數(shù)學(xué)建模——優(yōu)秀論文

1、鱸魚(yú)質(zhì)量分析模型摘要本文討論了鱸魚(yú)的質(zhì)量和其身長(zhǎng)，胸圍的關(guān)系。首先我們假設(shè)鱸魚(yú)的體重和其身長(zhǎng)呈正相關(guān)，利用題目中所給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并計(jì)算出鱸魚(yú)體重和身長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系以及鱸魚(yú)實(shí)際體重和估算值之間的相對(duì)誤差，驗(yàn)證假設(shè)成立。通過(guò)多次擬合，得出最佳函數(shù)關(guān)系：，其相對(duì)誤差如下：鱸魚(yú)體重實(shí)際值與估計(jì)值對(duì)比及誤差表1（方法一）身長(zhǎng)/cm31.832.132.135.936.836.843.845.1體重/g48248245465273776511621389擬合值/g466.6479.9479.9674.4727.3727.31228.81339.4相對(duì)誤差/%3.20.445.73.444.935.75

2、3.570.86平均相對(duì)誤差為：3.49%從表中的數(shù)據(jù)，我們可以得出鱸魚(yú)體重的實(shí)際值與估計(jì)值的相對(duì)誤差較小，說(shuō)明用二次函數(shù)擬合鱸魚(yú)身長(zhǎng)與體重的關(guān)系式可行的。然后，我們利用同樣的思想分析鱸魚(yú)體重與胸圍的關(guān)系，其結(jié)果如下：鱸魚(yú)體重實(shí)際值與估計(jì)值對(duì)比及誤差表2胸圍（cm）21.321.621.622.924.824.827.931.8重量（g)48248245465273776511621389擬合值（cm）462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相對(duì)誤差（%）4.131.607.866.556.392.507.982.81平均相對(duì)誤差為： 4.98% 從

3、表中的數(shù)據(jù)，我們可以看出方法二的相對(duì)誤差小于方法一的相對(duì)誤差，所以方法二的結(jié)果更貼近實(shí)際。在原有的基礎(chǔ)上，我們進(jìn)而提出，鱸魚(yú)的體重與其身長(zhǎng)和胸圍都有關(guān)系，其結(jié)果如下： 鱸魚(yú)體重實(shí)際值與估計(jì)值對(duì)比及誤差表3重量（g)76548211627374821389652454估算值（g）74047211157404901491616490相對(duì)誤差（%）3.252.124.050.421.607.375.587.87平均相對(duì)誤差為： 4.0375%根據(jù)表三的數(shù)據(jù)，可以知道模型三的擬合程度也較好，相對(duì)于模型一、二，此模型充分考慮到了身長(zhǎng)、胸圍對(duì)體重的相互影響，用此模型估計(jì)鱸魚(yú)的體重可能會(huì)更符合實(shí)際，更合適推

4、廣。一問(wèn)題重述1.1. 基本內(nèi)容垂釣的樂(lè)趣在于修心，放生的樂(lè)趣在于養(yǎng)性。一垂釣俱樂(lè)部為鼓勵(lì)垂釣者將釣上的魚(yú)放生，打算按照放生的魚(yú)的質(zhì)量給予獎(jiǎng)勵(lì)。由于俱樂(lè)部只準(zhǔn)備了一把用于魚(yú)的身長(zhǎng)和胸圍的軟尺，于是眾垂釣者開(kāi)始考慮根據(jù)測(cè)量的長(zhǎng)度估計(jì)魚(yú)的質(zhì)量的方法，希望體味到垂釣的更大樂(lè)趣。因此，利用應(yīng)用軟件以及相應(yīng)的知識(shí)找到所測(cè)長(zhǎng)度與魚(yú)的質(zhì)量的變化規(guī)律，顯得尤為重要。1.2. 擬解決的問(wèn)題 試從鱸魚(yú)的實(shí)際質(zhì)量和身長(zhǎng)體重的變化特點(diǎn)出發(fā)，利用題中所給數(shù)據(jù)，建立鱸魚(yú)質(zhì)量分析的數(shù)學(xué)模型，并指出最佳模型及模型中存在的優(yōu)缺點(diǎn)。二問(wèn)題的分析我們都知道鱸魚(yú)的體重主要由魚(yú)的身長(zhǎng)、胸圍決定。一般來(lái)說(shuō)，鱸魚(yú)的胸圍越大，魚(yú)的體重會(huì)越重

5、，身長(zhǎng)越長(zhǎng)，體重也越重。但影響鱸魚(yú)體重的因素并不唯一，我們要考慮單一變量對(duì)魚(yú)體重的影響，即身體長(zhǎng)度與體重的關(guān)系和胸圍與體重的關(guān)系，我們要根據(jù)已知數(shù)據(jù)，利用相關(guān)軟件進(jìn)行模擬，來(lái)確定鱸魚(yú)體重與身長(zhǎng)、胸圍之間的數(shù)量規(guī)律。三基本假設(shè)1）. 假設(shè)題目中所給的數(shù)據(jù)、信息以及網(wǎng)上查閱的數(shù)據(jù)都是有效準(zhǔn)確的，可以充分的說(shuō)明問(wèn)題；2）. 假設(shè)池塘里只有一種鱸魚(yú)，不存在其他魚(yú)種。3）. 假設(shè)池塘里鱸魚(yú)數(shù)量眾多，分布均勻，密度相同。4）. 假設(shè)鱸魚(yú)全都正常生長(zhǎng)，沒(méi)有人為因素影響鱸魚(yú)的發(fā)育于成長(zhǎng)。5）. 假設(shè)鱸魚(yú)的形態(tài)近似為與胸圍等周長(zhǎng)與身長(zhǎng)等高的圓柱體。6）. 鱸魚(yú)的身長(zhǎng)越長(zhǎng)體重越重，體重與身長(zhǎng)存在正相關(guān)關(guān)系；7）.

6、 鱸魚(yú)的胸圍越大體重也越重，體重與胸圍存在正相關(guān)的關(guān)系；8）. 鱸魚(yú)的胸圍、身長(zhǎng)互相影響，共同作用鱸魚(yú)的體重；4 符號(hào)說(shuō)明鱸魚(yú)的身長(zhǎng)L鱸魚(yú)的胸圍C鱸魚(yú)的體重W模型三的待定系數(shù)5 模型的建立與求解模型一：建立鱸魚(yú)的身長(zhǎng)與鱸魚(yú)的體重的模型身長(zhǎng)(cm)36.831.843.836.832.145.135.932.1重量(g)76548211627374821389652454為了研究鱸魚(yú)身長(zhǎng)與體重的關(guān)系，我們利用已測(cè)量的數(shù)據(jù)，取出身長(zhǎng)及體重的數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件畫(huà)出散點(diǎn)圖，如下：方法一：我們把圖形可以近似看成一條拋物線，身長(zhǎng)與體重近似成二次函數(shù)關(guān)系通過(guò)多次擬合可得： W=1.6247*L2-5

7、9.3124*L+709.7392根據(jù)擬合的函數(shù)，我們畫(huà)出擬合圖：方法二： 根據(jù)散點(diǎn)圖決定利用三次多項(xiàng)式擬合得到的各項(xiàng)系數(shù)如下：1 -80 3008 -37262從而得到了擬合函數(shù)： 畫(huà)出擬合圖如下：模型二：鱸魚(yú)體重與胸圍模型建立考慮鱸魚(yú)胸圍對(duì)體重的影響，我們采用與模型一相同的方法，先畫(huà)出鱸魚(yú)體重與胸圍的散點(diǎn)圖：胸圍(cm)24.821.327.924.821.631.822.921.6重量(g)76548211627374821389652454從圖形上看，鱸魚(yú)體重與胸圍可能成線性關(guān)系，利用多項(xiàng)式擬合的方法，我們得到鱸魚(yú)體重與胸圍的函數(shù)表達(dá)式： W=92*C-1497.5 根據(jù)擬合函數(shù)，畫(huà)出

8、胸圍與體重關(guān)系的擬合圖：從圖形上看，大部分點(diǎn)分布在直線左右，我們可以近似看成二者成線性關(guān)系。模型三.同時(shí)考慮身長(zhǎng)和體重對(duì)鱸魚(yú)體重的影響題中附錄此模型要用到基本假設(shè)4及即：鱸魚(yú)的體態(tài)用與胸圍等周長(zhǎng)，與身長(zhǎng)等高的圓柱形來(lái)近似。因?yàn)閳A柱體的體積等于底面積乘高，底面積可以用周長(zhǎng)表示：.因此可以分析得出.又物體質(zhì)量等于密度與體積的乘積，因此只需根據(jù)數(shù)據(jù)求出密度即可。于是身長(zhǎng)、胸圍與體重的關(guān)系可以表示為：，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)系數(shù)的求解。利用MATLAB軟件和已知的八組數(shù)據(jù)可以求出對(duì)應(yīng)的值：0.0303 0.0305 0.0322 0.0334 0.0326 0.0346 0.0338 0.0341 為了得到精確

9、地模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理0.0327因此 6 模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵?方法一、鱸魚(yú)體重實(shí)際值與估計(jì)值對(duì)比及誤差表身長(zhǎng)（cm)31.832.132.135.936.836.843.845.1重量（g)48248245465273776511621389擬合值（g）466.6479.9479.9674.4727.3727.31228.81339.4相對(duì)誤差（%）3.20.445.73.444.935.753.570.86平均相對(duì)誤差為：3.49%從表中的數(shù)據(jù)，我們可以得出鱸魚(yú)體重的實(shí)際值與估計(jì)值的相對(duì)誤差較小，說(shuō)明用二次函數(shù)擬合鱸魚(yú)身長(zhǎng)與體重的關(guān)系式可行的。 方法二：得出的函數(shù)對(duì)魚(yú)的體重進(jìn)行估測(cè)并列如下表：身

10、長(zhǎng)（cm)31.832.132.135.936.836.843.845.1重量（g)48248245465273776511621389擬合值（g）454.4481.4481.4695.5726.6726.61180.01377.1相對(duì)誤差（%）5.730.126.046.671.415.021.640.86平均相對(duì)誤差為：3.51% 從表中的數(shù)據(jù)，我們可以看出方法一的相對(duì)誤差小于方法二的相對(duì)誤差，所以方法一的結(jié)果更貼近實(shí)際。模型二鱸魚(yú)體重實(shí)際值與估計(jì)值對(duì)比及誤差表胸圍（cm）21.321.621.622.924.824.827.931.8重量（g)4824824546527377651162

11、1389擬合值（cm）462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相對(duì)誤差（%）4.131.607.866.556.392.507.982.81 平均相對(duì)誤差為： 4.98% 從表中的數(shù)據(jù)，我們可以看出鱸魚(yú)體重的實(shí)際值與估計(jì)值的相對(duì)誤差不太大。模型三重量估計(jì)值及相對(duì)誤差重量（g)76548211627374821389652454估算值（g）74047211157404901491616490相對(duì)誤差（%）3.252.124.050.421.607.375.587.87平均相對(duì)誤差為： 4.0375%根據(jù)表三的數(shù)據(jù)，可以知道模型三的擬合程度也較好，相對(duì)于

12、模型一、二，此模型充分考慮到了身長(zhǎng)、胸圍對(duì)體重的相互影響。七模型優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：1.模型簡(jiǎn)單，易于理解。 2.數(shù)據(jù)處理簡(jiǎn)明，計(jì)算思路清晰。 3.通過(guò)對(duì)比，結(jié)果更有說(shuō)服力。缺點(diǎn)：1.模型是基于個(gè)人經(jīng)驗(yàn)建立，可能存在誤差。 2.鱸魚(yú)實(shí)際呈梭型，看成圓柱體較為牽強(qiáng)。8 模型中的程序畫(huà)兩散點(diǎn)圖的程序：x=36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1;y=24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6;z=765 482 1162 737 482 1389 652 454 ;plot(x,z,'*')xlabel('身

13、長(zhǎng)');ylabel('體重');title('身長(zhǎng)與體重散點(diǎn)圖');plot(y,z,'*')xlabel('胸圍');ylabel('體重');title('胸圍與體重散點(diǎn)圖');畫(huà)身長(zhǎng)與體重?cái)M合圖程序：x=36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1;z=765 482 1162 737 482 1389 652 454;x1=30:0.1:50;z1=1.6247.*x1.2-59.312.*x1+709.7392plot(x,z,'*

14、9;,x1,z1)xlabel('身長(zhǎng)');ylabel('體重');title('身長(zhǎng)與體重?cái)M合圖');畫(huà)胸圍與體重?cái)M合圖程序：y=24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6;z=765 482 1162 737 482 1389 652 454;y1=20:0.1:40；z1=92.*y1-1497.5;plot(y,z,'*',y1,z1)xlabel('胸圍');ylabel('體重');title('胸圍與體重?cái)M合圖');得到式（1）、（2）表達(dá)式的程序：x=36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1;y=24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6;z=765 482 1162 737