多元函數(shù)微分法和應(yīng)用期末復(fù)習(xí)試題高等數(shù)學(xué)(下冊)(上海電機(jī)學(xué)院)

1、、選擇題第八章偏導(dǎo)數(shù)與全微分1.若 u=u(x, y)是可微函數(shù)，且 u(x,y) y x21,x,則-u yA A. 1 B 1 C. -1 D. 1222.函數(shù) z x2 y2 6x 2y 6 d A.在點(diǎn)(-1,3)處取極大值C.在點(diǎn)(3,-1)處取極大值B.在點(diǎn)(-1,3)處取極小值D.在點(diǎn)(3,-1)處取極小值3.二元函數(shù)f x,y在點(diǎn)xo, yo處的兩個偏導(dǎo)數(shù)fx xo,yo ,fy xo, yo存在是函數(shù)f在該點(diǎn)可微的B A.充分而非必要條件B.必要而非充分條件C.充分必要條件D.既非充分也非必要條件2 一 2 一 24.設(shè) u=x +2 y2 +3 z +xy+3x-2y-6z

2、在點(diǎn) 0(0, 0, 0)指向點(diǎn)A(1, 1, 1) 方向的導(dǎo)數(shù)A.5.3B.5.36C.5.335.函數(shù)Zx3 y33xy B A.在點(diǎn)(0, 0)處取極大值B.C.在點(diǎn)(0, 0), (1, 1)處都取極大值在點(diǎn)(1,1)處取極小值在點(diǎn)(0, 0), (1, 1)處都取極小值6.二元函數(shù)f x, y在點(diǎn)x0,y0處可微是x, y在該點(diǎn)連續(xù)的A A.充分而非必要條件B.必要而非充分條件C.充分必要條件D.7.已知y sin y0(01),既非充分也非必要條件則 dy = B dxA.cosyB.C.8.函數(shù)50201 cosyD.cosy1 cos yz xy(x>0,y>0)A

3、.在點(diǎn)(2, 5)處取極大值C.在點(diǎn)(5, 2)處取極大值B.D.在點(diǎn)(2, 5)在點(diǎn)(5, 2)處取極小值處取極小值9.二元函數(shù)f x, y在點(diǎn)Xo,y0處連續(xù)的是f x,y在點(diǎn)Xo,yO處可微的A A.必要而非充分條件B.充分而非必要條件C.充分必要條件D.既非充分也非必要條件10.曲線x=t, y=t2t3所有切線中與平面 x+2y+z=4平行的切線有B A. 1條 B.2C. 3條 D.不存在11.設(shè) f(x, y)xyf"y xA.xy42y xB.C.22xy44yxD.22yx44yx12.為使二元函數(shù)f (x, y)y沿某一特殊路徑趨向y(0,0)的極限為2,這條路線

4、應(yīng)選擇A.B.C.xy D.22x萬y13.f (x, y)滿足且 f(x,1)2, fy(x,1)x 1 ,則 f (x, y) BA. y2(x 1)y2b. y(x1)y 2 C.(x 1)y 2 D.2_y (x 1)y 214.設(shè) f (x, y)3x2y,則f(xy, f(x, y)A. 3xy 4x 4yB. xyx 2y C. 3xy6x 4 y D. 3xy 4x 6y215.為使二元函數(shù)f(x, y)2xy 2在全平面連續(xù)，則它在 (0,0)處應(yīng)被補(bǔ)充定義為 Bx yA.-1B.0C.1 D.16.已知函數(shù)f (x y, x y)f(x, y)yA. 2x 2y B.2x

5、2y C.x y D. x y! 2217 .若 f (X)匕(x 0),則 f (x) Bx xA.xD.18 .若z yX ,則在點(diǎn)D處有 y x(e, e)A. (0,1) B. (e,1) C. (1,e) D.219 .設(shè)z xy ,則下列結(jié)論正確的是A22A. z z0 B.x y y x22C. 一- -z0 D. 兩者大小無法確定x y y x0,20.函數(shù) f (x, y) 11xsin y sin -,y x(A) 等于1(B) 等于2(C)xy 0,則極限 lim f (x, y) ( C) xy 0x 0y 0等于0(D) 不存在21 .函數(shù) z xy在點(diǎn)(0,0) (

6、 D ).（A）有極大值 （B）有極小值（C）不是駐點(diǎn)（D） 無極值22 .二元函數(shù)z J7y2在原點(diǎn)（0,0）處（A）.（A）連續(xù)，但偏導(dǎo)不存在（B）可微（C）偏導(dǎo)存在，但不連續(xù)（D）偏導(dǎo)存在，但不可微23.設(shè) uJx2 y2 z2 , f （r）具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則(B) .f''(r)-f'(r)r1.2.-2f''(r)2f'(r)rr1 (A) f''(r) f'(r)(B)rc 1.1.(C) f''(r)f'(r)(D)rr24 .函數(shù)z f （x, y）在點(diǎn)（x0, y°）

7、處連續(xù)是它在該點(diǎn)偏導(dǎo)存在的（ D）充分而非必要條件既非充分又非必要條件（A）必要而非充分條件（B）（C）充分必要條件（D）25 .函數(shù)z 1 x2 y2的極大值點(diǎn)是（D ）(A) (1,1)(B)(1,0)(C)(0,1)(D)(0,0)26 .設(shè) f (x, y) arcsin U ,則 fx(2,1)(B )(A)(B)(C)(D)27.lim(A)28.(A)(C)29.(B)不存在 （C）(D)存在且不等于z f（x,y）若在點(diǎn)P0（x0,y。）處的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則（B ）.f （x, y）在點(diǎn)P0連續(xù)dz |P dx z |P dy x 0 y 0設(shè)函數(shù)z xy ,則dz= (

8、 Ay 1 . y .(A) . yx dx x ln xdy(B)(B)f (x, y0)在點(diǎn)x0連續(xù)(D) A,B,C都不對).y 1 . yx dxxydy(C) . xydxxyln xdy(D)1dxxyln ydyz30.已知u2ln v,ux一，v yr r z xy,貝1J y咨n xy (A) y(B)與 lnxy y當(dāng) lnxy(C)y(D)2xlnxy yx 2 y31.函數(shù) z= . 1 x2(A.)(C.)D=(x,y)|xD=(x,y)|x2y的定義域是(D+y2=1+y2<1(B.)(D.)D=(x,y)|xD=(x,y)|x2+y2 12+y2 132.設(shè)

9、f(x, y)xy2x,則下列式中正確的是（y33.設(shè)(A)(C)f(y,x)z excosy ,貝Uf (x, y)；f (x, y)；2(D );(B) f(xy,x y)f (x,y)；(D) f(x, y) f(x,y)(A)x ex sin y ；(B)xxe sin y ； (C) e cosy ； (D)一X 一一e sin y34.已知f (Xy,xy)f則x(c )；(A)2x2y ；(B)y；(C)2x2y(D) x35.設(shè) z2x23xy(A) 6(B) 3(C)-2(D)2.36.設(shè)(A)(C)37.(A)r r zx, y ,則一 xx0,y0f limx 0x0x,

10、y0f xo, y0lim(B) xf x00x, y f x0, y0x0 x, y0 f x設(shè)由方程38.二次函數(shù)A. 1C.xo, ylim(D) xf x0 x, y00 x(B)xyz 0確定的隱函數(shù)x, y ,ln(4< x2(C)y2)39. f （x, y）在點(diǎn)（x, y）處的偏導(dǎo)數(shù)A. 充分必要條件;40.拋物面 z(D)y2 1B.D. 1的定義域是（fx(x,y)和fy(x, y)連續(xù)是f (x, y)可微分的(B )B.充分非必要條件；C.必要非充分條件;D.非充分又非必要條件。上點(diǎn)P處的切平面平行于平面2x y3 0 ,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(c )1 c、A. (1,

11、2,0)；B.11 5(1,1,0)；c. (1,2,5)；D.41.設(shè) zexy2 yx則二Iy(1,2)( B )A. e 1 ；B. e21 ；42.設(shè)二元函數(shù)z x3 y3 3x2A. (1, 0)；B. (1, 2);uvxy,貝i 43.設(shè)x 1,1( b1(A) 0(B) 2C. 2e 1 ； d. 2e 1。23y 9x的極小值點(diǎn)是(A )C.(-3, 0);D. (-3, 2)(C) -1(D) 144 .設(shè)z f x，y是由方程xyzxsin yz(A) z(B)yzz exy y x2,貝 一45 .設(shè)y 1,22(A) e 1(B) e 1二、填空題1. lim (1

12、-)ye2x 2 y y2 .函數(shù) u=ln ( x2sin(xy) .3 . lim 2x 2 y y 04.已知z f(xy)是可微函數(shù)，則zsin（xyz）決定的隱函數(shù)，則x （ d ）cos yzz（C）yz(D)x5.lim(x,y)(xy(0,0)(C)2e 1(D) 2e 122 ,y2z2)在點(diǎn) M(1,2, -2)的梯度 gradu= 1,2, -29''dz yf (xy)dx xf (xy)dy6.設(shè) r 7x2y2z2 ,貝U gradr2 =r r r 2xi 2y j 2zk222_7.曲線 z V1 x y在點(diǎn)（1,1,J3）處的切線與Y軸的正向夾

13、角是 x 1222、8.設(shè) r ln(x y z ),貝U gradr2xr2Vr2zr 1,222 i222 j222 kxyzxyzxyz9.函數(shù)z X y3的間斷點(diǎn)是x y 033x y10 .函數(shù)u xyz在點(diǎn)(1,1,1)沿方向(2,1, 3)的方向?qū)?shù)是_011 .函數(shù)u ln xyz的定義域是(x, y, z)x 0,y 0,z 0或x 0, y 0,z 0或x 0, y 0, z 0或x 0, y 0,z 012 .二元函數(shù) zJln ? 4 ?arcsin)的定義域是1x2 y2 4x2 y2x2y22 213 .函數(shù)u 3x y 2y 4x 6z在原點(diǎn)?O"向l

14、2,3,1的方向?qū)?shù)為14 .函數(shù) z ln( x In y)的定義域是( x, y) | x 0, y 1或 x 0,0 y 1xxy 1z 215 .曲面ex xy z 3在點(diǎn)(0,1,2)處的法線方程為一 - 20116 .極限 lim 23 41xy 0 xy417 .若 f (x, y) 3x 2y ,則 fxy, f(x, y) 6x 4y 3xy18 .設(shè)有函數(shù) u(x, y, z) xyz ,則 du |(i,2,2) 4dx dz2219 .函數(shù)z 1 x y的極大值點(diǎn)是(0,0)20 .設(shè)函數(shù)uxy2z3,r 也,0,滅,則方向?qū)?shù)，_V221.設(shè)函數(shù)z22l 1,1,1f

15、 xy, x2 y2 可微，則xf 1 2y f 2 y 22 . 一 ,、 一一 .22曲面z 2x y上一點(diǎn)(1, -1 , 3)處的切平面萬程為 4x 2y z 3 02223. 4 z x y 在點(diǎn) P (0,1,3 )處的切平面萬程一2y+z=5 ,法線萬程J224、設(shè) z e ,則全微分 dz=_2e x y dx xdy25、設(shè) z= 11n(x22)，則2xy222(x y )26、已知f (xy,xy)2 f (x,y)y ,xf(x, y)y2x 2y27.limx 0 y 0xy28.已知ln - y29.已知1.解:z sin xy ,則 dz計(jì)算與證明設(shè) z=f (x

16、+y,xy)dz ycosxydx x cosxydy的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，-=f1xf22=f11 x yfl2 (x y) xyf22f22.求平面-y3 4解：設(shè)(x, y, z)1和柱面x2 y210是交線上任一點(diǎn)，由已知,1的交線上與xoy平面距離最短的點(diǎn)距離函數(shù)f (x, y, z)=z又設(shè) L(x,y,z,z101)(x2y2 1)LxLy(2)令：Lz2zx32 x10y42yz101(4)(1)與(2)相比，得:代入(5),得：x從而得交線上的兩點(diǎn):3 -x,4相應(yīng)的有:/4 3 35、。石)354 3 85、5, 5, 6 )其中：點(diǎn)（4,3, 5 535到xoy平面的距離是

17、一6點(diǎn)（4比較得：所求點(diǎn)是（4523.證明極限limyx 0 y ' y 0 x4 3 85、， 一一,，一一 85 一,一,一）到xoy平面的距離是 一5 5 663 35、5, 6不存在y證明：當(dāng)（x, y）沿著曲線y2=x 趨于(0, 0)時,2. xylim x 0 y 'y 0 x=limy y(4'。小當(dāng)(x, y)沿著曲線2，一2 y =x 趨于（0, 0）時,lim2xy2x=lim y4 y 02y44y42y45所以，極限lim2xy2y4不存在4.設(shè) z=xf (xy,ey),解：=fxflxy2z=2xf1 x yey f2x2yf11xyey

18、fi25.求曲線 x= t-sint, y=1-cost, z=4sin-, 在點(diǎn)2M(一21, 1,2 J2）處的切線及法平面方程解：因?yàn)?xt =1-cost,yt =sint,ztc t=2 cos2而點(diǎn) M（ 1, 1,2.2）所對應(yīng)的參數(shù)為2t=點(diǎn)M的切向量T =1,1,22 x 1 故點(diǎn)M處的切線方程為2z 2.2點(diǎn)M處法平面方程為：x+y+ 22 z= 426.求曲面ezz xy 3在點(diǎn)(2,1,0)處的切平面方程及法線方程解：令 F(x, y, z)=ezz xy 3則 Fxy, Fy x, Fz ex 1故 Fx'(2,1,0) 1, Fv'(2,1,0)2,

19、Fz'(2,1,0) 0xyz因此：點(diǎn)(2,1,0)處的切平面方程為 x-2+2(y-1)=0, 即：x+2y-4=0x 2 y 1點(diǎn)(2,1, 0)處的法線方程為2z 07. 已知z=ysin(x+y),求全微分dz及梯度gradz解： ycos(x y) , sin(x y) y cos(x y)xy故：dz=ycos(x+y)dx+sin(x+y)+ycos(x+y)dygradz=( ycos(x+y), sin(x+y)+ycos(x+y) x y b 0228.設(shè)直線l :在平面 上，而平面 與曲面zx2y2相切于點(diǎn)x ay z 3 0M(1,-2, 5), 求 a,b 之

20、值解：點(diǎn)M處曲面的法向量 n=2x, 2y, -1 M =2,-4,-1點(diǎn)M處切平面方程為 2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0即:2x-4y-z-5=0,此即平面之方程由直線 代入解得：a=-5, b=-2l 可得 y=-x-b, z=x-a(x+b)-3 得:(5+a)x+4b+ab-2=09.設(shè)函數(shù) z=f (u, v),則u, v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，其中 u=3x+2y, v=y解:f210.2z 6 fx y''11(加0,0)/ 24、5(x y )是否存在？如果存在，等于多少？如果不存在，說明理由。解：不存在。網(wǎng)(7y 0(x6 6x yi475y )0。l

21、im,x 0,y2x(x245y )9. x lim2-5x 0(2x2)511.求u關(guān)于x,y,z的一階偏導(dǎo)數(shù):解:u z yz 1一y x xz 1 yz .zy x ln xzxy yz ln xln y12、說明函數(shù)在何時取得極值，并求出該極值:2z (x y 1)解:函數(shù)定義域R2。因?yàn)閦 0 ,故x y0時極小；無極大。13.解:2(x y 1) 0解方程組 xz 2(xy 1) 0可知函數(shù)駐點(diǎn)分布在直線 x y 1 0上。對于此直線上的點(diǎn)都有的各點(diǎn)取得極小值 z（x,y叫。）（x2y2）x2y22 222、x2y2lim (x y )(x,y) (0,0)而 x2y2ln(x21

22、22 22J%)4(x y)ln(x14.求u的一階全微分：u解：du15、求函數(shù)方向?qū)?shù)。0。0。但是zlim e(x,y)(0,0)2 22x y ln(xy2)0恒成立。所以函數(shù)在直線x y 1 0上y2)y2) 022ln( xy2)，。故原式二e0 12 2z 2 2(xdx(x y )ydy)dz2y=在點(diǎn)2zM (12,-2）沿曲線t2t2在此點(diǎn)的切線方向上的2t4解：J3，x 2222(x y z )2xy3 ，/ 222.2(x y z )xzz / 2(x3 ° z2)2在點(diǎn)(1, 2-2)它們的值分別是1 4 曲線在該點(diǎn)切線方向余弦為 -,9 982782272

23、27方向?qū)?shù)為 u l8 127g92 42(27)99 27g(89)1624316. lim(x,y) (0, a)sin(xy)sin(xy)解： lim=(x,y) (0, a) xlim(x,y)(0,a)sin(xy)agy =a xy17.求由下式?jīng)Q定的隱函數(shù) z關(guān)于x和y的一階偏導(dǎo)數(shù):(x y z)x y z e 。解：等式兩端對x求偏導(dǎo)數(shù)，得1e(x yz)(故1。利用對稱性可得 x18.用拉格朗日法求條件極值:2 xy，一 a(a 0,b 0)解：設(shè) F(x,y)(-a1),解方程組可得由于當(dāng)xab2b2,y19.求極限1 lim 一 x 0 y 02x2y2 22a2b2

24、a2ba2 b2b?,xab2a2 b2時都有za2ba2 b2。故函數(shù)只能在有限處取得極小值(最小)值:時，函數(shù)取得極小1 sin(xy).2b2(最小)值z -If a bHx y. x2 y 1 sin( xy)-2x y xylimx 0y 0(1、x2y 1)(1；x2y 1) sin(xy)x2y(1x2y 1) xy(2分)1 sin(xy)lim(1 分)y 0 1： x2y 1 xy1 (2 分).2220 .設(shè) zf (x2 y2, xy),求.x y解： f1'2x f2' y 2xf1' yf2', (2分) x2 2xfn"

25、( 2y) f12'' xf2' yf21''( 2y) f?2 " xx y4xyfn '' 2x2 f12'' f2' 2y2f21'' xyf22'' (3分).21 .求拋物面z x2 y2到平面x y z 1 0的最近距離。22斛：設(shè)M (x, y, z)在z x y上，M到x y z 1 0的距離為d ,則d |x y- z 11 (1 分)， ,32,2 (x y z 1) d .3222記 L(x, y, z, ) (x y z 1) (x y z),Lx2

26、(xyz1)Ly2(xyz1)令Lz2(xyz1)Lx2y2z02x0(2分)所以d解得：x y 2, z 2 (2分).1_1 1.32(2 分).11|2 T322.求曲面z2 .y上與平面2x 4y z 0平仃的切平面萬程。解：曲面y2的切平面的法向量為ni2x,2y, i (2分)，平面2x4yz 0的法向量為要使解之得,因此為2(x23.函數(shù)z解:24.解:n22x-22,4, 1.切平面與平面2x 4y z 0平行，必有n"/n2,即i,y 2,1) 4( y因?yàn)閦x所以2y4從而2) (zi ,彳(2分)5(2 分).5) 0,，y ，arctan-,求 dz |(i

27、i).x(i,i)dz|(i,i)(i.i) i1dx(i,i)(i,i)2(2 分),2 y2 x(i.i)2 (2 22)，(i.i)2dy(i 分).設(shè)函數(shù)z z(x, y)由方程x2xf ()確定，求z。(方法一)令 F(x,y,z)xfCy).x則 Fx 2xfd)xYf'd), Fy 2y x x因此FxFzf(-) -f'(-) x x x2x一(3 分)2zx（方法二）方程x2 y2 z2 xf(-)兩邊對x求導(dǎo)，并注意z是x,y的函數(shù)，得 x2x 2z- fd) xf'(y)(斗)fd) Yf'd),x x x x x x x解得fd) - f

28、'(-) 2x x x x2z25.如何將已知正數(shù)a分成兩個正數(shù)x, y之和，使得xpyq為最大，其中p、q是已知的正O解：由拉格朗日乘數(shù)法，令L(x, y, ) xpyq (x y a) (2分).p 1 qLxpx y 0由 Lyqxpyq 10 (2分)L x y a 0解得駐點(diǎn)(_ap,aq) (2分). p q p qf在駐又由題意當(dāng)點(diǎn)（x,y）趨于邊界x 0或y 0時，目標(biāo)函數(shù)f趨于零，所以連續(xù)函數(shù)點(diǎn)取最大值。因此當(dāng)x -ap-, y aq時，xpyq的值最大 p q p q26 .設(shè)z f (x, y) g(u,v),ux3,v xy,其中f, g具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求

29、z.x zu ' v解：一fx gu gv 一 (2 分)xx x'2' y 1'fx 3x guyx gv (3分).27 .求曲線x 2t2, y cos( t), z 21nt在對應(yīng)于t 2點(diǎn)處的切線及法平面方程。解：當(dāng)t 2時，對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（8,1,2ln 2）;又參數(shù)方程的切線方向向量為:n|t 2 4t, sin（ t）,2|t 2 8,0,1 （2分），x 8 y 1 z 21n 2 小八、故切線萬程為 - （2分），801一，x 8 8（z 2ln 2）或y 1 0而法平面方程為8（x 8） （z 21n 2） 0（2分）.28.求函數(shù)u xy

30、2z3在點(diǎn)M0(1,1,1)處方向?qū)?shù)的最大值和最小值。解：u在點(diǎn)M0(1,1,1)處沿方向1的方向?qū)?shù)為：U ,23-3-22、，(y z cos 2xyz cos 3xy z cos ) |M01 Mocos 2cos 3cos (2 分).令 10 cos ,cos ,cos , g 1,2,3,g l0 |g| |l0| cos ,為g與l0的夾角。Mo要使_u 取最大值，則cos =1,即 =0,也就是g與l0同向時， 取最大值, 1M01M0即：當(dāng)l0 31,2,3時， 取最大值|g| J14（3分）.v141 M0同理，要使_u 取最小值，則cos =-1,即 = 1 Mo,也就

31、是g與10反向時， 取最小 1 Mo值，即：當(dāng)10 二1,2,3時， 取最小值|g|疝1 M0714 (3 分).29.設(shè)函數(shù) z f (x2 y ,exy),求，. x y解：設(shè)ux2y , v exy ,那么2xy，2 V xy V xyx , 一 ye ， xexyz f u f v f xy f =2xy + ye x u x v x uvz f u f V 2 f xy f一 一一一=x + xe一y u y v y uv30.設(shè) z333c cZx"是由x y z xyz 6 0所確定的隱函數(shù)，求它在點(diǎn)（1, 2,-1)處的偏導(dǎo)數(shù) x y的值。zM03x2yzM°

32、;1人mMo=（1,2, 1）（3 分） 5x3z2xyz3y解得 x yxz112（3 分）5yM03z2xyMo31.斜邊長為m的所有直角三角形中，求有最大周長的直角三角形直角邊的邊長.解：設(shè)兩條直角邊的邊長為 x, y,周長為S,則S m x y （1 分）并滿足x2y2m2 .由F（x, y, ） m x y222/八八、（x y m ） （2 分）F1 2x0x（3分）令 1 2y0y因?yàn)樗兄苯侨切蔚闹苯琼旤c(diǎn)位于直徑為m的半圓周上，最小周長不存在，從而實(shí)際問題只有最大值，此時有最大周長的直角三角形的邊長均是z z32.設(shè) z eusinv，而 u xy,v x y,求 x, yzz uz vxu xv x_eu sin v y eu cosv 1eu y sin vcosv（3分）y u y v yu _u _e sinv x e cosv 1u _e xsin v cosv33.設(shè) zf x2y2,且f可微,z 2xf x（2分）-2yf y（2分）x 0（2 分） y34.求曲面ez zxy3在點(diǎn)2,1,0處的切平面與法線的方程x, y, zx 2,1,0f1,y 2,1,02, 0 （3分）z 2,1,0