運(yùn)算法則 4 又可以寫成又可以寫成二、微分的運(yùn)算法則二、微分的運(yùn)算法則d( )d.yfuu 2222dd(lncos)d(ln)d(cos)yxxxxxx解解2222lnd()d(ln )sind()xxxxxx2(2ln12sin)d .xxxx 它在形式上與它在形式上與( (4) )式完全一樣式完全一樣, 不管不管 是自變量還是

9、自變量還u例例2 求求 的微分的微分.22lncosyxxx立立. 這個(gè)性質(zhì)稱為這個(gè)性質(zhì)稱為“一階微分形式不變性一階微分形式不變性”.是中間變量是中間變量 ( 另一個(gè)變量的可微函數(shù)另一個(gè)變量的可微函數(shù) ) , 上式都成上式都成2222d(cos)sind()2sindxxxxxx 這里在這里在的計(jì)算中的計(jì)算中, 用了一階微分形式不變性用了一階微分形式不變性.例例3 求求 的微分的微分.123e xxy解解3213ded(21)xxyxx3221(32)ed .xxxx三、高階微分三、高階微分22( )( )( )(d ) .fxxfxx或?qū)懽骰驅(qū)懽?2d( )d,yfxx 稱為稱為 f 的的二

10、階微分二階微分.d(d )d( )yfxx ( )( )d( )fxxxfxx則當(dāng)則當(dāng) f 二階可導(dǎo)時(shí)二階可導(dǎo)時(shí), dy 關(guān)于關(guān)于 x 的微分為的微分為若將一階微分若將一階微分 d( )yfxx 僅看成是僅看成是 的函數(shù)的函數(shù), , x注注 由于由于 與與 x 無關(guān)無關(guān), 因此因此 x 的二階微分的二階微分 xd( )x 2222d(d )d0,d(d ) , d()2 dxxxxxx x它與它與 三者各不相同三者各不相同, 不可混淆不可混淆.1(1)1( )dd(d)d( ) d)( )d.nnnnnnyyfxxfxx22d( )d;(6)yfxx 當(dāng)當(dāng) x 是中間變量是中間變量 ( ),(

11、 )yf xxt 時(shí)時(shí), 二階微分二階微分依次下去依次下去, 可由可由 階微分求階微分求 n 階微分階微分:1n 對對 的的 n 階微分均稱為高階微分階微分均稱為高階微分. 高階微分不高階微分不2n 具有形式不變性具有形式不變性. 當(dāng)當(dāng) x 是自變量時(shí)是自變量時(shí), 的二的二( )yf x 階微分是階微分是為為例例422( )sin,( ),d.yf xxxtty 設(shè)求設(shè)求解法一解法一2 ( ) ( ), sin,xtyf xyt 先將代入得先將代入得22( )d( )d.(7)fxxfxx. 0d2x22d( )dxtt 不一定為不一定為 0, 而當(dāng)而當(dāng) x 為自變量時(shí)為自變量時(shí),它比它比 (

12、6) 式多了一項(xiàng)式多了一項(xiàng)2( )d,fxx ( )xt 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),2dd( )d )( )d d( )d(d )yfxxfxx xfxx2222 2 cos,2cos4sin.yttyttt于是于是由由 (6) 得得解法二解法二 依依 (7) 式得式得222d( )d( )dyfxxfxx22sindcos dx xxx 2222.sin(2 d )cos2dttttt 2222(2cos4sin)d.tttt2( )dfxx 如果將如果將漏掉就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤漏掉就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤.22222d( 2cos4sin)d.ytttt四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1. 函數(shù)值的近似計(jì)

13、算函數(shù)值的近似計(jì)算000( )()() .(8)f xxf xfxx 000( )()()().(9)f xf xfxxx (9) 式的幾何意義是當(dāng)式的幾何意義是當(dāng) x 與與 x0充分接近時(shí)充分接近時(shí), 可用點(diǎn)可用點(diǎn)0()( ),yfxxox 由于由于故當(dāng)故當(dāng) 很小時(shí)很小時(shí), 有有x 由此得由此得d .yy 記記 , 即當(dāng)即當(dāng) 時(shí)，時(shí)，(8) 式可改寫為式可改寫為0 xxx0 xx 公式公式 (9) 分別用于分別用于sin x, tan x, ln(1+x), ex ( x0= 0 ), ,sinxx ,tanxx ,1lnxx .1exx 例例5 試求試求 sin 33o 的近似值的近似值

14、( 保留三位有效數(shù)字保留三位有效數(shù)字 ).解解 0sin33sin(),( )sin ,6606f xx x 取取,60 x 由公式由公式 (9) 得到得到 處的切線近似代替曲線處的切線近似代替曲線, 這種線性近這種線性近00(,()P xf x可得近似計(jì)算公式可得近似計(jì)算公式 ( 試與等價(jià)無窮小相比較試與等價(jià)無窮小相比較 ): 似的方法可以簡化一些復(fù)雜的計(jì)算問題似的方法可以簡化一些復(fù)雜的計(jì)算問題.2. 誤差的估計(jì)誤差的估計(jì)0|,xxxx sin33sin()cos ()0.545 .6660 設(shè)數(shù)設(shè)數(shù) x 是由測量得到的是由測量得到的, y 是由函數(shù)是由函數(shù) 經(jīng)過經(jīng)過( )yf x 果已知測

15、量值果已知測量值 x0 的誤差限為的誤差限為 , , 即即x 算得到的算得到的 y0= f (x0) 也是也是 y = f (x) 的一個(gè)近似值的一個(gè)近似值. 如如差差, 實(shí)際測得的值只是實(shí)際測得的值只是 x 的某個(gè)近似值的某個(gè)近似值 x0 . 由由 x0 計(jì)計(jì)計(jì)算得到計(jì)算得到. 由于測量工具精度等原因由于測量工具精度等原因, 存在測量誤存在測量誤000().(11)|()yxfxyf x 例例6 設(shè)測得一球體直徑為設(shè)測得一球體直徑為 42cm, 測量工具的精度測量工具的精度000| |( )()|()|()|.xyf xf xfxxfx 則當(dāng)則當(dāng) x 很小時(shí)很小時(shí), 量量 y0 的絕對誤差估計(jì)式為的絕對誤差估計(jì)式為:相對誤差限則