第1章函數(shù)與極限(20211110010138)

1、高等數(shù)學(xué)案例數(shù)據(jù)擬合問題【實驗?zāi)康摹?. 加深對函數(shù)根本概念的理解2討論了函數(shù)的實際應(yīng)用問題3.掌握Matlab軟件中有關(guān)函數(shù)、畫圖等命令 【實驗要求】掌握函數(shù)根本知識，Matlab軟件 【實驗內(nèi)容】某研究所為了研究氮肥(N)的施肥量與土豆產(chǎn)量的影響，做了十次實驗，實 驗數(shù)據(jù)見表1,其中ha表示公頃，t表示噸，kg表示千克。試分析氮肥的施肥量 與土豆產(chǎn)量之間的關(guān)系。表1氮肥施肥量與土豆產(chǎn)量關(guān)系的實驗數(shù)據(jù)施肥量x(kg/ha)03467101135202259336404471產(chǎn)量y(t/ha)15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75【

2、實驗方案】設(shè)y代表土豆產(chǎn)量，x代表氮肥的施肥量。顯然，y和x之間應(yīng)該有某種關(guān)系， 假設(shè)y與x之間的關(guān)系為函數(shù)關(guān)系，那么問題就轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù)點(xi,yi)位置關(guān)系， 尋找函數(shù)y=y(x)。這就是數(shù)據(jù)擬合問題。所謂數(shù)據(jù)擬合，就是從一組實驗數(shù)據(jù)點(Xi,yi)出發(fā)，尋找函數(shù)y=y(x)的一個近 似表達(dá)式y(tǒng)=f(x)(稱為經(jīng)驗公式)。從幾何上看，就是希望根據(jù)給定的這些數(shù)據(jù)點 (xi,yj，求曲線y=y(x)的一條近似曲線y=f(x)。近似曲線y=f(x)不必過每一個數(shù)據(jù) 點，但如果近似曲線的效果要好的話，那么數(shù)據(jù)點(Xi,yi)離近似曲線的距離應(yīng)該盡量小。用偏差平方和函數(shù)W八(f(Xi)-yJ2i來刻畫

3、近似曲線的效果，偏差平方和函數(shù)越小那么近似曲線的擬合效果越好，因此最好的近似曲線應(yīng)該滿足 mi(f(xi)-yi)2.i多項式函數(shù)由于性質(zhì)良好，計算方便，常常用來進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合?？梢钥紤]采用1，x，x2作為基函數(shù)來擬合這組數(shù)據(jù)(即用二次多項式函數(shù)ao+aix+a2x2作為經(jīng)驗公式)，此時偏差平方和函數(shù)為n22W=(a0+a1xi +a2xi -yi)i=1其中n為數(shù)據(jù)點的數(shù)目。要使偏差平方和函數(shù) W最小，需要nnn2na° +印乞 xyi 二7i 二nnnn23* a°瓦 務(wù) +aQ Xi +a Xj =E 紗i1i4i4ynnnna°送 x2 +a x；+a2送

4、x：=送 x：%、.i£i=1yi=1(該方程組稱為法方程組)，將實驗數(shù)據(jù)(Xiy)代入上式，解得a0=14.7391,cJ=O.1973139,c2=-O.OOO339492即擬合函數(shù)為2從圖1-1O可以看出擬合效果比擬好，但是是否還可以更好呢？ 一般而言，擬合 次數(shù)的提高可以使得擬合效果變好，但是并不是次數(shù)越高越好?，F(xiàn)在提高擬合次數(shù)，將基函數(shù)由1, x，x2修改為1，x，x2, x3(三次擬合)，1，x，x2, x3, x(四 次擬合)，得到擬合圖1-11至圖1-14。從圖形可以看出擬合曲線的次數(shù)在二、 三、四、五次擬合的效果都相差不大， 但是高次擬合效果反而不理想，例如本例中的

5、八次擬合，所以在本例中使用二次 擬合效果就比擬好了，擬合函數(shù)為2)2【實驗過程】>>clear>>x=0 34 67 101 135 202 259 336 404 471;>>y=15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 3O.75;>>p=polyfit(x,y,2);>>disp( nu m2str(p(1),'*xA2+' ,nu m2str(p(2),'*x+' ,n um2str(p(3);>>xx=li nspa

6、ce(0,471,100);>>yy=poiyvai(p,xx)；>>plot(x,y,'r*',xx,yy)運(yùn)行結(jié)果：4510o1002003004005004640353025100200300400500圖1-14八次擬合復(fù)利問題【實驗?zāi)康摹?加深對函數(shù)極限概念的理解2. 討論極限在實際問題中的應(yīng)用3會用Matlab命令求函數(shù)極限【實驗要求】掌握極限概念，Matlab軟件求函數(shù)極限的命令limit【實驗內(nèi)容】復(fù)利，即利滾利。不僅是一個經(jīng)濟(jì)問題，而且是一個古老又現(xiàn)代的經(jīng)濟(jì)社會 問題。隨著商品經(jīng)濟(jì)的開展，復(fù)利計算將日益普遍，同時復(fù)利的期限將日益變短，

7、即不僅用年息、月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息率?，F(xiàn)在我們已進(jìn)入 電子商務(wù)時代，允許儲戶隨時存款或取款，如果一個儲戶連續(xù)不斷存款和取款， 結(jié)算本息的頻率趨于無窮大，每次結(jié)算后將本息全部存入銀行，這意味著銀行不 斷地向儲戶支付利息，稱為連續(xù)復(fù)利問題。假設(shè)銀行一年活期年利率為0.06,那么儲戶存10萬元的人民幣，如果銀行允許 儲戶在一年內(nèi)可任意次結(jié)算，在不計利息稅的情況下，由于復(fù)利，顯然這比一年 結(jié)算一次要多，因為屢次結(jié)算增加了復(fù)利。結(jié)算越頻繁，獲利越大。連續(xù)復(fù)利會 造成總結(jié)算額無限增大嗎？隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，一年后該儲戶是否會成為百萬富翁？【實驗方案】設(shè)本金為p，年利率為r，假設(shè)一年分

8、為n期即儲戶結(jié)算頻率為n，每期利率 為r/n,存期為t年，依題意，第一期到期后利息為本金*利率=p*r/ n第一期到期后的本利和是本金 +利息=p+p*r/ n=p(1+r/ n)因規(guī)定按復(fù)利計息，故第二期開始時的本金為p(1+r/n),第二期到期后的利息 應(yīng)為本金 * 利率=p(1+r/n)*r/ n第二期到期后的本利和是2本金 + 禾丄息=p(1+r/n)+ p(1+r/n)*r/ n =p(1+r/n)第n期到期后的本利和是p(1+r/n)n存期為t年(事實上是有tn期)，到期后的本利和為p(1+r/n)tn隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，即在上式中n-3 t=1年后本息共計lim 1 0 00

9、1+0 )n 仟/106184萬元)n_j:隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，一年后本息總和將穩(wěn)定于 10.6184萬元，儲戶并不能 通過該方法成為百萬富翁。實際上，假設(shè)年利率為 r，一年結(jié)算無限次，總結(jié)算額 有一個上限，即100000*exp(r)元。它說明在n-x時，結(jié)果將穩(wěn)定于這個值。而 且用復(fù)利計息時，只要年利率不大，按季、月、天連續(xù)計算所得結(jié)果相差不大。【實驗過程】>> syms n>> a=limit(100000*(1+0.06/n)A n,n,infa =100000*exp(3/50)一年結(jié)算無限次，總結(jié)算額有上限為>> syms n r>&g

10、t;a=limit(100000*(1+r/n)A n,n,infa =100000*exp(r)最優(yōu)價格問題【實驗?zāi)康摹?加深對微分求導(dǎo)，函數(shù)極值等根本概念的理解2. 討論微分學(xué)中的實際應(yīng)用問題3. 會用Matlab命令求函數(shù)極值【實驗要求】掌握函數(shù)極值概念，Matlab軟件中有關(guān)求導(dǎo)命令diff【實驗內(nèi)容】某房地產(chǎn)公司擁有100套公寓當(dāng)每套公寓的月租金為1000元時，公寓全部 租出。當(dāng)月租金每增加25元時，公寓就會少租出一套。1請你為公司的月租金定價，使得公司的收益最大，并檢驗結(jié)論2. 假設(shè)租出去的公寓每月每套平均花費20元維護(hù)費，又應(yīng)該如何定價出租，才能使公司收益最大【實驗方案】1. 方

11、法一：設(shè)每套公寓月租金在1000元根底上再提高x元，每套租出公寓實際月收入 為(1000 x)元，共租出(100- )套。25收益R(x)= (1000 mo。吩)(g < 2500)R x)= 60 -2x252令R x)=0,解得駐點x=750。R'x)二-三<0,故R(x)在x=750處取得極大值。25在0,2500上只有一個駐點，故 R ( x )在x=750處取最大值。即每套公寓的月 租金為1750元時，才能使公司收益最大。檢驗：x=1750元，少租出1750 1000 =30套，實際租出70套，公司有租金收入251750*70=122500元。比100套全部租出

12、時公司租金收入 1000*100=100000元多 22500 元。方法二：設(shè)每套公寓月租金為x元，少租出x-1000套，實際租出100 X-1000套2525x _1000收益R(x)= x(100) (1000 政 < 3500)252xR' 乂)=140 -25令R x)=0,解得駐點x=1750(每套公寓租金)檢驗討論如方法一2. 設(shè)每套公寓月租金在1000元再提高x元，每套租出公寓實際月租金收入是x(1000+x-20)元，共租出 100 - 套25x收益R(x)= (1000 x-20)(100) (0 § < 2500)25x1R' x)=1

13、00+(980+x)()25252令R x)=0,解得駐點x=760。R，x)=-<0,故R(x)在x=760處取得極大值。25在0,2500上只有一個駐點，故 R ( x )在x=760處取最大值。即每套公寓的月 租金為1760元時，才能使公司收益最大?！緦嶒炦^程】(1) 方法一>>f=i nlin e('-(1000+x)*(100-x/25)')%通過內(nèi)聯(lián)函數(shù)建立函數(shù) f,定義求最大值的語句函數(shù)，注意負(fù)號 %>>a=fmi nbn d(f,0,2500)>>x=_f(a)Inline fun ctio n:f(x) = -(100

14、0+x)*(100-x/25)750122500方法二>> f=i nlin e('-x*(100-(x-1000)/25)')>>a=fm inbn d(f,1000,3500)>>x=_f(a)f =Inline fun ctio n:f(x) = -x*(100-(x-1000)/25)a =1750x =122500(2) >> f=i nli ne('-(980+x)*(100-x/25)') >>a=fmi nbn d(f,0,2500)f =Inline fun ctio n:f(x) =

15、 -(980+x)*(100-x/25)a =760實驗二效果最正確問題【實驗?zāi)康摹?利用積分概念、函數(shù)最大值最小值理論，解決實際最優(yōu)化問題2. 掌握符號求導(dǎo)的實際應(yīng)用3. 熟悉Matlab命令求函數(shù)積分，解代數(shù)方程【實驗要求】 掌握函數(shù)最大值最小值理論，Matlab軟件求導(dǎo)命令、解方程的 命令【實驗內(nèi)容】洗過的衣服含有洗衣粉殘液，現(xiàn)用總量為A m3的清水漂洗，漂洗一遍再甩 干后衣服上有a m3的洗衣粉殘液。假設(shè)規(guī)定漂洗兩遍，問如何分配水兩次的用水 量，才能使漂洗效果最正確？【實驗方案】設(shè)第一次用水量為x m3,那么第二次用水量為A-x m3。并設(shè)漂洗前衣服上 含有的a m3的洗衣粉殘液中洗衣

16、粉占b m3.第一次加水后，水中洗衣粉所占百分比為，將水放掉甩干后，殘液中洗衣粉含量為b_*abab第二次加水后，水中洗衣粉所占百分比為a xaba A-x (a x)(a A_x)，將水放掉甩干后，殘液中洗衣粉含量為f (x)二a b(a x)(a*ax牛a 妁a A x兩次漂洗后效果最正確就是漂洗后殘液中洗衣粉含量f (x)最小，為此只要求g(x)=(a+x)(a+A-x)(0<x<A)的最大值。g' (x)=(a+A)-(a+x)=A-2x令 g' (x)=0軍得 x= A，因 g (x)=2<0,故 g(A )=(a+A )2為最大。2 2 2a2b(

17、ay)24a2b(2 a A)2為最小。因此，將A m3的清水平分為兩次使用可使漂洗效果最正確【實驗過程】>> syms x a A>> f=(a+x)*(a+A_x);>> b=diff(f,x);>>solve(b)ans = 1/2*A實驗三相關(guān)變化率【實驗?zāi)康摹?加深對復(fù)合函數(shù)、相關(guān)變化率的理解2. 通過實例學(xué)習(xí)用微分知識解決實際問題3. 熟悉Matlab命令求復(fù)合函數(shù)，符號函數(shù)求微分 【實驗要求】掌握復(fù)合函數(shù)求微分、相關(guān)變化率應(yīng)用，熟練應(yīng)用Matlab軟件中求復(fù)合函數(shù)，符號函數(shù)求微分命令【實驗內(nèi)容】有一個長度為5m的梯子貼靠在垂直的墻上

18、，假設(shè)其下端沿地板以3m/s的速率離開墻腳而滑動，求1當(dāng)其下端離開墻腳1.4m時，梯子的上端下滑之速率為多少？2何時梯子的上下端能以相同的速率移動？3. 何時其上端下滑之速率為4m/s?【實驗方案】設(shè)t=0時，梯子貼靠在墻上，在時刻t 秒時，梯子上端離t=0時位置的距離為S米，梯子下端離開墻腳的距離為 x米，那么有x=3t, S=5- 52 -X2 見圖2-3圖2-3梯子示意圖dS dS dx -2x 3x1. 梯子的上端下滑之速率*3 =dt dx dt一2Y52x2£25x2dS 3* 1 4當(dāng) x=1.4m 時，/ 1.40.875( m/ s).dt125-1.422.梯子上

19、、下端相同速率處,dSdtdxdt_3x_25 -x2解得X2誇5.2:3.54, x 二舍去，即當(dāng)梯子下端離開墻腳的距離是3.54m時，梯子的上、下端的相同的速率移動3. 齊4'即一2二廠4'解得x=4，-4舍去.即當(dāng)梯子下端離墻腳4m時淇上端下滑之速度為4m/s.【實驗過程】(1) >> syms x t>> f=5-sqrt(5A2-xA2);>> x=3*t;>> a=compose(f,x);>> c=diff(a,t);>> b=subs(c,'t','x/3')

20、;>> d=subs(b,'x','1.4');>> nu meric(d)ans =0.8750(2) >> syms x>> a=solve('(3*x)/sqrt(25-xA2)-3','x')a =5/2*2 A(1/2)(3) >> syms x>> a=solve('(3*x)/sqrt(25-xA2)-4','x') a =4樹的高度問題【實驗?zāi)康摹?. 加深對積分概念的理解2. 使用積分理論解決實際問題3. 熟悉

21、Matlab命令求不定積分，解數(shù)值方程【實驗要求】掌握積分概念，Matlab軟件中求不定積分命令【實驗內(nèi)容】有一種快速生長的樹，為了衡量它是否有種植的經(jīng)濟(jì)價值如作為木柴，人們要求該樹在5年內(nèi)t=6，在種植時已生長一年至少生長 6m，如果樹的生長速 度為1.2+5t-4m/年，爛1，其中t為年數(shù).假設(shè)種植時t=1，樹已有1m高，試問 種植此樹是否有經(jīng)濟(jì)價值。【實驗方案】樹的高度，由題意可得5 oht二1.2 5t dt =1.2t t C,3將h1 =1代入，得 1 =1.2 -5 C32215h(t) =6t 趕絲,5 3t 15h(6) 一*6 : 8.66(m)，53* 6315即種植樹5

22、年后，樹高8.66m,比種植時的1m長高了 7.66m,超過至少生長6m 的要求，種植此樹有經(jīng)濟(jì)價值?！緦嶒炦^程】>> syms t>> f=in t(1.2+5*tA(-4)f =6/5*t-5/3/tA3>> clear>> syms c>> c=solve('1.2-5/3+c-1','c')c =1.4666666666666666666666666666667還款問題【實驗?zāi)康摹?加深了解一元函數(shù)積分法2. 定積分在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的實際應(yīng)用3. 熟悉Matlab命令求定積分，解一元數(shù)值方程【實驗要

23、求】掌握定積分概念，Matlab軟件求定積分【實驗內(nèi)容】現(xiàn)購置一棟別墅價值300萬元，假設(shè)首付50萬元，以后分期付款，每年付款數(shù)目 相同。10年付清，年利率為 6%，按連續(xù)復(fù)利計算，問每年應(yīng)付款多少？(e-0.6 ： 0.5448)【實驗方案】每年付款數(shù)目相同，共10年，這是均勻現(xiàn)金流，付款總值的現(xiàn)在值等于現(xiàn)價扣 去首付。這類問題屬于貼現(xiàn)問題，假設(shè)第 t年還款為a萬元，那么第t年還款的貼現(xiàn) 值為ae"04t，n年的貼現(xiàn)值為nae.04tdt依題意：設(shè)每年付款 A萬元，那么第t年付款的現(xiàn)在值，由連續(xù)貼現(xiàn)公式應(yīng)為Ae°06t，因付款流總值為250萬元，即有25O=f0Aeq&#

24、176;6tdt,A-006*10A250(1 -e )* 0.4552,0.060.06得A=33.2447 (萬元)，故每年應(yīng)付款33.2447萬元。【實驗過程】>> clear>> syms t A>> a=i nt(A*exp(-0.06*t),0,10)-50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A>> b=solve('-50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A-250','A')b =-15/(exp(-3/5)-1)生日蛋糕問題【實驗?zāi)康摹?. 應(yīng)用數(shù)值積分方法，加深對積分概念的理解2. 通

25、過實例學(xué)習(xí)用數(shù)值積分知識解決面積、體積計算等實際應(yīng)用問題3. 學(xué)習(xí)使用Matlab軟件中有關(guān)積分計算的命令【實驗要求】掌握積分概念，Matlab軟件中有關(guān)積分計算的命令【實驗內(nèi)容】一個數(shù)學(xué)家即將要迎來他九十歲生日， 有很多的學(xué)生要來為他祝壽，所以要定做 一個特大蛋糕。為了紀(jì)念他提出的一項重要成果一一口腔醫(yī)學(xué)的懸鏈線模型， 他 的弟子要求蛋糕店的老板將蛋糕邊緣圓盤半徑做成以下懸鏈線函數(shù)：r=2-(exp(2h)+exp(-2h)/5，0<h<1(單位 m)由于蛋糕店從來沒有做過這么大的蛋糕，蛋糕店的老板必須要計算一下本錢。 這主要涉及兩個問題的計算：一個是蛋糕的質(zhì)量，由此可以確定需要

26、多少雞蛋和面 粉；另一個是蛋糕外表積(底面除外)，由此確定需要多少奶油?！緦嶒灧桨浮渴紫确治鲆粋€圓盤形的單層蛋糕，如下圖，圖3-4單層蛋糕繞水平中心軸旋轉(zhuǎn)而成，假設(shè)高為 H (m)，半徑為r(m)，密度為k(kg/m3)，那么蛋糕的質(zhì)量W (kg)和外表積S (m2)為2W = k r H2S=2：rH： r如果蛋糕是雙層圓盤的，如下圖：繞水平中心軸旋轉(zhuǎn)而成，每層高為H/2，下層蛋糕半徑為ri,上層蛋糕半徑為2, 此時蛋糕的質(zhì)量和外表積為W = kH 2 rk；r H2= : k(2 r 22 > H22 2S = 2： r1 H/2 2二r2 H /2 r1 -二(* r2)H 亠 *

27、以此類推，如果蛋糕是n層的，圖3-6多層蛋糕每層高為H/n,半徑分別為ri,2,，rn,那么蛋糕的質(zhì)量和外表積為H n 2W = kirn i弓S =2二 二 rj n i 二事實上，蛋糕邊緣圓盤半徑(0<h<1)r 寸(h) =2 -(exp(2h) exp( -2h)/5那么當(dāng)nfx, H=1時W * 旦 J ri2n i呂1 2f k二 or2(h)dhS =2二二f 2二1r n im(h)dh 二 r(0)2此時，數(shù)學(xué)家的生日蛋糕問題就轉(zhuǎn)化為求上面兩個數(shù)值積分?！緦嶒炦^程】>> syms h>> r=2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5;

28、i>> quadl('pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5).A2',0,1)%求積分二 °r (h)dh ,也可以用 int 命令ans =5.4171>> r0=subs(r,h,0)r0 =1.6000>> quadl('2*pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5)',0,1)+pi*r0A2 ans =16.0512 求得該數(shù)學(xué)家的生日大蛋糕的質(zhì)量和外表積為2W =5.4171 k (kg) ， S =16.0512(m 2)地球外表的氣溫分布【實驗?zāi)康摹?1加深對空間曲線和

29、曲面的理解和認(rèn)識 2掌握 Matlab 軟件中各種繪制曲線和曲面的繪圖命令3掌握用 Matlab 軟件中各種繪圖命令解決實際問題 【實驗條件】掌握空間解析幾何的有關(guān)根本理論知識， Matlab 軟件 【實驗內(nèi)容】 地球外表的氣溫差異很大，而且隨時間變化，赤道溫度最高，兩極最冷，中間地 帶那么是過渡帶。 所以可以粗略將這種氣溫分布情況用圖形表現(xiàn)出來， 試?yán)L制地球 外表的氣溫分布圖?！緦嶒灧桨浮坑靡粋€球體表示地球， 用不同的顏色表示不同的氣溫， 這樣就可以用色圖表現(xiàn)地 球的氣溫分布。為了有好的視覺效果，可進(jìn)行色彩渲染?！緦嶒炦^程】在 Matlab 命令窗口輸入下述命令：>> a,b,c

30、=sphere(40); t=max(max(abs(c)-abs(c);surf(a,b,c,t); axis('equal'),colormap('hot'),a,b,c=sphere(40);t=max(max(abs(c)-abs(c);surf(a,b,c,t); axis('equal'),colormap('hot'),>> a,b,c=sphere(40); t=max(max(abs(c)-abs(c);surf(a,b,c,t);axis('equal') colormap('

31、;hot') shading flat,colorbar 運(yùn)行結(jié)果：-1 1圖4-16地球外表氣溫分布圖-Jir-？實驗二 路線的設(shè)計【實驗?zāi)康摹? 加深對空間曲線和曲面的認(rèn)識和理解2.掌握Matlab軟件中各種繪制曲線和曲面的繪圖命令3掌握用Matlab軟件中各種繪圖命令解決實際問題【實驗條件】掌握空間解析幾何的有關(guān)根本理論知識，Matlab軟件【實驗內(nèi)容】一座山，水平位置與高度滿足函數(shù) Z=320-x2/500-y2/500，試設(shè)計一條坡度不超過 30°的路線直到山頂，并用圖標(biāo)出來?！緦嶒灧桨浮靠紤]兩條相鄰等高線，設(shè)它們之間的高度差為d，假設(shè)沿坡度不超過：，海拔高度較低的

32、等高線上A點走至海拔高度較高的等高線B點，見以下圖。顯示最短距離應(yīng)為:AB =d /sin :在上式中當(dāng)坡度:時，假設(shè)兩條等值線高度差d固定，那么從等值線A點到等值 線B點的距離就確定。現(xiàn)在區(qū)域 400Wx<4Q0-400Wy<400內(nèi)以等高度差做等值線圖，另附三維圖。 【實驗過程】1. 在MATLAB命令窗口輸入下述命令：>> X,Y = meshgrid(-400:40:400);Z = 320-(X.A2+Y.A2)/50;contour(X,Y ,Z,30)grid off運(yùn)行結(jié)果：湎 aoo 200 -too 01 DC 200300400圖4-18等值線圖三

33、維圖的輸入命令：>>X,Y = meshgrid(-400:40:400);>>Z = 320-(X.A2+Y .人2)/50;con tour3(X,Y,Z,30)grid off運(yùn)行結(jié)果：圖4-19 三維圖由圖4-18等值線圖可以看出，從海平面，如點A0,-400(海拔高度為0)到最高點坐標(biāo)為0 , 0共有11條等高線，因此任二條等高線的高度差為320/11 29.0那么兩等高線間地面距離應(yīng)為|AB|=29.09/sin30°=58.18,從A點開始, 以定長58.18移動到第二條等高線的點 B,在以B點開始以定長58.18移動到第 三條上C點，直至山頂。

34、合理開料問題【實驗?zāi)康摹窟\(yùn)用多元函數(shù)微分法求解含約束條件的最值問題【實驗要求】1. 掌握Lagrange乘數(shù)法及其在求解含約束條件的最值問題中的應(yīng)用2. 了解Matlab優(yōu)化工具箱中fmincon函數(shù)在求解含約束條件的最值問題中的應(yīng) 用【實驗內(nèi)容】某建筑工地上有一個四面體鐵塊，其相鄰的三個面兩兩互相垂直，對應(yīng)棱長分別 為1米、2米和3米。現(xiàn)鋼筋工人面臨的問題是：如何在四面體鐵塊內(nèi)切割出一 個體積最大的長方形?！緦嶒灧桨浮恳运拿骟w鐵塊互相垂直的三個面為坐標(biāo)平面，三個面的交點為坐標(biāo)原點建立空間 直角坐標(biāo)系。設(shè)長方體的長、寬和高分別為 x米、y米和z米，那么長方體的體積V 二 xyz，且長方體的頂點

35、x, y,z在平面y - -2 -|=1下方。于是，問題轉(zhuǎn)化為如下有約束的優(yōu)化問題：max V = xyzS.t.123K >0, y >0, z = 0可以用Langrange乘數(shù)法求解，請讀者作為練習(xí)。現(xiàn)用Matlab軟件的優(yōu)化工具箱 中fmineon函數(shù)求解。上述優(yōu)化問題等價于max V = xyz6x+3y+2z 蘭 6s.t.J，x A 0, y A 0, z A 0于是用fmincon命令求解得：當(dāng)x =0.3334, y = 0.6665, z = 1.0002,時，長方體體積達(dá)最大，最大體積為0.2222.【實驗過程】建立 M 文件 myfun.m： functio

36、n f=myfun(x) f=-x(1)*x(2)*x(3); 再建立主程序如下： clear all clcA=6,3,2; b=6; x0=1; 1; 1;lb=0,0,0; x,fval=fmincon(myfun,x0,A,b,lb,); xv=-fval 運(yùn)行結(jié)果： x =0.33340.66651.0002v =0.2222血管在分支點的幾何形狀【實驗?zāi)康摹?運(yùn)用多元函數(shù)微分法求解無約束條件的最值問題【實驗要求】 掌握多元函數(shù)微分法在求解無約束條件的最值問題中的應(yīng)用【實驗內(nèi)容】高級動物的血管系統(tǒng)遍布全身， 其幾何形狀直接影響到機(jī)體在完成血液循環(huán)過程 中所消耗的能量 血管應(yīng)如何分布

37、才能使血液循環(huán)過程所消耗的能量最小？本 實驗僅討論血管在分支點的幾何形狀問題， 即血管在分支點處粗細(xì)血管半徑的比 例和分岔角度取何值時使消耗的能量最小。【實驗方案】首先作如下幾個假設(shè)：1. 在血液循環(huán)過程中能量的消耗主要是用于克服血液在血管中流動時所受到的 阻力和為血管壁提供營養(yǎng)。2. 幾何假設(shè) 設(shè)血管在分支點只分成兩條較細(xì)的血管，聯(lián)接分支點的三條血 管在同一平面內(nèi)且有一條對稱軸。 假設(shè)不然， 會增加血管的總長度， 使總能量消耗 增加。3. 力學(xué)假設(shè) 設(shè)血管為剛性體 實際上血管有彈性，這種近似對結(jié)果影響不 大，即血液的流動視為粘性流體在剛性血管內(nèi)流動。4. 生理假設(shè) 設(shè)血管壁所需的營養(yǎng)隨管壁內(nèi)

38、外表積和管壁的厚度增加而增加，管 壁的厚度與管壁半徑成正比。圖5-1 血管分支示意圖如圖5-1所示，設(shè)血管從粗血管中的A點經(jīng)過一次分支分別向兩條較細(xì)血管中的B和B'點供血，C是血管的分岔點，B和B'是關(guān)于對稱軸AC的對稱點，H為A、rB兩點間的垂直距離，L為A、B兩點的水平距離，r為分岔前的血管半徑，-為2分岔后的血管半徑，q為分岔前單位時間血流量，q為分岔后單位時間血流量，2l為A、C兩點間的距離，li為B、C兩點間的距離。由假設(shè)3及流體力學(xué)定律可知，粘性物質(zhì)在剛性管道內(nèi)流動所受到的阻力與流速的平方成正比，與管道半徑的四次方成反比。于是血液在粗細(xì)血管內(nèi)所受到的阻kq2kq2、

39、力分別為7和 丁 ，這里，k為比例常數(shù)。由假設(shè)4,在單位長度的血管內(nèi)，血液為管壁提供營養(yǎng)所消耗的能量 bra，其中b 是比例常數(shù)，1乞a空2。故血液從A點流到B和B'點，用于克服阻力及為管壁 提供營養(yǎng)所消耗總能量為C 二丨餐 bra 2h字 bria 1設(shè)分岔的角度為，那么1二L -議1二皐2將2式代入1式，得Er,ri,r二 L - ta 齊'br* ' 2是 器'br；3現(xiàn)求當(dāng)+和二分別為何值時，所消耗的總能量Cr,r1,J最小。令耳brar2如 abraOr54kfr15=0br： cos - 0(4)(5)(6)(7)(8)由4式和5式，得由6式和7式，

40、得a _4cost =2廠4因仁a乞2，故1.26斗_ 1.32,37 _二_ 49 .上述結(jié)果與生物學(xué)所得的結(jié)果根本吻合?！緦嶒炦^程】M源程序：clear allclcsyms k q r b a L H t r1;E=(L-H./ta n( t)*(k*qA2/rA4+b*rAa)+(2*H/si n( t)*(k*qA2/(4*r1A4)+b*r1Aa);Er=diff(E,'r');Er1=diff(E,'r1');Et=diff(E,'t');x=0:0.1:2m=(x_4)./(x+4)theta=acos(2.Am)plot(x,t

41、heta,'r-.')r_rr1=4.A(1./(x+4);hold onplot(x,r_rr1,'b:o')title('theta(a),rate of r and r1(r_rr1)')xlabel('a');lege nd('theta','r_rr1',1)運(yùn)行結(jié)果：一CheCaCaJ.rifj of rI)0807 -丄丄a,j,002040608圖5-2 尋，二與a的關(guān)系圖通信衛(wèi)星在地面上的覆蓋面積【實驗?zāi)康摹?. 加深對曲面積分概念的理解2. 會用積分理論解決實際問題3. 會用Ma

42、tlab命令求曲面積分，用數(shù)值解法求二重積分【實驗要求】1. 掌握曲面積分的應(yīng)用2. 了解二重積分的數(shù)值解法【實驗內(nèi)容】將一顆通信衛(wèi)星送入太空，使該衛(wèi)星軌道位于地球赤道平面內(nèi)，衛(wèi)星運(yùn)行的角速 率與地球自傳的角速率(w二2一(24 3600)相同時成為同步衛(wèi)星。設(shè)衛(wèi)星距地 面的最低高度為h= 3580km，試計算衛(wèi)星所覆蓋的地球面積 S.圖6-12通訊衛(wèi)星覆蓋地面剖面圖【實驗方案】 將地球視為球體(地球半徑為 R = 6378km)，以球心為原點建立 如圖6-12所示的坐標(biāo)系。因上半球面方程為故被衛(wèi)星覆蓋的地外表積為S = .ds,其中，a為上半球面x2 y2 z2二R2(R 0)上被半頂角為:

43、的圓錐所截的曲面局部所以衛(wèi)星的覆蓋面積為其中 D: x2y2 _ R2 cos2 ：.注意到 sin ：=聶，于是 D: x y2 _ R2(1 一 (-RRh)2).利用極坐標(biāo)變換，求得Sr 2 二.R 1«RRh)2dr = 2兀R2 需.R2 -r2當(dāng) h = 3580 ,R = 6378 時，S =2.1694e+008.【實驗過程】M源程序：clear all clcFrt=i nlin e('6378*r./sqrt(6378A2-(r.*cos(t).A2-(r.*si n(t).A2)');R=6378;h=35800;r1=R*sqrt(1-(R/(

44、R+h)A2);s=dblquad(Frt,0,r1,0,2*pi) %對二重積分作數(shù)值計算運(yùn)行結(jié)果：S =2.1694e+008雨中行走問題【實驗?zāi)康摹?會用曲面積分求解實際問題【實驗要求】掌握曲面積分在實際問題中的應(yīng)用【實驗內(nèi)容】人在雨中沿直線從一處向另一處行走， 當(dāng)雨的速度式，問人行走的速度多大 時才能使淋雨量最?。俊緦嶒灧桨浮咳松眢w的外表非常復(fù)雜，為了使問題簡化，現(xiàn)作如下假設(shè)：將人體視為長方體， 其前、側(cè)、頂?shù)拿娣e之比為1：b:c,選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，使人行走速度為 (u,0,0),設(shè)雨的速度為Vx,Vy,Vz ,人行走的距離為I，那么行走的時間為u.根據(jù)通量的定義，顯然單位時間內(nèi)的

45、淋雨量正比于(u - Vx, 0 - Vy , 0 - Vz) (1,b,c)=u -Vx +bVy +cVz.從而總淋雨量正比于f(u) =丄(u Vx| +k)(1)u其中，k=bVy +cVz .于是，原問題轉(zhuǎn)化為如下數(shù)學(xué)問題:在l,Vx,k的條件下，求R(u)的最小值。分以下情況討論:當(dāng)Vx 0時,-l,U ： Vxl(Vx +k) f(g忑u于是，假設(shè)Vx k，那么當(dāng)u =Vx時，f (u)取最小值Vk ；假設(shè)Vx : k，那么f (u)隨u的增大而減小，且f (u)無限接近l .e.l (Vx| + k)當(dāng) Vx <0 時，f(u)= +l.(3)u此時，f (u)隨u的增大

46、而減小，且f (u)無限接近l .當(dāng)Vx二k及Vx =0時，分別為(1)式和(2)式的特殊情況。綜上所述，當(dāng)Vx k 0時，只要u二Vx就可使前后不淋雨，即總的淋雨量最小其余情況都應(yīng)使u充分大，才能使總的淋雨量盡可能小?？梢姡玫慕Y(jié)果與實際情況吻合。實驗過程給出了當(dāng)b =0.5,c=0.2,(Vx,Vy,Vz) =(2,1,3),1 =10時的結(jié)果，即當(dāng)u = 2時，f(u)取最小值為5.5 請讀者給出情形(2)的模擬結(jié)果?！緦嶒炦^程】 M源程序：clear allclcb=0.5;c=.2;Vx=2；Vy=-1；Vz=3;1=10;k=b*abs(vy)+c*abs(vz); u=0.1:

47、0.01:10;y=(l./u).*(abs(u-vx)+k); plot(u,y)xlabel('u'); ylabel('f(u)');hold onif vx>0if vx>kvx;fmin=l*k./vx; text(0,fmi n,'5.5'); text(vx,0,'2'); plot(vx,fmi n,'ro')hold on x=0:0.1:vx; y=fmi n; plot(x,y,'r-') hold on y=0:0.1:fm in; x=vx; plot(x,y,

48、'r-') elsefmi n=i nf;endend 運(yùn)行結(jié)果：圖 6-13 給定 b = 0.5,c = 0.2,(vx,vy, vz) = (2,1,3),l = 10 的模擬結(jié)果序列的周期性和共軛對稱性研究【實驗?zāi)康摹? 加深對級數(shù)根本概念的理解2討論了微分學(xué)中的實際應(yīng)用問題3 .掌握Matlab軟件中有關(guān)級數(shù)求和圖形等命令【實驗要求】掌握級數(shù)理論知識，Matlab軟件【實驗內(nèi)容】序列x(n )= (-0.45幾-5乞n冬5,研究其周期性和共軛對稱性?！緦嶒灧桨浮匡@然該序列的離散時間傅里葉變換以 2二為周期的，因此為顯示其周期性和共軛 對稱性，對其離散時間傅里葉變換在-

49、2二,2二之間選取401個瓶點進(jìn)行計算并繪【實驗過程】輸入：%輸入序列%在橫坐標(biāo)軸上分點*k);%進(jìn)行DTET>>n=_5:5;>>x=(-0.45).a n; >>k=-200:200;>>w=(pi/100)*k;>>X=x*(exp(-j*pi/100).人(門>>magX=abs(X);>>a ngX=a ngle(X); >>subplot(211) >>plot(w/pi,magX);>>axis(-2 2 30 100);>>grid;>>

50、;ylabel( |x| ');>>title(幅度局部'； >>subplot(212) >>plot(w/pi,a ngX/pi);>>axis(-2 2 -1 1);>>grid;>>ylabel(弧度/pi ');>>title(相位局部'；運(yùn)行結(jié)果：幅度局部相位局部圖7-1傅里葉變換從上圖可以看出，序列的離散時間傅里葉變換是以2二為周期的，且當(dāng)序列為實序列時，其離散傅里葉變換具有共軛對稱性?；鸫嫒霐?shù)的計算【實驗?zāi)康摹? 加深對級數(shù)根本概念的理解2討論了微積分學(xué)中的實際

51、應(yīng)用問題【實驗條件】掌握級數(shù)理論知識，Matlab軟件【實驗內(nèi)容】某人為支持教育事業(yè)，一次性存入一筆助學(xué)基金，用于資助某校貧困生。假設(shè)該 校每年末支取10，000元，銀行年利率為5%，如果該基金供學(xué)校支取的期 限為20年，問：此人應(yīng)存入多少資金？如果該基金無期限地用于支持教育事業(yè)， 此人又應(yīng)該存入多少資金？【實驗方案】設(shè)年利率為i，年末支取額為p，支取期限為n，期初存入資金為f(n)，那么第1年末支取額為p時，期初應(yīng)存入的金額為p丄；第2年末支取額為p時，期初 1+i應(yīng)存入的金額為pJ ；依次類推，第20年末支取額為p時，期初應(yīng)存入的(1+i)2金額為1p 20 (1 i)故支取期限為20年時

52、，應(yīng)存入金額f (20) = p占p金卩用 故支取期限無限時，應(yīng)存入金額f(n) = p止卩乙卩池山同理，第n年支取額為p時，期初應(yīng)存入金額為PR【實驗過程】>>syms n; >>p=10000,i=0.05;>>fn=p/(1+y n;>>symsum (fn,n ,1,20)運(yùn)行結(jié)果：ans = 1.2462e+005>>syms n;>>p=10000,i=0.05;>>fn=p/(1+i)A n;>>symsum (fn,n ,1,i nf) 運(yùn)行結(jié)果：200000數(shù)學(xué)擺的位置【實驗?zāi)康摹?/p>

53、1 加深對常微分根本概念的理解2討論了微分學(xué)中的實際應(yīng)用問題3 .掌握Matlab軟件中有關(guān)解常微分方程符號解和數(shù)值解等命令【實驗要求】掌握常微分理論知識，Matlab軟件 【實驗內(nèi)容】單擺在平衡位置附近作微小振動，不計阻力，求擺錘在任何時刻的位置3圖8-2 擺錘位置圖【實驗方案】擺錘位置由圖所示的角度完全確定。設(shè)t時刻對應(yīng)于角度，并約定在鉛垂 線的右邊為正，左邊為負(fù)。我們來分析擺錘在任何位置的受力情況， 再列出運(yùn)動 微分方程。由于不計阻力，所以擺錘在振動過程，只受到重力mg的作用。把mg分解為勁向別離Q與切向分力P，只有切向別離P =mgsin使擺錘移動。由牛頓第二定律，得到沿切線運(yùn)動的微分

54、方程為:d 2s dt2-mg sin ：為了消去弧長s，用公式s = l代入，得到:d2 .：G gsin '0這是非線性的微分方程，但是因假定振動是微小的，那么可以認(rèn)為sin，因此可以得到：d2【實驗過程】>>dsolve('D2y*k+g*y','x')運(yùn)行結(jié)果：ans =C1*si n(1/kA(1/2)*gA(1/2)*x)+C2*cos(1/kA(1/2)*gA(1/2)*x)即:導(dǎo)彈追蹤問題【實驗?zāi)康摹? 加深對常微分根本概念的理解2討論了微積分學(xué)中的實際應(yīng)用問題3 掌握Matlab軟件中有關(guān)解常微分方程數(shù)值解和繪圖等命令【實驗

55、條件】掌握常微積分理論知識，Matlab軟件【實驗內(nèi)容】設(shè)位于坐標(biāo)原點的甲艦向位于 x軸上的A(1,0)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈此終對準(zhǔn) 乙艦。如果乙艦以最大的速度vo沿平行于y軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是 5vo， 求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線。當(dāng)乙艦行駛多遠(yuǎn)時，導(dǎo)彈將它擊中。【實驗方案】設(shè)任意時刻t，乙艦的坐標(biāo)為(X(t),Y(t)，導(dǎo)彈的坐標(biāo)為(x(t),y(t)。導(dǎo)彈速度恒 為v,從原點射出，且速度是橫向和縱向距離的一階導(dǎo)數(shù)的矢量和，那么有：主2史=(1)dt dt()由于導(dǎo)彈頭始終對準(zhǔn)乙艦，導(dǎo)彈頭的速度向量平行于乙艦與導(dǎo)彈頭位置的差向 量，即：(X - x) '0dtdydt仝;.(Y -y

56、)故有(1) (2)式可得(X -x)2 (Y-y)2 二 v2解3得到(X x)2 (Yy)2由題目知乙艦以最大速度V。沿直線x =1運(yùn)動，為便于分析,我們可暫且令V。= 1，那么導(dǎo)彈速度v =5v0 =5，乙艦的坐標(biāo)可重新表示為:Xt =1Yt = v°t =tt =0時，甲艦位于原點，那么導(dǎo)彈坐標(biāo)的初始值可確定x0 =0y0 =0由2 3 56可知導(dǎo)彈運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程(5)(6)dx5dt7(1-X)2 +(t y)2dy5dt丄1 -x)廠"(t -y)2(1-x)(t - y)【實驗過程】建立M文件function dy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)A2+(t-y(2)A2); dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)A2+(t-y(2)A2);在matlab命令框種輸入命令：>>t0=0;tf=2>> t,y=od