教案拋物線的幾何性質(zhì)

1、拋物線的幾何性質(zhì)教案  教學(xué)目標(biāo)1引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用對(duì)比(同橢圓、雙曲線)和類比(拋物線之間)的思想得到拋物線的幾何性質(zhì)2使學(xué)生初步掌握有關(guān)拋物線問(wèn)題的解題方法，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、周密的思考問(wèn)題的能力及抽象概括能力3通過(guò)對(duì)拋物線幾何性質(zhì)的探索，強(qiáng)化學(xué)生的注意力及新舊知識(shí)的聯(lián)系，樹(shù)立學(xué)生求真的勇氣和自信心教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)得出拋物線幾何性質(zhì)的思維過(guò)程，掌握運(yùn)用拋物線的幾何性質(zhì)去解決問(wèn)題的方法教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)提問(wèn)師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓及雙曲線的幾何性質(zhì)，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，是從哪幾個(gè)方面研究的？生：研究了范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線幾個(gè)問(wèn)題師：在研究幾何性質(zhì)時(shí)，對(duì)曲線的方程有無(wú)限制？生：是在曲線的

2、標(biāo)準(zhǔn)方程條件下研究的(說(shuō)明：課前印發(fā)如下表格，請(qǐng)同學(xué)填出橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)在課上引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比看，聯(lián)想拋物線y2=2px的幾何性質(zhì)，再“類比看”填出y2=-2px及x2=±2py的幾何性質(zhì)) 橢圓雙曲線拋物線  標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)=1(a>0，b>0)=1(a>0，b>0)y2=2px(p>0)  圖象         范圍     對(duì)稱性 

3、    頂點(diǎn)     離心率     漸近線      二、類比橢圓、雙曲線得出拋物線的幾何性質(zhì)師：請(qǐng)同學(xué)們拿出課前發(fā)的表，你是怎樣與橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)相比較而得出拋物線的幾何性質(zhì)？(說(shuō)明：同學(xué)們討論)師：對(duì)于方程y2=2px所示拋物線的范圍，你是如何得出的？生：由p0可知，x的取值范圍是x0，所以拋物線在y軸的右側(cè)師：當(dāng)x的值增大時(shí)，圖象是如何變化的？生：當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸師：由方程y

4、2=2px，觀察所表示的圖象是對(duì)稱圖形嗎？為什么？生：當(dāng)以-y代y，方程y2=2px值不變，所以此拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，即拋物線y2=2px的對(duì)稱軸是x軸師：什么叫曲線的頂點(diǎn)？生：曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)叫曲線的頂點(diǎn)師：拋物線y2=2px的頂點(diǎn)在什么位置？為什么？生：在方程y2=2px中，當(dāng)x=0時(shí)，y=0，所以頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)師：(強(qiáng)調(diào))在一個(gè)特殊位置師：拋物線y2=2px的離心率如何得到？生：由拋物線定義可知，離心率e=1師：與橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)相比較，拋物線的幾何性質(zhì)又有何區(qū)別(說(shuō)明：讓學(xué)生觀察圖象，總結(jié)特征)師：從拋物線位置上看生：拋物線的圖象只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)師：有無(wú)漸近線？生：盡管拋物

5、線也可以無(wú)限延伸，但沒(méi)有漸近線生：(發(fā)現(xiàn))拋物線只有一條對(duì)稱軸，這條對(duì)稱軸垂直于拋物線的準(zhǔn)線又有學(xué)生指出，這條對(duì)稱軸同頂點(diǎn)和焦點(diǎn)的連線重合師：很好！兩種說(shuō)法同樣正確，只是從不同的角度觀察問(wèn)題得到的，結(jié)論是一致的(鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)觀察)生：拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，它是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的中點(diǎn)生：拋物線無(wú)中心師：小結(jié)同學(xué)們討論得很好，拋物線的其它標(biāo)準(zhǔn)方程y2=-2px，x2=2py，x2=-2py也有類似的結(jié)論，它們的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，一次項(xiàng)的變量如為x(或y)，則x軸(或y軸)是拋物線的對(duì)稱軸，一次項(xiàng)的系數(shù)的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向，正號(hào)決定開(kāi)口方向和對(duì)稱軸所在坐標(biāo)軸的方向相同，負(fù)號(hào)決定開(kāi)口方向和對(duì)稱軸所在

6、坐標(biāo)軸方向相反(說(shuō)明：請(qǐng)同學(xué)們完成填表)師：在拋物線方程中，參數(shù)p對(duì)圖象有何影響？我們不妨看拋物線(計(jì)算機(jī)演示描點(diǎn)法作出以上3個(gè)圖象)(如圖2-53)學(xué)生可直觀看到p值越大，拋物線開(kāi)口也越大理由，對(duì)于同一個(gè)x值，它們對(duì)應(yīng)的y值不同，p值大，|y|也大三、應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)，進(jìn)一步探尋其特征例1  用計(jì)算機(jī)打出(或投影儀打出)拋物線y2=2px的圖象，且有一條過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦(如圖2-54)生：這條弦很特殊師：拋物線中過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦，叫拋物線的通徑能否知道它的長(zhǎng)度？生：(很快發(fā)現(xiàn))這條通徑的長(zhǎng)為2p師：(追問(wèn))你是怎樣得到的？生：分別過(guò)點(diǎn)A、B作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別

7、為D、C(可由計(jì)算機(jī)演示出，或在投影片中畫(huà)出)由拋物線定義知|AF|=|AD|=p，|BF|=|BC|=p，所以|AB|AF|+|BF|2p另有學(xué)生用不同方法：因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在拋物線上，又|AB|=|y1-y2|2p師：小結(jié)兩種不同的方法，方法一用拋物線定義得出，較簡(jiǎn)捷方法二由解析法得出，這種解題思想很好師：引導(dǎo)學(xué)生觀察，由方法一在圖中看到，得到矩形ABCD(如圖2-55)生：(反應(yīng)出)這個(gè)矩形是由兩個(gè)正方形AFED、BFEC組成的師：(表?yè)P(yáng)學(xué)生善于觀察問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，繼而再將問(wèn)題引申)連結(jié)DF、CF后，DFC=？師：很好(鼓勵(lì)學(xué)生大膽探索，再將問(wèn)題引申計(jì)算機(jī)演示圖形變化，AB過(guò)點(diǎn)F但與x軸斜

8、交，引出例2)例2  過(guò)焦點(diǎn)的弦AB不垂直于對(duì)稱軸，此時(shí)可得到什么圖形？DFC=？生：分別過(guò)點(diǎn)A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為D、C，得到直角梯形ABCD(如圖2-56)(學(xué)生討論)由拋物線定義可知：|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，所以1=2，3=4，又知ADEF，BCEF，所以2=5，6=4，所以1=5，3=6，所以2(5+6)=180°，所以5+6=90°，即DFC90°師：小結(jié)：若AB為拋物線y2=2px的一條過(guò)焦點(diǎn)F的弦，A，B在此時(shí)，學(xué)生對(duì)拋物線的問(wèn)題很感興趣，激發(fā)起學(xué)生探索的欲望教師借題發(fā)揮，繼續(xù)引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題師：同學(xué)們?cè)傧胍幌肜?

9、60; 當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)弦與對(duì)稱軸垂直時(shí)，它的長(zhǎng)度為2p當(dāng)它與對(duì)稱軸不垂直時(shí)，它與對(duì)稱軸的夾角為，此時(shí)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)如何？(計(jì)算機(jī)演示圖形，如圖2-57)師生討論用解析法利用弦長(zhǎng)公式求設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0)，則焦點(diǎn)弦所在直線方程為：設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的弦與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則(2p為拋物線y2=2px(p0)的通徑長(zhǎng))師：由此得到結(jié)論若拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦與對(duì)稱軸的夾角為，通為_(kāi)練習(xí)2拋物線y2=12x中，一條焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)為16，則此焦點(diǎn)弦所在直線的傾角為_(kāi)說(shuō)明將此結(jié)果作為經(jīng)驗(yàn)型結(jié)論可直接用于填選題，加快解題速度，但作為證明題時(shí)不可直接用此結(jié)論師：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)觀察下題例4&

10、#160; 拋物線y2=2px(p0)上任意一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|=？師：與橢圓、雙曲線相對(duì)照，這實(shí)質(zhì)是拋物線的焦半徑公式例5  過(guò)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的弦與拋物線交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2=？設(shè)過(guò)F的直線為AB(注意此時(shí)應(yīng)分類討論)(1)當(dāng)弦AB斜率k存在ky2-2py-kp2=0方程的兩根y1，y2分別為A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1·y2=-p2(2)當(dāng)弦AB斜率不存在時(shí)，ABy軸由拋物線定義知，y1=-y2=p，所以y1·y2=-p2綜上可知：y1·y2=-p2此題有學(xué)生想出

11、了另外的方法由A、F、B三點(diǎn)共線知因?yàn)閥1y2，所以y1·y2=-p2師：我們不僅要知道問(wèn)題的結(jié)論，更要體會(huì)得到結(jié)論的過(guò)程所用的方法(說(shuō)明此時(shí)課堂氣氛活躍，教師繼續(xù)激發(fā)學(xué)生的興趣，表?yè)P(yáng)學(xué)生有積極探索問(wèn)題的勇氣)例6  以拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)弦為直徑的圓與它的準(zhǔn)線有何關(guān)系？(學(xué)生一時(shí)看不出來(lái))師：(引導(dǎo))探索問(wèn)題的思路往往從特殊到一般，此問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是直線與圓的位置關(guān)系特殊情況應(yīng)是相切生：(立即受到啟發(fā))猜想以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與它的準(zhǔn)線相切師：如何證相切？生：只要證出AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線l的距離等于AB長(zhǎng)的一半(請(qǐng)學(xué)生證明)取AB的中點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MMl于M，分別過(guò)點(diǎn)A

12、、B作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A，B，則M為AB中點(diǎn)，(如圖2-58)所以，以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與它的準(zhǔn)線相切另有學(xué)生有不同的證法設(shè)A、B及AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)分別為x1和x2，xm，由拋物線定義知|AB|=|AF|+|BF|=|AA|+|BB|=|x1+x2+p|(教師表?yè)P(yáng)學(xué)生積極思考問(wèn)題，善于以不同角度去分析問(wèn)題解決問(wèn)題)師：拋物線問(wèn)題有它的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值例7  探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，燈口直徑是60cm，燈深40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)的位置師：在什么條件下，可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程生：適當(dāng)建立平面直角坐標(biāo)系師生討論，在縱斷面內(nèi)，以反射鏡的頂點(diǎn)(即拋物線的頂點(diǎn))為坐標(biāo)

13、原點(diǎn)，過(guò)頂點(diǎn)垂直于燈口直徑的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系(計(jì)算機(jī)演示建立坐標(biāo)系的過(guò)程，如圖2-59)師：在直角坐標(biāo)系中，已知條件中燈口直徑是60cm，燈深40cm，表示什么位置？生：如圖2-59，(AB為燈口的直徑)，按照燈反射鏡的燈口直徑在圖中是垂直于對(duì)稱軸的弦AB，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為(40，30)師：由已知條件及在建立的坐標(biāo)系下，如何求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？生：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=2px(p0)只須求出p，而由點(diǎn)A(40，30)在拋物線上這一條件，很容易求出p師：分析得很好(與學(xué)生一起完整寫(xiě)出解題過(guò)程)解  在縱斷面內(nèi)，以反射鏡的頂點(diǎn)(即拋物線的頂點(diǎn))為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)頂點(diǎn)垂直于燈口

14、直徑的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖2-60(計(jì)算機(jī)演示)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=2px(p0)，因?yàn)?，點(diǎn)A(40，30)在拋物線上，師：小結(jié)由已知條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先要建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)所具備的條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，求出方程中的參數(shù)p四、小結(jié)(師生共同完成)1類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，得出了拋物線的幾何性質(zhì)(回顧所填的表)2探索了拋物線的其它特性，在探尋的過(guò)程中運(yùn)用了拋物線的定義及幾何性質(zhì)3在解題過(guò)程中，特別注意合理運(yùn)用分類討論，化歸的數(shù)學(xué)思想五、布置作業(yè)第98頁(yè)練習(xí)及習(xí)題八設(shè)計(jì)說(shuō)明(一)本節(jié)課依據(jù)高中數(shù)學(xué)大綱培養(yǎng)學(xué)生的能力二次曲線是平面解析幾何的主要

15、研究對(duì)象，在教學(xué)時(shí)，注意挖掘它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，不要孤立地和靜止地看待拋物線因此在研究拋物線的幾何性質(zhì)時(shí)采用對(duì)比的方法進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)照橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，去探求拋物線的幾何性質(zhì)，在進(jìn)行對(duì)比時(shí)，要注意橫向和縱向兩種對(duì)比，也就是既要注意每種曲線內(nèi)部的對(duì)比，同時(shí)也要注意幾種曲線之間的對(duì)比(二)在課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生積極探索問(wèn)題本節(jié)課引導(dǎo)與組織學(xué)生，研究拋物線的幾何性質(zhì)，而拋物線幾何性質(zhì)的研究項(xiàng)目、方法和結(jié)果同橢圓、雙曲線很類似學(xué)生很自然地用類比的方法填充給出的表，不僅可以使3種圓錐曲線的性質(zhì)得到對(duì)比，而且可以提高學(xué)生對(duì)新知識(shí)的探索能力在授課方式上，教師精心設(shè)計(jì)提問(wèn)，以便引導(dǎo)學(xué)生去探索，去創(chuàng)新富有藝術(shù)性的提問(wèn)，能啟迪學(xué)生思維，發(fā)展學(xué)生智力和培養(yǎng)學(xué)生能力而問(wèn)題的設(shè)置要從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，能被學(xué)生所接受，又要富有啟發(fā)性，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)