備戰(zhàn)2014中考數(shù)學(xué)專題講座第13講：韋達(dá)定理應(yīng)用探討

1、福州五佳教育錦元數(shù)學(xué)工作室 編輯韋達(dá)，1540年出生于法國(guó)的波亞圖，早年學(xué)習(xí)法律，但他對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，常利用業(yè)余時(shí)間鉆研數(shù)學(xué)。韋達(dá)第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使用字母來(lái)表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來(lái)了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步。韋達(dá)討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達(dá)定理”）。人們?yōu)榱思o(jì)念他在代數(shù)學(xué)上的功績(jī)，稱他為“代數(shù)學(xué)之父”。 韋達(dá)定理說(shuō)的是：設(shè)一元二次方程有二實(shí)數(shù)根，則。這兩個(gè)式子反映了一元二次方程的兩根之積與兩根之和同系數(shù)a，b，c的關(guān)系。其逆命題：如果滿足，那么是一元二次方程的兩個(gè)根也成立。韋達(dá)定理的應(yīng)用有一個(gè)

2、重要前提，就是一元二次方程必須有解，即根的判別式。韋達(dá)定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在初中數(shù)學(xué)教學(xué)和中考中有著廣泛的應(yīng)用。錦元數(shù)學(xué)工作室將其應(yīng)用歸納為：不解方程求方程的兩根和與兩根積； 求對(duì)稱代數(shù)式的值； 求方程中待定系數(shù)的值； 在二次函數(shù)中的應(yīng)用。下面通過(guò)近年全國(guó)各地中考的實(shí)例探討其應(yīng)用。一、不解方程求方程的兩根和與兩根積：已知一元二次方程，可以直接根據(jù)韋達(dá)定理求得兩根和與兩根積。典型例題：版權(quán)歸福州五佳教育錦元數(shù)學(xué)工作室鄒強(qiáng)，轉(zhuǎn)載必究例1：（2013年內(nèi)蒙古包頭3分）已知方程x22x1=0，則此方程【 】A無(wú)實(shí)數(shù)根 B兩根之和為2 C兩根之積為1 D有一根為例2：（2013年湖北

3、武漢3分）若，是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值是【 】A2 B3 C2 D3例3：（2013年湖南湘潭3分）一元二次方程x2+x2=0的解為x1、x2，則x1x2=【 】A1 B1 C2 D2例4：（2013年四川雅安3分）已知x1，x2是一元二次方程的兩根，則x1x2的值是【 】A0 B2 C2 D4二、求對(duì)稱代數(shù)式的值：應(yīng)用韋達(dá)定理及代數(shù)式變換，可以求出一元二次方程兩根的對(duì)稱式的值。所謂對(duì)稱式，即若將代數(shù)式中的任意兩個(gè)字母交換，代數(shù)式不變（），則稱這個(gè)代數(shù)式為完全對(duì)稱式，如等。擴(kuò)展后，可以視中與對(duì)稱。典型例題：版權(quán)歸福州五佳教育錦元數(shù)學(xué)工作室鄒強(qiáng)，轉(zhuǎn)載必究例1： （2013年內(nèi)蒙古呼和浩特3

4、分）已知，是關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且滿足，則m的值是【 】A3或1 B3 C1 D3或1 例2：（2013年湖北潛江、仙桃、天門、江漢油田3分）已知，是一元二次方程x25x2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則2+2的值為【 】A1 B9 C23 D27例3：（2013年四川瀘州2分）設(shè)x1、x2是方程x2+3x3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為【】A5B5 C1D1例4：（2013年貴州黔東南4分）若兩個(gè)不等實(shí)數(shù)m、n滿足條件：m22m1=0，n22n1=0，則m2+n2的值是 m、n是關(guān)于x的方程x22x1=0的兩個(gè)根。m+n=2，mn=1。例5：（2013年湖

5、北荊門3分）設(shè)x1，x2是方程的兩實(shí)數(shù)根，則= 例6：（2013年四川眉山3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2x3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為、，則（+3）（+3）= 例7：（2013年四川攀枝花4分）設(shè)x1，x2是方程2x23x3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為 例8：（2013年四川自貢4分）已知關(guān)于x的方程，x1、x2是此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，現(xiàn)給出三個(gè)結(jié)論：x1x2；x1x2ab；則正確結(jié)論的序號(hào)是 （填上你認(rèn)為正確結(jié)論的所有序號(hào)）【答案】。綜上所述，正確的結(jié)論序號(hào)是：。三、求方程中待定系數(shù)的值：已知方程兩根滿足某種關(guān)系，則可以利用韋達(dá)定理確定方程中待定字母系數(shù)的值。典型例題：版權(quán)歸福州五佳教育錦元數(shù)學(xué)

6、工作室鄒強(qiáng)，轉(zhuǎn)載必究例1： （2013年廣西桂林3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+a1=0有兩根為x1和x2，且x12x1x2=0，則a的值是【 】Aa=1 Ba=1或a=2 Ca=2 Da=1或a=2例2：（2013年湖北鄂州3分）已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)解，若，則a的值為【】A10 B4 C4 D10故選C。例3：（ 2013年廣西玉林、防城港6分）已知關(guān)于x的方程x2+x+n=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根2，m求m，n的值例4：（2013年湖北荊州9分）已知：關(guān)于x的方程（1）求證：無(wú)論k為何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且|x1x2|=2，求k的值

7、例5：（2013年湖北孝感10分）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)k使得成立？若存在，請(qǐng)求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由四、在二次函數(shù)中的應(yīng)用：一元二次方程ax2bxc(a0)可以看作二次函數(shù)yax2bxc(a0)當(dāng)y0時(shí)的情形，因此若干二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與軸交點(diǎn)的綜合問(wèn)題都可以用韋達(dá)定理解題。典型例題：版權(quán)歸福州五佳教育錦元數(shù)學(xué)工作室鄒強(qiáng)，轉(zhuǎn)載必究例1： （2013年湖南婁底10分）已知：一元二次方程（1）求證：不論k為何實(shí)數(shù)時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)k0，當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B間的距離為4時(shí)

8、，求此二次函數(shù)的解析式；（3）在（2）的條件下，若拋物線的頂點(diǎn)為C，過(guò)y軸上一點(diǎn)M（0，m）作y軸的垂線l，當(dāng)m為何值時(shí)，直線l與ABC的外接圓有公共點(diǎn)？例2：（2013年山東德州4分）函數(shù)與y=x2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，b，則的值為 【答案】2。【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值，整體思想的應(yīng)用。例3：（2013年廣西南寧10分）如圖，拋物線y=ax2+c（a0）經(jīng)過(guò)C（2，0），D（0，1）兩點(diǎn)，并與直線y=kx交于A、B兩點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)E（0，2）且平行于x軸，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N

9、（1）求此拋物線的解析式；（2）求證：AO=AM；（3）探究：當(dāng)k=0時(shí)，直線y=kx與x軸重合，求出此時(shí)的值；試說(shuō)明無(wú)論k取何值，的值都等于同一個(gè)常數(shù)例4：（2013年廣西南寧10分）如圖，拋物線y=ax2+c（a0）經(jīng)過(guò)C（2，0），D（0，1）兩點(diǎn)，并與直線y=kx交于A、B兩點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)E（0，2）且平行于x軸，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N（1）求此拋物線的解析式；（2）求證：AO=AM；（3）探究：當(dāng)k=0時(shí)，直線y=kx與x軸重合，求出此時(shí)的值；試說(shuō)明無(wú)論k取何值，的值都等于同一個(gè)常數(shù)例5：（2013年湖北黃石10分）如圖1所示，已知直線與x軸、y軸分別交于

10、A、C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y取最大值.（1）求拋物線和直線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線AC上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若直線與（1）中所求的拋物線交于M、N兩點(diǎn)，問(wèn):是否存在a的值，使得MON=900？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；猜想當(dāng)MON900時(shí)，a的取值范圍（不寫過(guò)程，直接寫結(jié)論）.（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），則M，N兩點(diǎn)間的距離為）例6：（2013年湖北武漢12分）如圖，點(diǎn)P是直線l：上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的另一條直線m交拋物線y=x2于A、B兩點(diǎn)（1）若直線m的解析式為，求A、B兩點(diǎn)的坐

11、標(biāo)； （2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，t），當(dāng)PAAB時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)； 試證明：對(duì)于直線l上任意給定的一點(diǎn)P，在拋物線上都能找到點(diǎn)A，使得PAAB成立（3）設(shè)直線l交y軸于點(diǎn)C，若AOB的外心在邊AB上，且BPCOCP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)例7：（2013年江蘇南通13分）如圖，直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與x軸正半軸相交于點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)C，設(shè)OCD的面積為S，且。（1）求b的值；（2）求證：點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上；（3）求證：。【答案】解：（1）直線與x軸正半軸相交于點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)C， 令x=0，得；令y=0，得。OC=，OD=。 OCD的面積。 例8：（2013年山東濰坊13分）

12、如圖，拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，且AB=4，點(diǎn)D在拋物線上，直線是一次函數(shù)的圖象，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求拋物線的解析式；（2）若直線平分四邊形OBDC的面積，求k的值.（3）把拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，問(wèn)在y軸正半軸上是否存在一定點(diǎn)P，使得不論k取何值，直線PM與PN總是關(guān)于y軸對(duì)稱？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】解：（1）拋物線關(guān)于直線x=1對(duì)稱，AB=4，A(1，0)，B(3，0) 。 可設(shè)拋物線的解析式為。在y軸上存在一點(diǎn)P（0，2），使直線PM與PN總是關(guān)于y軸對(duì)稱。一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用除了上述內(nèi)容外，還有許多其它應(yīng)用，由于近年中考涉及不多，本文不多詳談。例如，構(gòu)造一元二次方程：如果我們知道問(wèn)題中某兩個(gè)字母的和與積，則可以利用韋達(dá)定理構(gòu)造以這兩個(gè)字母為根的一