第三章靜態(tài)場及其邊值問題的解

1、電磁場與電磁波電磁場與電磁波電磁場與電磁波電磁場與電磁波本章內(nèi)容本章內(nèi)容 3.1 靜電場分析靜電場分析 3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析 3.3 恒定磁場分析恒定磁場分析 3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法鏡像法 3.6 分離變量法分離變量法 靜態(tài)電磁場：靜態(tài)電磁場：場量不隨時(shí)間變化，包括：場量不隨時(shí)間變化，包括： 靜電場、恒定電場和恒定磁場靜電場、恒定電場和恒定磁場 時(shí)變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場時(shí)變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場 靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立靜態(tài)

2、情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立 電磁場與電磁波電磁場與電磁波3.1 靜電場分析靜電場分析 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù) 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 3.1.5 靜電力靜電力電磁場與電磁波電磁場與電磁波2. 邊界條件邊界條件0ED微分形式：微分形式：ED本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：1. 基本方程基本方程0)()(21n21nEEDDeeS0ddlESDCSq積分形式：積分形式：0)(0)(21n21nEEDDee02t1tn2n1EED

3、DS或或2t1tn2n1EEDD或或3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件若分界面上不存在面電荷，即若分界面上不存在面電荷，即 ，則，則0S電磁場與電磁波電磁場與電磁波介質(zhì)介質(zhì)2 2介質(zhì)介質(zhì)1 121212E1Ene212n21n12n2t1n1t21/tantanDDEEEE 在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場為在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場為0，則導(dǎo)體表面的，則導(dǎo)體表面的邊界條件為邊界條件為 0nnEDeeS0tnEDS或或 場矢量的折射關(guān)系場矢量的折射關(guān)系 導(dǎo)體表面的邊界條件導(dǎo)體表面的邊界條件電磁場與電磁波電磁場與電磁波0E由由即即靜電場可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的

4、梯度來表示，靜電場可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù) 稱為靜稱為靜電場的標(biāo)量電位或簡稱電位。電場的標(biāo)量電位或簡稱電位。1. 電位函數(shù)的定義電位函數(shù)的定義E3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù)電磁場與電磁波電磁場與電磁波2. 電位的表達(dá)式電位的表達(dá)式對于連續(xù)的體分布電荷，由對于連續(xù)的體分布電荷，由同理得，面電荷的電位：同理得，面電荷的電位： 1()( )d4VrrVCR故得故得點(diǎn)電荷的電位：點(diǎn)電荷的電位：( )4qrCR()1( )d4lCrrlCRd)1)(41d)1()(41d)(41)(3VRrVRrVRRrrEVVV3)1(RRR線電荷的電位：線電荷的電位：rrRCSRrrSSd)

5、(41)(3電磁場與電磁波電磁場與電磁波3. 電位差電位差兩端點(diǎn)乘兩端點(diǎn)乘 ，則有，則有l(wèi)dE將將d)ddd(ddyyyyxxllE上式兩邊從點(diǎn)上式兩邊從點(diǎn)P到點(diǎn)到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得沿任意路徑進(jìn)行積分，得關(guān)于電位差的說明關(guān)于電位差的說明 P、Q 兩點(diǎn)間的電位差等于電場力將單位正電荷從兩點(diǎn)間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點(diǎn)移至點(diǎn)移至Q 點(diǎn)點(diǎn) 所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。 電位差也稱為電壓，可用電位差也稱為電壓，可用U 表示。表示。 電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。電位差有確定值，只與首尾

6、兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。)()(ddQPlEQPQPP、Q 兩點(diǎn)間的電位差兩點(diǎn)間的電位差電場力做電場力做的功的功電磁場與電磁波電磁場與電磁波 靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即)(CC選參考點(diǎn)選參考點(diǎn)令參考點(diǎn)電位為零令參考點(diǎn)電位為零電位確定值電位確定值( (電位差電位差) )兩點(diǎn)間電位差有定值兩點(diǎn)間電位差有定值 選擇電位參考點(diǎn)的原則選擇電位參考點(diǎn)的原則 應(yīng)使電位表達(dá)式有意義。應(yīng)使電位表達(dá)式有意義。 應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無 限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)。限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)。 同一個(gè)問題只能

7、有一個(gè)參考點(diǎn)。同一個(gè)問題只能有一個(gè)參考點(diǎn)。4. 電位參考點(diǎn)電位參考點(diǎn) 為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例例 3.1.1 求電偶極子的電位、電場強(qiáng)度。求電偶極子的電位、電場強(qiáng)度。 解解 在球坐標(biāo)系中在球坐標(biāo)系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(cos)2/(222221rd

8、drrrddrrcos22drr用二項(xiàng)式展開，由于，得用二項(xiàng)式展開，由于，得dr ,cos21drr302020444cos)(rrrrqdrrpep代入上式，得代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。dqp+q電偶極子電偶極子zodq1r2rr),(rP電磁場與電磁波電磁場與電磁波 由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度)sincos2(430eerrq)sin11()(rerererErcos2Cr Crp204cos等位線等位線電場線電場線電偶極子的場圖電偶極子的場圖等位線

9、方程等位線方程：電磁場與電磁波電磁場與電磁波 解解 選定均勻電場空間中的一點(diǎn)選定均勻電場空間中的一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn)P 的的位置矢量為位置矢量為r ，則，則000( )( )ddPPoOPOElErEr 若選擇點(diǎn)若選擇點(diǎn)O為電位參考點(diǎn)，即為電位參考點(diǎn)，即 ，則，則( )0O0( )PEr 000( )coszPErer EE r 在球坐標(biāo)系中，取極軸與在球坐標(biāo)系中，取極軸與 的方向的方向一致，即一致，即 ，則有，則有00zEe E0E000( )()cosxzPEreE ee zE zree z 在圓柱坐標(biāo)系中，取在圓柱坐標(biāo)系中，取 與與x 軸方向一致，即軸方向一致，

10、即 ，而，而 ，故，故 00 xEe E0E0ExzOPr 例例3.1.2 求均勻電場的電位分布。求均勻電場的電位分布。電磁場與電磁波電磁場與電磁波xyzL-L( , , ) z zddlzRz 解解 采用圓柱坐標(biāo)系，令線電荷與采用圓柱坐標(biāo)系，令線電荷與 z 軸相重合，中點(diǎn)位于坐軸相重合，中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)。由于軸對稱性，電位與標(biāo)原點(diǎn)。由于軸對稱性，電位與 無關(guān)。無關(guān)。在帶電線上位于在帶電線上位于 處的線元處的線元 ，它，它到點(diǎn)到點(diǎn) 的距離的距離 ，則則22()Rzzddlz( , , )Pz 02201()d4()LlLrzzz2200ln() 4LlLzzzz 220220()()ln4()

11、()lzLzLzLzL 例例3.1.3 求長度為求長度為2L、電荷線密度為、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。的均勻帶電線的電位。0l電磁場與電磁波電磁場與電磁波2222000220002( )lnlnln422lllLLLLLrLL 在上式中若令在上式中若令 ，則可得到無限長直線電荷的電位。當(dāng)，則可得到無限長直線電荷的電位。當(dāng) 時(shí)，上式可寫為時(shí)，上式可寫為 LRL 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，上式變?yōu)闊o窮大，這是因?yàn)殡姾刹皇欠植荚谟邢迏^(qū)時(shí)，上式變?yōu)闊o窮大，這是因?yàn)殡姾刹皇欠植荚谟邢迏^(qū)域內(nèi)，而將電位參考點(diǎn)選在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)之故。這時(shí)可在上式中加上域內(nèi)，而將電位參考點(diǎn)選在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)之故。這時(shí)可在上式中加上一個(gè)任意常數(shù)，則

12、有一個(gè)任意常數(shù)，則有L 002( )ln2lLrC并選擇有限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)。例如，選擇并選擇有限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)。例如，選擇= a 的點(diǎn)為電位參的點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，則有考點(diǎn)，則有002ln2lLCa 00( )ln2lar電磁場與電磁波電磁場與電磁波在均勻介質(zhì)中，有在均勻介質(zhì)中，有5. 電位的微分方程電位的微分方程在無源區(qū)域，在無源區(qū)域，0EED202標(biāo)量泊松方程標(biāo)量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程電磁場與電磁波電磁場與電磁波6. 靜電位的邊界條件靜電位的邊界條件 設(shè)設(shè)P1和和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為別為1和和2。當(dāng)兩點(diǎn)間

13、距離當(dāng)兩點(diǎn)間距離l0時(shí)時(shí) 導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：0dlim21021PPlElSe)(21nDDD由由 和和12媒質(zhì)媒質(zhì)2媒質(zhì)媒質(zhì)121l2P1P 若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即0Snn1122常數(shù)，常數(shù)，SnSnn112221電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例例3.1.4 兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于 x = 0 和和 x = a 處，處，在兩板之間的在兩板之間的 x = b 處有一面密度為處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場。示。求兩導(dǎo)體平板之間的電

14、位和電場。0S 解解 在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除 x = b 處有均勻面電處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程斯方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程的解為方程的解為obaxy兩塊無限大平行板兩塊無限大平行板0S1( )x2( ) x電磁場與電磁波電磁場與電磁波0110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxxba

15、bxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea1221122021000SDC aDC bDC bDCC 利用邊界條件，有利用邊界條件，有xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx 處，處，最后得最后得0 x 處，處，1(0)0 x a2( )0a 處，處，所以所以0220( )( )SxbE xxea由此解得由此解得電磁場與電磁波電磁場與電磁波電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中：電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中： 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 在電子電路中，利用電容器來實(shí)現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁在電子電路中，利用電容器來實(shí)現(xiàn)濾波

16、、移相、隔直、旁 路、選頻等作用。路、選頻等作用。 通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜 電路。電路。 在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率。減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率。電磁場與電磁波電磁場與電磁波 電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng)電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng) 儲存電荷儲存電荷能力的物理量。能力的物理量。 孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量q與其電位與其電位 的比值，即的

17、比值，即qC 1. 電容電容 孤立導(dǎo)體的電容孤立導(dǎo)體的電容 兩個(gè)帶等量異號電荷（兩個(gè)帶等量異號電荷（ q）的的 導(dǎo)體組成的電容器，其電容為導(dǎo)體組成的電容器，其電容為12qqCU 電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì)電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì) 的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。E02U1qq電磁場與電磁波電磁場與電磁波 (1) 假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q 和和q ； 計(jì)算電容的方法一計(jì)算電容的方法一：UqC (4) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。21dlEU

18、(3) 由由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；，求出兩導(dǎo)體間的電位差； (2) 計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度E； 計(jì)算電容的方法二計(jì)算電容的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為假定兩電極間的電位差為U ； (4) 由由 得到得到 ;nESS (2) 計(jì)算兩電極間的電位分布計(jì)算兩電極間的電位分布 ；E (3) 由由 得到得到E ; SSSqd (5) 由由 ，求出導(dǎo)體的電荷，求出導(dǎo)體的電荷q ；UqC (6) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。電磁場與電磁波電磁場與電磁波 解解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為電荷為q ，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間，則由高斯定理可求得內(nèi)外

19、導(dǎo)體間的電場的電場44rr22qqDe,Eerr0011d()44baqqbaUE rabab同心導(dǎo)體間的電壓同心導(dǎo)體間的電壓04abqCUba球形電容器的電容球形電容器的電容04Ca當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，b 例例3.1.4 同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a 、外導(dǎo)體半徑為、外導(dǎo)體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為其間填充介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。求此球形電容器的電容。孤立導(dǎo)體球的電容孤立導(dǎo)體球的電容abo電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例例 3.1.5 如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為a ，兩導(dǎo)線，兩導(dǎo)線的軸線距

20、離為的軸線距離為D ，且，且D a ，求傳輸線單位長度的電容。，求傳輸線單位長度的電容。l 解解 設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為 和和 。由于。由于 ，故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P 的電場強(qiáng)度為的電場強(qiáng)度為lDa011( )()2lxE xexDx兩導(dǎo)線間的電位差兩導(dǎo)線間的電位差210011d()dln2DallaDaUElxxDxa故單位長度的電容為故單位長度的電容為001(F/m)ln()

21、ln()lCUDaaD axyzxDa電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例例3.1.6 同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a ，外導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體半徑為b ，內(nèi)外導(dǎo)體，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。求同軸線單位長度的電容。( )2lEe內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差1( )dd2bblaaUEell 解解 設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為 和和 ，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為故得同軸線單位長度的電容為故得同軸線單位

22、長度的電容為12(F/m)ln( / )lCUb aab同軸線同軸線ln( / )2lb a電磁場與電磁波電磁場與電磁波 2. 部份電容部份電容在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，任何兩個(gè)導(dǎo)體間的電壓都要受到其余導(dǎo)體在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，任何兩個(gè)導(dǎo)體間的電壓都要受到其余導(dǎo)體 上的電荷的影響。因此，研究多導(dǎo)體系統(tǒng)時(shí)，必須把電容上的電荷的影響。因此，研究多導(dǎo)體系統(tǒng)時(shí)，必須把電容的的 概念加以推廣，引入部分電容的概念。概念加以推廣，引入部分電容的概念。 在由在由N個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中，由于電位與各導(dǎo)體所帶的電荷個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中，由于電位與各導(dǎo)體所帶的電荷之間成線性關(guān)系，所以，各導(dǎo)體的電位為之間成線性關(guān)系，所以，各導(dǎo)體的電位為

23、1(1, 2 ,)Nii jjjqiN式中：式中：(1 , 2 ,)iiiN 自電位系數(shù)自電位系數(shù)()i jij 互電位系數(shù)互電位系數(shù)（1） 電位系數(shù)電位系數(shù)電磁場與電磁波電磁場與電磁波 i j 在數(shù)值上等于第在數(shù)值上等于第i 個(gè)導(dǎo)體上的總電量為一個(gè)單位、而其余個(gè)導(dǎo)體上的總電量為一個(gè)單位、而其余 導(dǎo)體上的總電量都為零時(shí)，第導(dǎo)體上的總電量都為零時(shí)，第 j 個(gè)導(dǎo)體上的電位，即個(gè)導(dǎo)體上的電位，即i j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；具有對稱性，即具有

24、對稱性，即i j = j i 。1110( ,1 , 2 ,)jjNii jjqqqqi jNqi j 0 ； 電位系數(shù)的特點(diǎn)電位系數(shù)的特點(diǎn)：電磁場與電磁波電磁場與電磁波若已知各導(dǎo)體的電位，則各導(dǎo)體的電量可表示為若已知各導(dǎo)體的電位，則各導(dǎo)體的電量可表示為 1(1, 2 ,)Nii jjjqiN 式中：式中：(1 , 2 ,)iiiN 自電容系數(shù)或自感應(yīng)系數(shù)自電容系數(shù)或自感應(yīng)系數(shù) ()i jij 互電容系數(shù)或互感應(yīng)系數(shù)互電容系數(shù)或互感應(yīng)系數(shù) （2） 電容系數(shù)電容系數(shù)電磁場與電磁波電磁場與電磁波 i j 在數(shù)值上等于第在數(shù)值上等于第 j個(gè)導(dǎo)體上的個(gè)導(dǎo)體上的電位為一個(gè)單位、而其余導(dǎo)電位為一個(gè)單位、而

25、其余導(dǎo) 體接地時(shí)，體接地時(shí)，第第 i 個(gè)導(dǎo)體上的電量，即個(gè)導(dǎo)體上的電量，即 i j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；具有對稱性，即具有對稱性，即i j = j i 。1110( ,1 , 2 ,)jjNiijjqi jNi i 0 、 ；0()ijij 電容系數(shù)的特點(diǎn)：電容系數(shù)的特點(diǎn)：電磁場與電磁波電磁場與電磁波將各導(dǎo)體的電量表示為將各導(dǎo)體的電量表示為 式中：式中：（3） 部分電容部分電容(1, 2 ,)iN()Nijiji iij iCC111

26、()()NNNNii jjijjijiijiijijijijjj ijq 導(dǎo)體導(dǎo)體 i 與導(dǎo)體與導(dǎo)體 j 之間的部分電容之間的部分電容()ijijCij 導(dǎo)體導(dǎo)體 i 與地之間的部分電容與地之間的部分電容 NjjiiiC1電磁場與電磁波電磁場與電磁波 Ci i 在數(shù)值上等于全部導(dǎo)體的電位都為一個(gè)單位時(shí)，在數(shù)值上等于全部導(dǎo)體的電位都為一個(gè)單位時(shí)，第第 i 個(gè)導(dǎo)個(gè)導(dǎo) 體上的電量；體上的電量； Ci j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；具有對稱性，即具

27、有對稱性，即Ci j = Cj i 。Ci j 0 ； Ci j 在數(shù)值上等于第在數(shù)值上等于第 j 個(gè)導(dǎo)體的電位為一個(gè)單位、其余個(gè)導(dǎo)體的電位為一個(gè)單位、其余 導(dǎo)體都接地時(shí)，導(dǎo)體都接地時(shí)，第第 i 個(gè)導(dǎo)體上的電量；個(gè)導(dǎo)體上的電量；()ij 部分電容的特點(diǎn)部分電容的特點(diǎn)：電磁場與電磁波電磁場與電磁波 在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，把其中任意兩在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，把其中任意兩個(gè)導(dǎo)體作為電容器的兩個(gè)電極，設(shè)在個(gè)導(dǎo)體作為電容器的兩個(gè)電極，設(shè)在這兩個(gè)電極間加上電壓這兩個(gè)電極間加上電壓U，極板上所，極板上所帶電荷分別為帶電荷分別為 ，則比值，則比值 稱為稱為這兩個(gè)導(dǎo)體間的等效電容。這兩個(gè)導(dǎo)體間的等效電容。q/q U（4）等效

28、電容等效電容如圖所示，有三個(gè)部分電容如圖所示，有三個(gè)部分電容112212CCC、導(dǎo)線導(dǎo)線 1 和和 2 間的等效電容為間的等效電容為11221121122C CCCCC導(dǎo)線導(dǎo)線 1 和大地間的等效電容為和大地間的等效電容為12222111222C CCCCC導(dǎo)線導(dǎo)線 2 和大地間的等效電容為和大地間的等效電容為12113221211C CCCCC1 12 212C22C11C大地大地大地上空的平行雙導(dǎo)線大地上空的平行雙導(dǎo)線電磁場與電磁波電磁場與電磁波 如果充電過程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過如果充電過程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能

29、量，或者說電場能程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所做的總功。量就等于外加電源在此電場建立過程中所做的總功。靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量。能量。 任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個(gè)最終任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個(gè)最終電荷分布的建立電荷分布的建立(或充電或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服過程。在此過程中，外加電源必須

30、克服電荷之間的相互作用力而做功。電荷之間的相互作用力而做功。3.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 電磁場與電磁波電磁場與電磁波1. 靜電場的能量靜電場的能量 設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為 q 、電位為、電位為 。 充電過程中某一時(shí)刻的電荷量為充電過程中某一時(shí)刻的電荷量為q 、電位為、電位為 。(01) 當(dāng)當(dāng)增加為增加為(+ d)時(shí)，外電源做功為時(shí)，外電源做功為: (q d)。 對對從從0 到到 1 積分，即得到外電源所做的總功為積分，即得到外電源所做的總功為101d2qq 根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為 q 的帶電體具有

31、的電的帶電體具有的電場能量場能量We ，即，即 對于電荷體密度為對于電荷體密度為的體分布電荷，體積元的體分布電荷，體積元dV中的電荷中的電荷dV具具有的電場能量為有的電場能量為qW21eVWd21de電磁場與電磁波電磁場與電磁波故體分布電荷的電場能量為故體分布電荷的電場能量為對于面分布電荷，對于面分布電荷，電場能量為電場能量為對于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有對于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有iq 第第i 個(gè)導(dǎo)體所帶的電荷個(gè)導(dǎo)體所帶的電荷i 第第i 個(gè)導(dǎo)體的電位個(gè)導(dǎo)體的電位式中：式中： iiiiSSiiSiSqSSWiiii21d21d21eVVWd21eSSSWd21e電磁場與電磁波電磁場與電磁波2

32、. 電場能量密度電場能量密度 從場的觀點(diǎn)來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個(gè)空間。從場的觀點(diǎn)來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個(gè)空間。EDw21e電場能量密度：電場能量密度：e1d2VWD E V電場的總能量：電場的總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶龇e分區(qū)域?yàn)殡妶鏊诘恼麄€(gè)空間所在的整個(gè)空間2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 對于線性、各向同性介質(zhì)，則有對于線性、各向同性介質(zhì)，則有2e111222wD EE EE 電磁場與電磁波電磁場與電磁波由于體積由于體積V 外的電荷密度外的電荷密度0，若將上，若將上式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)場空間，結(jié)式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)場空間，結(jié)果仍然成立。

33、只要電荷分布在有限區(qū)域果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面內(nèi)，當(dāng)閉合面S 無限擴(kuò)大時(shí)，則有無限擴(kuò)大時(shí)，則有211 O( O()DRR)、故故 推證推證：()DDD E D R0Se11dd22VVWVDV1()d2VDDVSVSDVDdd )(VDESDVSd21d210)1O()d11O(d2RSRRSDSS電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例例3.1.7 半徑為半徑為a 的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的電的電荷，試求靜電場能量。荷，試求靜電場能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera

34、 解解： 方法一方法一，利用利用 計(jì)算計(jì)算 VVEDWd21e 根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVd21d21d2121220210e電磁場與電磁波電磁場與電磁波)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二方法二：利用利用 計(jì)算計(jì)算 VVWd21e 先求出電位分布先求出電位分布 故故5202022021e154d4)3(221d21arrraVWaV電磁場與電磁波電磁場與電磁波 已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計(jì)算帶電已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計(jì)

35、算帶電體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計(jì)算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來侖定律計(jì)算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來計(jì)算靜電力。計(jì)算靜電力。 虛位移法虛位移法：假設(shè)第假設(shè)第i 個(gè)帶電個(gè)帶電導(dǎo)體在電場力導(dǎo)體在電場力Fi 的作用下發(fā)生位移的作用下發(fā)生位移dgi，則電場力做功，則電場力做功dAFi dgi ，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)?，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)閐We 。根據(jù)根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為edddSiiWF gW其中其中dWS是與各帶電體相連接的

36、外電源所提供的能量。是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。 具體計(jì)算中，可假定各帶電導(dǎo)體的電位不變，或假定各帶電具體計(jì)算中，可假定各帶電導(dǎo)體的電位不變，或假定各帶電導(dǎo)體的電荷不變。導(dǎo)體的電荷不變。3.1.5 靜電力靜電力電磁場與電磁波電磁場與電磁波1. 各帶電導(dǎo)體的電位不變各帶電導(dǎo)體的電位不變 此時(shí)，各帶電導(dǎo)體應(yīng)分別與外電壓源連接，外電壓源向系統(tǒng)此時(shí)，各帶電導(dǎo)體應(yīng)分別與外電壓源連接，外電壓源向系統(tǒng)提供的能量提供的能量11dd()dNNSiiiiiiWqqe1111dd()d22NNiiiiiiWqq系統(tǒng)所改變的靜電能量系統(tǒng)所改變的靜電能量即即ed2dSWW此時(shí)，所有帶電體都不和外電源相連接，

37、則此時(shí)，所有帶電體都不和外電源相連接，則 dWS0，因此，因此2. 各帶電導(dǎo)體的電荷不變各帶電導(dǎo)體的電荷不變eddiiF gW 式中的式中的“”號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)的靜電能量來實(shí)現(xiàn)的。號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)的靜電能量來實(shí)現(xiàn)的。eddiiF gWeiiWFg 不變不變eiiWFg q不變不變電磁場與電磁波電磁場與電磁波0()lx bbxCdd所以電容器內(nèi)的電場能量為所以電容器內(nèi)的電場能量為220e001()22bUWCUlxxd02e00()2xUWbUFxd不變由由 可求得介質(zhì)片受到的靜電力為可求得介質(zhì)片受到的靜電力為eiiWFg不變 解解 平行板電容器的電容為平行板電容器的電容

38、為部分填充介質(zhì)的平行板電容器部分填充介質(zhì)的平行板電容器dbU0lx 例例3.1.8 有一平行金屬板電容器，極有一平行金屬板電容器，極板面積為板面積為lb，板間距離為，板間距離為d ，用一塊介，用一塊介質(zhì)片（寬度為質(zhì)片（寬度為b、厚度為、厚度為d ，介電常數(shù)為，介電常數(shù)為）部分填充在兩極板之間，如圖所示。）部分填充在兩極板之間，如圖所示。設(shè)極板間外加電壓為設(shè)極板間外加電壓為U0，忽略邊緣效應(yīng)，忽略邊緣效應(yīng)，求介質(zhì)片所受的靜電力。求介質(zhì)片所受的靜電力。由于由于0，所以介質(zhì)，所以介質(zhì)片所受到的力有將其片所受到的力有將其拉進(jìn)電容器的趨勢拉進(jìn)電容器的趨勢電磁場與電磁波電磁場與電磁波22e022 ()qd

39、qWCblxx2e020()2 ()xqWdqFxblxx 不變000()bUqCUlxxd200()2xbUFd 此題也可用式此題也可用式 來計(jì)算來計(jì)算eiiWFg q不變不變設(shè)極板上保持總電荷設(shè)極板上保持總電荷q 不變，則不變，則由此可得由此可得由于由于同樣得到同樣得到電磁場與電磁波電磁場與電磁波3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件恒定電場的基本方程和邊界條件 3.2.2 恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬 3.2.3 漏電導(dǎo)漏電導(dǎo)電磁場與電磁波電磁場與電磁波 由由J J E E 可知，導(dǎo)體中若存在恒

40、定電流，則必有維持該電流可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運(yùn)動，但導(dǎo)體中的電的電場，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運(yùn)動，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時(shí)間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生荷分布是一種不隨時(shí)間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定電場。的電場稱為恒定電場。 恒定電場與靜電場的重要區(qū)別：恒定電場與靜電場的重要區(qū)別： （1 1）恒定電場可以存在于導(dǎo)體內(nèi)部。）恒定電場可以存在于導(dǎo)體內(nèi)部。 （2 2）恒定電場中有電場能量的損耗）恒定電場中有電場能量的損耗, ,要維持導(dǎo)體中的恒定電要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)

41、充被損耗的電場能量。流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的電場能量。 恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。 3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件恒定電場的基本方程和邊界條件電磁場與電磁波電磁場與電磁波EJ0d0dlESJCS00EJ1. 基本方程基本方程 恒定電場的基本方程為恒定電場的基本方程為微分形式：微分形式：積分形式：積分形式：)(rJ 恒定電場的基本場矢量是電流密度恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場強(qiáng)度和電場強(qiáng)度)(rE 線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系0)(EEJ 恒定電場的電位函數(shù)恒定電

42、場的電位函數(shù)0E0 EE0 J由由0)(02若媒質(zhì)是均勻的，則若媒質(zhì)是均勻的，則 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷沒有體分布電荷電磁場與電磁波電磁場與電磁波2. 恒定電場的邊界條件恒定電場的邊界條件0dlEC0dSJS媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 121212E1Ene0)(21nJJe0)(21nEEe 場矢量的邊界條件場矢量的邊界條件2nn1JJ即即2t1tEE即即 導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度n2211222111n21n)()()(JeeSJJDD場矢量的折射關(guān)系場矢量的折射關(guān)系212n21n12n2t1n1t21/tantanJJEEEE電磁場與電磁

43、波電磁場與電磁波 電位的邊界條件電位的邊界條件nn221121, 恒定電場同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場恒定電場同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場 既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，因因 而導(dǎo)體表面不是等位面；而導(dǎo)體表面不是等位面； 說明說明：b11、a電磁場與電磁波電磁場與電磁波媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12122E1E)(12媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12012Ene1E)0(1 如如2 1、且、且 290，則則 10， 即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。 此時(shí)，良導(dǎo)體表

44、面可近似地看作為此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為 等位面；等位面； 若媒質(zhì)若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)為理想介質(zhì)，即即 10，則則 J1=0，故故J2n= 0 且且 E2n= 0，即導(dǎo)體，即導(dǎo)體 中的電流和電場與分界面平行中的電流和電場與分界面平行。電磁場與電磁波電磁場與電磁波3.2.2 恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬 如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個(gè)數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場的解，就兩種場分布必然

45、是同一個(gè)數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場的解，就可以用對應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場可以用對應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。的方法稱為比擬法。D0U靜電場靜電場J0U恒定電場恒定電場電磁場與電磁波電磁場與電磁波恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬基本方程基本方程ED,EEJ0202n2n1t2t1 DDEEn2n1t2t1 JJEE靜電場（靜電場（ 區(qū)域）區(qū)域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)位函數(shù)邊界條件邊界條件恒定電場（電源外）恒定電場（電源外）對應(yīng)物理量對

46、應(yīng)物理量靜電場靜電場EEDJqI恒定電場恒定電場GC0d, 0dlESDCS電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例例3.2.1一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為 1、 1 和和 2、 2 ，外加電壓，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。 解解：極板是理想導(dǎo)體，：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿為等位面，電流沿z 方向。方向。1n2nJJ 由由1n2nSDD由由U1d2d11, 22, zo12121 12212()ddUUUEdE dJ12121122,JJJJEE12JJJ1212()ddJU121212,SSDJDJ上

47、下21122 121212112()SDDJUdd 介電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例例3.2.2 填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)，外導(dǎo)體半徑為體半徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為 1 和和 2 、電導(dǎo)率為、電導(dǎo)率為 1 和和 2 。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為U0 ，外導(dǎo)體接地。求：，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強(qiáng)度分布；（）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強(qiáng)度分布；（2）介質(zhì)分界面）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。上的自由電荷面密度。J1212I外導(dǎo)體外導(dǎo)體內(nèi)

48、導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體介質(zhì)介質(zhì)2 2介質(zhì)介質(zhì)1abc11、22、0U電磁場與電磁波電磁場與電磁波 （1）設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為）設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為I ,則由則由 可得電流密度可得電流密度Sd,JSI()2IJeac111()2JIEeab 介質(zhì)中的電場介質(zhì)中的電場222()2JIEebc 解解 電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布。可先假設(shè)電流為所以電流密度成軸對稱分布。可先假設(shè)電流為I，由求出電流密度由求出電流密度 的表達(dá)式，然后求出的表達(dá)式，然后求出 和和 ，再由，再由 確定出電流確定出電流 I

49、。J012ddbcabUEE1E2E電磁場與電磁波電磁場與電磁波12021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強(qiáng)度分別為故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強(qiáng)度分別為120212ln()ln()UIb ac b 01212ddln( )ln( )22bcabIbIcUEEab由于由于于是得到于是得到電磁場與電磁波電磁場與電磁波12011121ln()ln()SaUeEab ac b 21022221ln()ln()ScUeEcb ac b 1211221221

50、021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b nSeD （2）由）由 可得，介質(zhì)可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì)介質(zhì)2外表面的電荷面密度為外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為J2112I電磁場與電磁波電磁場與電磁波 工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為

51、零，因而當(dāng)在電極間加上電壓U 時(shí)，必定會有微小的漏電流時(shí)，必定會有微小的漏電流 J 存在。存在。 漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即UIG 其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即IUGR13.2.3 漏電導(dǎo)漏電導(dǎo)電磁場與電磁波電磁場與電磁波(1) 假定兩電極間的電流為假定兩電極間的電流為I ； 計(jì)算兩電極間的電流密度計(jì)算兩電極間的電流密度 矢量矢量J ； 由由J = E 得到得到 E ; 由由 ，求出兩導(dǎo)，求出兩導(dǎo) 體間的電位差；體間的電位差； (5) 求比值求比值 ，即得，即得出出(2) 所求電導(dǎo)。所求電導(dǎo)。21dlEUUIG/ 計(jì)算電導(dǎo)的方法一計(jì)算電導(dǎo)的方法一：

52、 計(jì)算電導(dǎo)的方法二計(jì)算電導(dǎo)的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為假定兩電極間的電位差為U； (2) 計(jì)算兩電極間的電位分布計(jì)算兩電極間的電位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 由由 J = E 得到得到J ; (5) 由由 ，求出兩導(dǎo)體間，求出兩導(dǎo)體間 電流；電流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求電導(dǎo)。求電導(dǎo)。ESISJdUIG/ 計(jì)算電導(dǎo)的方法三計(jì)算電導(dǎo)的方法三：靜電比擬法：靜電比擬法：CGCG電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例例3.2.3 求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a 、b，長度為長度為l ，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)

53、率為，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為、介電常數(shù)為、介電常數(shù)為。解解：直接用恒定電場的計(jì)算方法直接用恒定電場的計(jì)算方法電導(dǎo)電導(dǎo))/ln(2ablUIG絕緣電阻絕緣電阻ablGRln211baablIlIUln2d2dlElba則則IlIJ2lIJE2設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I 。電磁場與電磁波電磁場與電磁波012222 例例3.2.4 在一塊厚度為在一塊厚度為h 的導(dǎo)電板上，的導(dǎo)電板上， 由兩個(gè)半徑為由兩個(gè)半徑為r1 和和 r2 的圓弧和夾角為的圓弧和夾角為 0 的兩半徑割出的一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖所的兩半徑割出的一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖所示。計(jì)算沿示。計(jì)算沿 方向的兩電極之間

54、的電阻。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為方向的兩電極之間的電阻。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為。 解：解： 方法一：方法一： 設(shè)在沿設(shè)在沿 方向的兩電極之間外加電壓方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿則電流沿 方向流動，而且電流密度是方向流動，而且電流密度是隨隨 變化的。變化的。兩板間的電位兩板間的電位滿足拉普拉斯方程滿足拉普拉斯方程, 并由對稱性并由對稱性, 只是只是的函數(shù)的函數(shù), 故故 環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊r1hr2 0J電磁場與電磁波電磁場與電磁波000, 0U 方程通解為方程通解為21CC代入邊界條件代入邊界條件可以得到可以得到10020/,CUCU000UU所以所以00UEee 電磁場與電磁波電

55、磁場與電磁波電流密度電流密度00UJEe兩電極之間的兩電極之間的電流電流21002001ddlnrSrUU hrIJSee hr故故沿沿 方向的兩電極之間的電阻方向的兩電極之間的電阻為為0021( )ln(/ )URIhrr電磁場與電磁波電磁場與電磁波解法解法2: dSdldR 用公式 式中dl為沿電流方向的長度元, 如圖所示, S是垂直于電流方向的面積, 它可能是坐標(biāo)變量的函數(shù), 所以 )/(11mabnhdhldSRGba環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊r1hr2 0J電磁場與電磁波電磁場與電磁波本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件 3.3.2

56、 恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位 3.3.3 電感電感 3.3.4 恒定磁場的能量恒定磁場的能量 3.3.5 磁場力磁場力 3.3 恒定磁場分析恒定磁場分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波0HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本方程基本方程BH2. 邊界條件邊界條件本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：SJHHeBBe)(0)(21n21nSJHHBBt2t12n1n0或或若分界面上不存在面電流，即若分界面上不存在面電流，即JS0，則，則積分形式積分形式: :0)(0)(21n21nHHeBBe或或002tt1n2n1HHBB3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條

57、件恒定磁場的基本方程和邊界條件電磁場與電磁波電磁場與電磁波 矢量磁位的定義矢量磁位的定義 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)量量 的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場，即的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場，即由由AA 0BBA 即恒定磁場可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。即恒定磁場可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。 磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的造成的。為了得到確定的A，可以對，可以對A的散度加以限制，在恒定磁的散

58、度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。0A()AAA 1. 恒定磁場的矢量磁位恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位矢量磁位或稱磁矢位 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位電磁場與電磁波電磁場與電磁波 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在無源區(qū)：在無源區(qū)：AB0A 0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 磁矢位的表達(dá)式磁矢位的表達(dá)式3( )1( )d( )()d44VVJ rRB rVJ rVRR 1( )()d4VJ rVR ()111()()()()()()J rJ

59、rJ rJ rRRRR 31()RRR JB電磁場與電磁波電磁場與電磁波 磁矢位的邊界條件磁矢位的邊界條件（可以證明滿足（可以證明滿足 ） 0A對于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為對于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為 利用磁矢位計(jì)算磁通量：利用磁矢位計(jì)算磁通量：0A 12AAn12()SeHHJ/HAn121211()SeAAJ細(xì)線電流細(xì)線電流：CRlIrAd4)(面電流面電流：SSSRrJrAd)(4)(由此可得出由此可得出VVRrJrAd)(4)(SCSBlAddCSSlASASBddd0dSSA2t1tAA 2n1nAA電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例例 3.3.1 求小圓環(huán)電流

60、回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回路的半徑為路的半徑為a ，回路中的電流為，回路中的電流為I 。 解解 如圖所示，由于具有軸對稱性，如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均矢量磁位和磁場均與與 無關(guān)，計(jì)算無關(guān)，計(jì)算 xO z 平平面上的矢量磁位與磁場面上的矢量磁位與磁場將不失一般性。將不失一般性。(sincos )rxzre rr ee(cossin)rxzre aa eedd(sincos) dxyle aeea 222221 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar小圓環(huán)電流小圓環(huán)電流aIxzyrRdl