數(shù)學建模 第一章 數(shù)學模型導言

1、數(shù) 學 模 型 主講： 林 健 良第一章 數(shù)學模型導言§1.1數(shù)學與數(shù)學模型111何謂數(shù)學模型先讓我們來看一個簡單的例子.例1.1 現(xiàn)要用100×50厘米的板料裁剪出規(guī)格分別為40×40 厘米與50×20厘米的零件，前者需要25件，后者需要30件.問如何裁剪，才能最省料？解：先設計幾個裁剪方案.方案1,如圖，在100×50的板料上可裁剪出兩塊40×40的零件和一塊50×20的零件（圖中分別用A、B表示）.AAB/同樣，求出方案2ABBB/方案3BBBBBi使用原材料xi件(i=1,2,3).共用原材料f件.則根據(jù)題意，可用如

2、下數(shù)學式子表示：最優(yōu)解有四個：x11211109x21357x33210f 的最小值為16. 這是一個整數(shù)線性規(guī)劃模型.數(shù)學模型-描述實際問題數(shù)量規(guī)律的、由數(shù)學符號組成的、抽象的、簡化的數(shù)學命題、數(shù)學公式或圖表及算法. 數(shù)學建模的方法與步驟建模的步驟一般分為下列幾步.(1)模型準備.首先要了解問題的實際背景,明確題目的要求,搜集各種必要的信息.(2)模型假設.為了利用數(shù)學方法,通常要對問題作出必要的、合理的簡化,使問題的主要特征凸現(xiàn)出來,忽略問題的次要方面.(3)模型構成.根據(jù)所作的假設以及事物之間的聯(lián)系,構造各種量之間的關系把問題化為數(shù)學問題.要注意盡量采取簡單的數(shù)學工具,因為簡單的數(shù)學模型

3、往往更能反映事物的本質,而且也容易使更多的人掌握和使用.(4)模型求解.利用已知的數(shù)學方法來求解上一步所得到的數(shù)學問題.這時往往還要作出進一步的簡化或假設.(5)模型分析.對所得到的解答進行分析,特別要注意當數(shù)據(jù)變化時所得結果是否穩(wěn)定.(6)模型檢驗.分析所得結果的實際意義,與實際情況進行比較,看是否符合實際,如果結果不夠理想,應該修改、補充假設或重新建模,有些模型需要經(jīng)過幾次反復,不斷完善.(7)模型應用.所建立的模型必須在實際中應用才能產(chǎn)生效益,在應用中不斷改進和完善.各步驟之間的關系可用圖1.1.1表示.模型準備模型假設模型構成模型應用模型求解模型檢驗模型分析圖1.1.1§1.

4、2數(shù)學模型的分類在實際應用中，數(shù)學模型可以按不同的方式分類.數(shù)學模型可以按照不同的方式分類.l 按模型的應用領域分可分為生物數(shù)學模型、醫(yī)學數(shù)學模型、地質數(shù)學模型、數(shù)量經(jīng)濟學模型、數(shù)學社會學模型等.更詳細一些,有人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型等等.l 按建立模型的數(shù)學方法分可分為幾何模型、微分方程模型、圖論模型、規(guī)劃論模型、馬氏鏈模型等等.l 按是否考慮隨機因素分可分為確定性模型和隨機性模型兩類.l 按是否考慮模型隨時間的變化分可分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型.l 按變量的取值情況分可分為離散模型和連續(xù)模型.l 按目前人們對事物發(fā)展過程的了解程度分可分為白箱模型、灰箱模型和黑箱模型. 白箱模型-主要指那些內部規(guī)律比較清楚的模型,如力學、熱學、電學以及相關的工程技術問題,這些問題大多早已化為比較成熟的數(shù)學閘題,解決這些問題大多注重數(shù)學方法的改進,優(yōu)化設計和控制等. 灰箱模型-主要指那些內部規(guī)律尚不十分清楚,在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題,如生態(tài)學、氣象學、經(jīng)濟學等領域中的模型. 黑箱模型-主要是指一些其內部規(guī)律還很少為人們所知的現(xiàn)象,如生命科學、社會科學等領域的問題,這類問題多利用統(tǒng)計方法研究.有些工程技術問題,理論上可用白箱模型研究,但由于因素眾多、關系復雜,也可簡化為黑箱模型來研究.§1.3數(shù)學