空間點(diǎn)線面位置關(guān)系(一)

1、2.1 空間點(diǎn)、線、平面之間的位置關(guān)系空間點(diǎn)、線、平面之間的位置關(guān)系1.平面的基本知識(shí)平面的基本知識(shí)(1)平面與我們學(xué)過的點(diǎn)、直線、集合等概念一樣都是平面與我們學(xué)過的點(diǎn)、直線、集合等概念一樣都是最基本的概念最基本的概念，即為不加定義的原始概念，即為不加定義的原始概念.(2)平面的基本特征是平面的基本特征是無限延展性無限延展性.平面是理想的，絕對的平（平面是處處平直的面）；平面是理想的，絕對的平（平面是處處平直的面）；平面沒有大小、沒有厚薄和寬窄，是不可度量的平面沒有大小、沒有厚薄和寬窄，是不可度量的. .光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們熟悉的平面形象，數(shù)學(xué)中光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們熟悉

2、的平面形象，數(shù)學(xué)中的平面概念是現(xiàn)實(shí)平面加以抽象的結(jié)果的平面概念是現(xiàn)實(shí)平面加以抽象的結(jié)果. .思考思考: :能不能說一個(gè)平面長能不能說一個(gè)平面長4 4米米, ,寬寬2 2米？為什么米？為什么? ? 不能不能. .畫法畫法立體幾何中通常用立體幾何中通常用平行四邊形來平行四邊形來表示平面，表示平面， 有時(shí)也用有時(shí)也用圓或三角形等圖形圓或三角形等圖形來表示平面來表示平面.畫平面水平放置時(shí)，畫平面水平放置時(shí)，常把平行四邊形的常把平行四邊形的銳角通常畫成銳角通常畫成45，且橫邊長等于鄰邊且橫邊長等于鄰邊長的長的2倍倍.水平放置水平放置垂直放置垂直放置為了增強(qiáng)立體感，如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，常把它遮

3、為了增強(qiáng)立體感，如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，常把它遮擋的部分用擋的部分用虛線虛線畫出來畫出來.(3)平面的畫法及表示平面的畫法及表示1.平面的基本知識(shí)平面的基本知識(shí)畫出兩個(gè)豎直放置的相交平面畫出兩個(gè)豎直放置的相交平面. .練習(xí)練習(xí)表示方法：表示方法：ABCD把希臘字母把希臘字母 等寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角上，等寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角上，如如平面平面 ，平面，平面 ., 用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母表示，用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母表示，如如平面平面ABCD.用表示平面的平行四邊形的相對的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母表用表示平面的平行四邊形的相

4、對的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母表示，如示，如平面平面AC或者或者平面平面BD.(3)平面的畫法及表示平面的畫法及表示1.平面的基本知識(shí)平面的基本知識(shí)(1)點(diǎn)、線、面的表示點(diǎn)、線、面的表示點(diǎn)點(diǎn)( (元素元素): ):大寫字母大寫字母A A、B B、C C、D D直線直線( (點(diǎn)的集合點(diǎn)的集合): ):小寫英文字母小寫英文字母 或者兩個(gè)大寫英文字母或者兩個(gè)大寫英文字母平面平面( (點(diǎn)的集合點(diǎn)的集合): ):用希臘字母表示用希臘字母表示 ； 用平行四邊形頂點(diǎn)字母或者其相對兩字母表示用平行四邊形頂點(diǎn)字母或者其相對兩字母表示. ., ,a b c, (2)點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系的表示點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)

5、系的表示用集合中的關(guān)系符號(hào)用集合中的關(guān)系符號(hào)元素與集合關(guān)系：元素與集合關(guān)系：集合與集合關(guān)系：集合與集合關(guān)系：,; 2.點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系A(chǔ)Ba點(diǎn)點(diǎn)A在直線在直線a上，記作上，記作點(diǎn)點(diǎn)B不在直線不在直線a上，記作上，記作點(diǎn)點(diǎn)A在平面在平面上，記作上，記作點(diǎn)點(diǎn)B不在平面不在平面上，記作上，記作AB(1)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：(2)點(diǎn)與平面的位置關(guān)系：點(diǎn)與平面的位置關(guān)系：AaBaAB2.點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系(3)直線與平面的位置關(guān)系：直線與平面的位置關(guān)系：按公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分三類按公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分三類直線直線a與平面與平面有且只有一個(gè)

6、公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，稱直線，稱直線a與平面與平面相交相交.記為：記為：直線直線a與平面與平面沒有公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)，稱直線，稱直線a與平面與平面平行平行. .記為：記為：aA Aaa直線直線a與平面與平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，稱直線，稱直線a在平面在平面內(nèi)，內(nèi)，或稱平面或稱平面通過直線通過直線a. .記為：記為：a公理公理1aA/或aaa注注1：情況和統(tǒng)稱為直線：情況和統(tǒng)稱為直線a在平面在平面外，記作外，記作2.點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系(4)平面與平面的位置關(guān)系：按有否公共點(diǎn)分兩類平面與平面的位置關(guān)系：按有否公共點(diǎn)分兩類a當(dāng)兩個(gè)不同平面當(dāng)兩個(gè)不同平面與平面與

7、平面有公共點(diǎn)有公共點(diǎn)時(shí)，它們的公共點(diǎn)組成時(shí)，它們的公共點(diǎn)組成直線直線a，稱平面稱平面與平面與平面相交相交. .記作：記作：當(dāng)平面當(dāng)平面與平面與平面沒有公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)時(shí)，稱平面時(shí)，稱平面與平面與平面平行平行. .記作：記作：公理公理3a /或 注注2：當(dāng)平面：當(dāng)平面上的所有點(diǎn)都在平面上的所有點(diǎn)都在平面上時(shí)，稱平面上時(shí)，稱平面與平面與平面重合重合.公理公理2（當(dāng)兩個(gè)平面有不共線的三個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面重合（當(dāng)兩個(gè)平面有不共線的三個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面重合)2.點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系小結(jié)：用數(shù)學(xué)符號(hào)來表示點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系：小結(jié)：用數(shù)學(xué)符號(hào)來表示點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)

8、系：BaaAbaAAB練習(xí)練習(xí)AaBaABaabA/或aaa /或 平面平面與平面與平面重合重合桌面桌面AB觀察下列問題，你能得到什么結(jié)論？觀察下列問題，你能得到什么結(jié)論？直尺落在桌面上（直線直尺落在桌面上（直線AB在平面在平面內(nèi)）內(nèi)）3.平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì),且Al BlABl 圖形語言：圖形語言：ABl(1)公理公理1：若一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，若一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)， 則這條直線在此平面內(nèi)則這條直線在此平面內(nèi).符號(hào)符號(hào)語言：語言：該該公理反映了直線與平面的位置關(guān)系：公理反映了直線與平面的位置關(guān)系：可用于判定直線是否在平面內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)，又可用于判定直線是否在平面

9、內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)，又可用直線檢驗(yàn)平面可用直線檢驗(yàn)平面.3.平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)CBA觀察下列問題，你能得到什么結(jié)論？觀察下列問題，你能得到什么結(jié)論？自行車需要一個(gè)支腳架就可以保持平衡自行車需要一個(gè)支腳架就可以保持平衡.3.平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)ABC(3)公理公理2： 經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面., ,不共線有且只有一個(gè)平面 ，使得A B CABC圖形語言：圖形語言：符號(hào)語言：符號(hào)語言：定義定義的說明：的說明：過不在一條直線上的四點(diǎn)，不一定有平面過不在一條直線上的四點(diǎn)，不一定有平面.故要充分重視故要充分重視“不在不在一條

10、直線上的三點(diǎn)一條直線上的三點(diǎn)”這一條件；這一條件；“有且只有一個(gè)有且只有一個(gè)”強(qiáng)調(diào)的是存在性和唯一性兩方面，不能用強(qiáng)調(diào)的是存在性和唯一性兩方面，不能用“只只有一個(gè)有一個(gè)”替代；替代；確定一個(gè)平面的確定一個(gè)平面的“確定確定”是是“有且只有有且只有”的同義詞的同義詞.3.平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)推論推論2 2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面. .推論推論3 3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面. .baab推論推論1 1 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn), ,有且只有一個(gè)平面有且只有一個(gè)平面. .

11、ABCa注注3：公理公理2及其三個(gè)推論是確定平面以及判斷兩個(gè)平面重合的依據(jù)，及其三個(gè)推論是確定平面以及判斷兩個(gè)平面重合的依據(jù)，是證明點(diǎn)、線共面的依據(jù)，也是作截面、輔助平面的依據(jù)是證明點(diǎn)、線共面的依據(jù)，也是作截面、輔助平面的依據(jù).ABC公理公理2： 經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.練習(xí)3.平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)思考：兩個(gè)平面會(huì)不會(huì)只有一個(gè)公共點(diǎn)呢？思考：兩個(gè)平面會(huì)不會(huì)只有一個(gè)公共點(diǎn)呢？不會(huì)！因?yàn)槠矫媸菬o限延展的不會(huì)！因?yàn)槠矫媸菬o限延展的.因此，兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，必然有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，因此，兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，必然有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，并且

12、這些公共點(diǎn)在一條直線上并且這些公共點(diǎn)在一條直線上.3.平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)且PlPlPl(2)公理公理3：若兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，若兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)， 則它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線則它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.圖形語言：圖形語言：符號(hào)語言：符號(hào)語言：該該公理反映了平面與平面的位置關(guān)系：公理反映了平面與平面的位置關(guān)系：i)該公理是用以判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)：該公理是用以判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)：只要兩個(gè)平面有一個(gè)只要兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，就可判定這兩個(gè)平面必相交于過該點(diǎn)的一條直線公共點(diǎn)，就可判定這兩個(gè)平面必相交于過該點(diǎn)的一條直線.(找兩個(gè)面的交線只要找出兩個(gè)

13、面的兩個(gè)公共點(diǎn)即可找兩個(gè)面的交線只要找出兩個(gè)面的兩個(gè)公共點(diǎn)即可)ii)該公理可用以判定點(diǎn)在直線上：該公理可用以判定點(diǎn)在直線上：點(diǎn)是某兩平面的公共點(diǎn)，線點(diǎn)是某兩平面的公共點(diǎn)，線是這兩個(gè)平面的公共交線，則該點(diǎn)在交線上是這兩個(gè)平面的公共交線，則該點(diǎn)在交線上.3.平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì),D, 例1 已知求證:直線,共面.A B CllAD BD CDA B CDl證明與 確定平面:.DllD 又,.A B Cl lA B C 又即共面.,DBD CD ADAD BD CD 4.點(diǎn)線共面問題點(diǎn)線共面問題例例2 2 已知三角形已知三角形ABCABC的三條邊的三條邊ABAB、BCBC、ACAC與平面與

14、平面分別交于分別交于P P、Q Q、R.R.求證：求證：P、Q、R共線共線.BAQRCP證明：證明：同理同理Q、R也為公共點(diǎn)，也為公共點(diǎn)， 所以所以P、Q、R共線共線.要證明各點(diǎn)共線，只要證明各點(diǎn)共線，只要證明他們是兩個(gè)相要證明他們是兩個(gè)相交平面的公共點(diǎn)交平面的公共點(diǎn).ABCABC.平面平面PABPABC.又平面PP5.證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)的問題證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)的問題例例3 空間四邊形空間四邊形ABCD中，中，E，F(xiàn)分別是分別是AB和和CB上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，G，H分別是分別是CD和和AD上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且EH與與FG相交于相交于K.求證：求證：EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點(diǎn)三條直線相交于同一點(diǎn).分析：分析：已知已知EHFG=K，要證，要證EH，BD，F(xiàn)G共點(diǎn)共點(diǎn).即要證明即要證明B，D，K三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線.而而BD是面是面ABD和面和面CBD的交線的交線.所以所以往證往證K面面ABD面面CBD.而顯然，由而顯然，由EH面面ABD，KEH，可得，可得K面面ABD.同理，由同理，由FG面面CBD，KFG，可得，可得K面面CBD.ABCDEFHGK5.證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)的問題證明三點(diǎn)共線、三線共