2022年2022年高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問題

1、高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問題一，有關(guān)外接球的問題假如一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體,這個(gè)球稱為多面體的外接球. 有關(guān)多面體外接球的問題, 是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn), 也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn).考查同學(xué)的空間想象才能以及化歸才能.爭(zhēng)論多面體的外接球問題,既要 運(yùn)用多面體的學(xué)問, 又要運(yùn)用球的學(xué)問, 并且仍要特別留意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系,而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要的作用.一，直接法 公式法 1，求正方體的外接球的有關(guān)問題例 1 如棱長(zhǎng)為 3 的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,就該球的表面積為 .例 2 一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均

2、在同一球的球面上,如該正方體的表面積為 24 ,就該球的體積為 .2，求長(zhǎng)方體的外接球的有關(guān)問題例 3 一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上,且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為 1,2,3 ,就此球的表面積為.例 4 已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4,體積為 16,就這個(gè)球的表面積為（）.A.16B.20C.24D.32可編輯資料 - - - 歡迎下載3.求多面體的外接球的有關(guān)問題例 5 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形,其側(cè)棱垂直于底面, 已知該可編輯資料 - - - 歡迎下載六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,且該六棱柱的體積為為 3 ,就這個(gè)球的體積為.解 設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為x ,高為 h ,就有

3、9 ,底面周長(zhǎng)8可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載6x396h33 x2 hx1可編輯資料 - - - 歡迎下載842可編輯資料 - - - 歡迎下載正六棱柱的底面圓的半徑r1 ,球心到底面的距離 d23 .外2可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載接球的半徑 Rr 2d 2.體積： V4R3 .3可編輯資料 - - - 歡迎下載小結(jié)此題是運(yùn)用公式 R2r 2d 2 求球的半徑的,該公式是求球的半徑的常用公式 .二，構(gòu)造法 補(bǔ)形法 1，構(gòu)造正方體例 5如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且側(cè)棱長(zhǎng)均為3 ,就其外接球的表面積是 .例 3如三棱錐的三

4、個(gè)側(cè)面兩兩垂直,且側(cè)棱長(zhǎng)均為3 ,就其外接球的表面積是.可編輯資料 - - - 歡迎下載故其外接球的表面積S4r 29.可編輯資料 - - - 歡迎下載小結(jié)：一般地,如一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且其長(zhǎng)度分別為 a, b, c ,就就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體,于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為R ,就可編輯資料 - - - 歡迎下載有 2Ra2b2c2 .顯現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形學(xué)問,聯(lián)系長(zhǎng)方體.可編輯資料 - - - 歡迎下載【原理】：長(zhǎng)方體中從一個(gè)頂點(diǎn)動(dòng)身的三條棱長(zhǎng)分別為a, b, c ,就可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - -

5、歡迎下載體對(duì)角線長(zhǎng)為 la2b2c 2 ,幾何體的外接球直徑為2R 體對(duì)角線長(zhǎng) l可編輯資料 - - - 歡迎下載a 2b 2c2即 R2練習(xí)：在四周體ABCD 中,共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直,其長(zhǎng)度分別為1,6 ,3 ,如該四周體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,求這個(gè)球的表面積.球的表面積為S4 R216例 6 一個(gè)四周體的全部棱長(zhǎng)都為2 ,四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上,就此球的表面積為（）A.3B.4C.33D.6可編輯資料 - - - 歡迎下載例 7已知球 O 的面上四點(diǎn) A ，B，C，D , DA平面 ABC, ABBC ,可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載DAABBC3 ,

6、就球 O 的體積等于.可編輯資料 - - - 歡迎下載解析：此題同樣用一般方法時(shí),需要找出球心,求出球的半徑.而利可編輯資料 - - - 歡迎下載用長(zhǎng)方體模型很快便可找到球的直徑,由于DA平面 ABC, ABBC ,可編輯資料 - - - 歡迎下載聯(lián)想長(zhǎng)方體中的相應(yīng)線段關(guān)系,構(gòu)造如圖4 所示的長(zhǎng)方體,又由于可編輯資料 - - - 歡迎下載DAABBC3 ,就此長(zhǎng)方體為正方體,所以CD 長(zhǎng)即為外接球的直可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載徑,利用直角三角形解出CDD3 .故球 O 的體積等于A9.（如圖 4）2可編輯資料 - - - 歡迎下載OOABCBCD圖 4圖

7、5可編輯資料 - - - 歡迎下載2，例 8（ 2021 年安徽高考題）已知點(diǎn)A ，B，C，D 在同一個(gè)球面上,可編輯資料 - - - 歡迎下載AB平面 BCD, DCBC ,如 AB6, AC213 , AD8 ,就球的體積是可編輯資料 - - - 歡迎下載解析：第一可聯(lián)想到例7,構(gòu)造下面的長(zhǎng)方體,于是AD 為球的直徑, O 為球心, OBOC4 為半徑,要求 B，C 兩點(diǎn)間的球面距離,可編輯資料 - - - 歡迎下載只要求出BOC 即可,在 RtABC 中,求出 BC4 ,所以BOC60,可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載故 B，C 兩點(diǎn)間的球面距離是4.（如

8、圖 5）3可編輯資料 - - - 歡迎下載本文章在給出圖形的情形下解決球心位置，半徑大小的問題.三.多面體幾何性質(zhì)法例.已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4,體積為 16,就這個(gè)球的表面積是A. 16B. 20C. 24D. 32.小結(jié) :此題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.四.尋求軸截面圓半徑法例正四棱錐 SABCD 的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為2 ,點(diǎn)S, A, B,C , D 都在同一球面上,就此球的體積為S解:設(shè)正四棱錐的底面中心為O1 ,外接球的球心為 O ,可編輯資料 - - - 歡迎下載如圖 1 所示.由球的截面的性質(zhì),可得OO1平面 AB

9、CD .DC O1可編輯資料 - - - 歡迎下載又 SO1平面 ABCD ,球心 O 必在SO1 所在的直線上 .A圖3B可編輯資料 - - - 歡迎下載ASC的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓,外接圓的半徑就是外接球的半徑.可編輯資料 - - - 歡迎下載在ASC中,由 SASC2 , AC2,得SA2SC2AC 2 ,可編輯資料 - - - 歡迎下載ASC是以 AC為斜邊的直角三角形.可編輯資料 - - - 歡迎下載 AC21 是外接圓的半徑,也是外接球的半徑.故V球.43可編輯資料 - - - 歡迎下載小結(jié) :依據(jù)題意,我們可以選擇正確角度找出含有正棱錐特點(diǎn)元素的外接球的一個(gè)軸截面圓,

10、于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.此題供應(yīng)的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法,該方 法的實(shí)質(zhì)就是通過查找外接球的一個(gè)軸截面圓,從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來爭(zhēng)論.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們 學(xué)習(xí).五 .確定球心位置法可編輯資料 - - - 歡迎下載例 5在矩形 ABCD 中,AB4, BC3 ,沿 AC 將矩形 ABCDD可編輯資料 - - - 歡迎下載折成一個(gè)直二面角B積為ACD ,就四周體 ABCD 的外接球的體AOC可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載A. 125B. 125C. 125D. 125圖4B可編輯資料 - - - 歡迎

11、下載12963解:設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為O ,就由矩形對(duì)角線相互平分,可編輯資料 - - - 歡迎下載可知 OAOBOCOD .點(diǎn) O 到四周體的四個(gè)頂點(diǎn)A, B ,C , D的距離相可編輯資料 - - - 歡迎下載等,即點(diǎn) O 為四周體的外接球的球心,如圖2 所示.外接球的半徑可編輯資料 - - - 歡迎下載ROA5 .故V球24R33125.6可編輯資料 - - - 歡迎下載顯現(xiàn)兩個(gè)垂直關(guān)系,利用直角三角形結(jié)論.【原理】：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.球心為直角三角形斜邊中點(diǎn).可編輯資料 - - - 歡迎下載【例題】：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O 的球面上, ABBC 且可編輯資料 - -

12、 - 歡迎下載PA7, PB5, PC51, AC10 求球 O 的體積.可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載解： ABBC 且 PA7, PB5, PC51, AC10可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載由于7 2512102所以知 :AC 2PA 2PC 2可編輯資料 - - - 歡迎下載所以APPC所以可得圖形為：在 RtABC 中斜邊為 AC在 RtAPC 中斜邊為 AC取斜邊的中點(diǎn),在 RtABC 中 OAOBOC可編輯資料 - - - 歡迎下載在 RtAPC 中 OPOBOC可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - -

13、- 歡迎下載所以在幾何體中 OPOBOCOA ,即為該四周體的外接球的球心可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載RAC52所以該外接球的體積為V球4R335003可編輯資料 - - - 歡迎下載【總結(jié)】斜邊一般為四周體中除了直角頂點(diǎn)以外的兩個(gè)點(diǎn)連線.可編輯資料 - - - 歡迎下載1. （陜西理.6）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1 的球面上,其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上,就該正三棱錐的體積是（）可編輯資料 - - - 歡迎下載A3 34B 3C33D 3412可編輯資料 - - - 歡迎下載答案B2. 直三棱柱 ABCA1 B1C1 的各頂點(diǎn)都在同一球面上

14、,如可編輯資料 - - - 歡迎下載ABACAA12 ,BAC120,就此球的表面積等于.可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載解: 在ABC 中ABAC2 ,BAC120,可得 BC23 ,由正弦定理 ,可可編輯資料 - - - 歡迎下載得ABC外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為 O ,球心為 O ,在 RTOBO 中,易得可編輯資料 - - - 歡迎下載球半徑 R5 ,故此球的表面積為4R220.可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載3正三棱柱ABCA1 B1C1 內(nèi)接于半徑為 2 的球,如A, B 兩點(diǎn)的球面距離可編輯資料 - - - 歡迎

15、下載為,就正三棱柱的體積為 答案84. 表面積為 23的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,就此球的體積為可編輯資料 - - - 歡迎下載A 23B 1 3C 23D223可編輯資料 - - - 歡迎下載答案A【解析】 此正八面體是每個(gè)面的邊長(zhǎng)均為a 的正三角形,所以由 3a2823 知,4可編輯資料 - - - 歡迎下載a1 ,就此球的直徑為2 ,應(yīng)選 A.可編輯資料 - - - 歡迎下載5. 已知正方體外接球的體積是32,那么正方體的棱長(zhǎng)等于（）3可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載A.22B.233D. 43 3C. 42 3可編輯資料 - - - 歡迎下載答

16、案D6. （2006 山東卷） 正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為 A .1 3B .1 3C.1 33D. 1 9答案C7. （ 2021海 南 ， 寧 夏 理 科 ） 一 個(gè) 六 棱 柱 的 底 面 是 正 六 邊形,其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,且可編輯資料 - - - 歡迎下載該 六 棱 柱 的 體 積 為 98, 底 面 周 長(zhǎng) 為3 , 就 這 個(gè) 球 的 體 積 為可編輯資料 - - - 歡迎下載答案438. （2007 天津理.12）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上,且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為 1,2,3,就此球的表面積為答案149.（ 2007 全國(guó)理.15）一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2 cm可編輯資料 - - - 歡迎下載的球面上.假如正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1 cm,那么該棱柱的表面積為cm2.答案24210.（ 2006遼寧） 如圖,半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱