正多邊形的有關(guān)計算

1、正多邊形的有關(guān)計算【基礎(chǔ)知識精講】一、定理: 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形.二、正多邊形有關(guān)計算(1)正n邊形角的計算公式：每個內(nèi)角等于(n為大于或等于3的整數(shù))；每個外角每個中心角.(2)正n邊形的其他有關(guān)計算，由于正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形，而每個直角三角形都集中地反映了這個正n邊形各元素之間的關(guān)系，所以，可以把正n邊形的計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，這個直角三角形的斜邊為外接圓半徑R，一條直角邊是邊心距rn，另一條直角邊是邊長an的一半(即)；兩個銳角分別為中心角的一半(即)和一個內(nèi)角的一半(即)或(即90°-).【

2、重點難點解析】重點是把正多邊形的有關(guān)計算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題.難點是通過作正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形的問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.例1.某正多邊形的每個內(nèi)角比其外角大100°，求這個正多邊形的邊數(shù).解：設(shè)此正多邊形的邊數(shù)為n，則各內(nèi)角為，外角為，依題意得：-100°. 解得n9答：這個正多邊形的邊數(shù)為9.例2.如圖7-42，已知：正三角形ABC外接圓的半徑為R，求它的邊長，邊心距、周長和面積.解：連結(jié)OB，過O作OMBC于MBOM60°，OBM30°OMOBR，3BMRa3BC2BMRP33a33RS33SBOC3×R·

3、R2例3.一個正三角形和一個正六邊形的面積相等，求它們邊長的比.解：如圖7-43，設(shè)O，O分別是正三角形ABC，正六邊形EFGHIJ的中心，分別作ODBC于D，作OKGH于K，連OB，OG，則在RtODB中，BOD60°，BDa3，r3ODBD·ctg60°a3，S36SODB6×BD·OD 6××a3×a3a32.在RtOKG中，GOK30°，GKa6r6OKGK·ctg30°a6S612SOGK12××GK×OK 12××a32&#

4、215;a6a62S3S6，a23a26，即a3a2例4.求證：正n邊形的面積Sn等于其周長Pn與邊心距rn的積的一半.證明：如圖7-44，設(shè)O是正n邊形ABC的內(nèi)切圓，其中AB與O相切于D，連OA，OD，OB，知ODAB且ODrn，SOAB·AB·OD··rn.正n邊形有n個如同OAB的等腰三角形，SnnSOABn···rnPnrn.【難題巧解點撥】例1.已知：如圖7-45，O半徑為R，求O內(nèi)接正八邊形的邊長a8，邊心距r8和中心角.解：連結(jié)OA、OB，并作OKAB于點K，中心角AOB45°在RtAOK中，AKO

5、90°，OAR，AOK22.5°故AKOA×sinAOKR·sin22.5°，AK0.3827Ra8AB2AK0.7654R r8OKOA·cosAOKR·cos22.5°0.9239R說明(1)正多邊形的半徑、邊心距和邊長的一半組成的一個直角三角形，有關(guān)正多邊形的計算常常歸結(jié)為解這個直角三角形.(2)若正n邊形的半徑為R，則它的中心角，邊長an2R·sin，邊心距raR·cos.例2.已知如圖7-46，等邊ABC的邊長為a，求其內(nèi)切圓的內(nèi)接正方形DEFG的面積.解：設(shè)BC切O于M，連OM，OB

6、，則OMBC，在RtOMB中，BOM60°BMBCaOMBM·ctgBOMa·ctg60°a連結(jié)OE，作ONEF于N，則OEOMa在RtONE中，EON45°，OEaENOE·sinEONa·aEF2ENaS正方形DEFGEF2(a)2說明解這類問題是正確畫出圖形，構(gòu)造直角三角形，在本題中，由于正三角形內(nèi)切圓O的半徑既是正三角形的邊心距，又是正方形的半徑，所以求出O的半徑是個突破口.【課本難題解答】例.已知：半徑為R的圓內(nèi)接正n邊形的邊長為an，求證：同圓內(nèi)接正2n邊形的面積等于nRan，利用這個結(jié)果，求半徑為R的圓內(nèi)接正八

7、邊形的面積(用代數(shù)式表示).提示：如圖7-47，連結(jié)OA，OB，OAAB，則OAAB，四邊形OAAB的面積等于AB·OARan半徑為R的圓內(nèi)接正2n邊形的面積等于nRan半徑為R的正八邊形的面積等于4Ra42R2【命題趨勢分析】正多邊形的有關(guān)計算是正多邊形和圓的一個重點命題內(nèi)容，主要在各類考試中的填空和選擇題中.【典型熱點考題】例1.已知正六邊形的半徑為3cm，則這個正六邊形的周長為cm.(2000年江蘇南通)分析：轉(zhuǎn)化為直角三角形求出正六邊形的邊長，然后用P66an求出周長.例2.已知正多邊形的邊心距與邊長的比為，則此正多邊形為( ).A.正三角形 B.正方形 C.正六邊形 D.正

8、十二邊形 (2000年浙江臺州)分析：將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形，由直角邊的比知應(yīng)選(B).例3.同圓的內(nèi)接正三角形與內(nèi)接正方形的邊長的比是( )A. B. C. D.(2000年北京石景山)分析：分別求出正三角形、正方形的邊長，知應(yīng)選(A).【同步達綱練習(xí)】一、填空題1.正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成個全等的直角三角形.2.正三角形的半徑為R，則邊長為，邊心距為，面積為.若正三角形邊長為a，則半徑為.3.正n邊形的一個外角為30°，則它的邊數(shù)為，它的內(nèi)角和為.4.如果一正n邊形的一個外角等于一個內(nèi)角的三分之二，則這個正n邊形的邊數(shù)n .5.正六邊形的邊長為1，則它的半徑為，面積為

9、.6.同圓的內(nèi)接正三邊形、正四邊形、正六邊形的邊長之比為.7.正三角形的高半徑邊心距為.8.邊長為1的正六邊形的內(nèi)切圓的面積是.二、選擇題1.正方形的外接圓半徑與內(nèi)切圓的半徑之比是( )A.1 B.21 C.1 D.122.兩圓半徑之比為23，小圓的外切正六邊形與大圓的內(nèi)接正六邊形面積之比為( )A.23 B.49 C.1627 D.433.正三角形的外接圓半徑是4cm，以正三角形的一邊為邊作正方形，則此正方形外接圓半徑長為( )A.8cm B.4cm C.2cm D. cm三、計算題1.已知一個正n邊形的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑分別為20cm，10cm，求：這個多邊形的邊長和面積.2.已知O的半徑為R，求它的內(nèi)接正三角形的內(nèi)切圓的內(nèi)接正方形的周長.【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】1.如圖7-48所示，已知三個等圓A、B、C兩兩外切，E點為A、C的切點，EDBC于D，圓的半徑為1，求DE的長.2. 證明：如果延長正六邊形的各邊，使其兩兩相交，順次連結(jié)各交點，則得一個新的正六邊形，而它的面 積等于原正六邊形面積的三倍.【知識探究學(xué)習(xí)】如圖7-49，ABCD為正方形，E、F分別在BC、CD上，且AEF為正三角形，四邊形ABCD為AEF的內(nèi)接正方形，AEF為正方形ABCD的內(nèi)接正三角形。(1)試猜想與的大小關(guān)系，并證明