§14.1.1　直角三角形的三邊關(guān)系(第1課時)

1、.1直角三角形的三邊關(guān)系 第1課時探究直角三角形的三邊關(guān)系課前知識管理1、勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.幾何語言：假如直角三角形的兩直角邊分別是，斜邊是，那么.圖形說明：如圖，正方形A中含有_個小方格，即A的面積是_個單位面積；正方形B中含有_個小方格，即B的面積是_個單位面積；正方形C中含有_個小方格，即C的面積是_個單位面積.由此得出正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積.即假設(shè)正方形A的邊長為那么其面積為，正方形B的邊長為，其面積為，正方形C的邊長為，其面積為，由此可推出：.說明：我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所

2、以上述反映直角三角形三邊關(guān)系的命題通常被稱為勾股定理.2、勾股定理提示了直角三角形三邊之間的數(shù)理關(guān)系，是直角三角形的一個重要性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理進(jìn)展計(jì)算時，一要注意勾股定理的適用條件，二要注意公式的靈敏變形.適用條件：勾股定理適用的前提條件是 三角形；公式變形：根據(jù)公式可知，在直角三角形中，任意兩條邊長，可求出第三條邊的長.在計(jì)算時要會靈敏變形，還常常與平方差公式和完全平方公式結(jié)合使用，比方：，.本卷須知：運(yùn)用勾股定理求邊長，要分清斜邊和直角邊，假設(shè)沒有告訴斜邊的情況下，經(jīng)常有兩解，勿漏解.名師導(dǎo)學(xué)互動典例精析：知識點(diǎn)1：直接運(yùn)用勾股定理例1、在ABC中，C=90，1假設(shè)a=8，b=6，那么c=

3、_；2假設(shè) c=20，b=12，那么a=_；3假設(shè)ab=34，c=10，那么a=_，b=_.【解題思路】在ABC中，C=90，所以有關(guān)系：a2+b2=c2.在此關(guān)系式中，涉及到三個量，利用方程的思想，可“知二求一.【解】根據(jù)題意可得a2+b2=c2.1假設(shè)a=8，b=6，所以82+62=c2.即c2=100，c0，所以c=10；2假設(shè)c=20，b=12，所以a2+122=202，即a2=202122=20+122012=328=162，a0，所以a=16；3假設(shè)ab=34，可設(shè)a=3x，b=4x，所以3x2+4x2=102.化簡，得9x2+16x2=100，25x2=100，x2=4，x=2x

4、0，所以a=3x=6；b=4x=8.【方法歸納】綜合上述解法可以發(fā)現(xiàn)，形即ABC為直角三角形與數(shù)a2+b2=c2的統(tǒng)一，所以我們說勾股定理是形與數(shù)的結(jié)合.對應(yīng)練習(xí)：在ABC中，C=90，1假設(shè)a=3，b=4，那么c=_；2假設(shè)a=6，c=10，那么b=_.知識點(diǎn)2：勾股定理的簡單應(yīng)用例2、智能機(jī)器貓從平面上的O點(diǎn)出發(fā).按以下規(guī)律行走:由O向東走12厘米到A1,由A1向北走24厘米到,由向西走36厘米到,由向南走48厘米到,由向東走60厘米到,由向北走72厘米到，問:智能機(jī)器貓到達(dá)點(diǎn)與O點(diǎn)的間隔 是多少厘米?【解題思路】如下圖,當(dāng)智能機(jī)器貓到達(dá)點(diǎn)時,相對O點(diǎn),向東走了12-36+60=36厘米,

5、向北走了24-48+72=48厘米【解】因=362+482,即=60所以, 點(diǎn)到O點(diǎn)的間隔 為60厘米【方法歸納】應(yīng)用勾股定理要注意兩點(diǎn)：一是前提條件為直角三角形，非直角三角形的三邊之間沒有這樣的關(guān)系；二是解題時要注意區(qū)分斜邊與直角邊，不可亂用.對應(yīng)練習(xí)：如圖，在水塔O的東北方向32m處有一抽水站A,在水塔的東南方向24m處有一建筑工地B，在AB間建一條直水管，那么水管的長為 A 45cm B 40cm C 50cm D 56cm知識點(diǎn)3：利用勾股定理求線段和例3、直角三角形ABC中，CAB=90，AC=AB=，D為BC中點(diǎn)，E是AB上任意一點(diǎn)，且EFAD，EPBD，試確定EF+EP的值.【解

6、題思路】由EFAD，EPBD，聯(lián)想到連結(jié)DE，從而將三角形ABD的面積分割為兩部分，通過面積相等關(guān)系確定EF+EP的值.【解】連結(jié)ED，在直角三角形ABC中，CAB=90，AC=AB=，故有BC=；D為BC中點(diǎn)，所以AD=BD=.因，故有+=，EF+EP=.【方法歸納】將三角形面積巧妙的分割為假設(shè)干小三角形面積，從而求得相應(yīng)線段之間的關(guān)系，這里表達(dá)出“割補(bǔ)的數(shù)學(xué)思想方法.對應(yīng)練習(xí)：在RtABC中，斜邊AB=2，那么= .知識點(diǎn)4：利用勾股定理求面積例4、如圖，ABC中，B90，AB7，BC=24，P是A，C的平分線的交點(diǎn)，PDAB于D，PEBC于E，求.【解題思路】顯然四邊形BEPD是矩形，作

7、PFAC于F，連結(jié)PB，易證，所以四邊形BEPD是正方形，它的邊長可由三角形的面積求得.【解】設(shè)PD=PE=PF=m，得，即由勾股定理知，所以，故.【方法歸納】求不規(guī)那么四邊形圖形面積通常把四邊形分割成三角形來求解.對應(yīng)練習(xí)：如圖，在四邊形ABCD中，AB2，CD=1，A60，B=D=90，求四邊形ABCD的面積.知識點(diǎn)5：利用勾股定理探究規(guī)律例5、如圖，設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此作下去，有：1假設(shè)記正方形ABCD的邊長a1=1，按上述方法所作的正方形的邊長依次為a2，a3，a4，an，那么a2，a

8、3，a4的值各為多少？2根據(jù)以上規(guī)律寫出an的表達(dá)式【解題思路】利用勾股定理求斜邊的長，依次可求出a2，a3，a4，再比較它們的值，即可寫出an【解】1因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形， 所以AB=BC=1，B=90，所以在RtABC中，AC=， 同樣可求得AE=2，HE=，即a2=，a3=2，a4=；2an=n為正整數(shù)【方法歸納】將圖形與數(shù)字有機(jī)結(jié)合，擅長發(fā)現(xiàn)和總結(jié)規(guī)律，是解題的關(guān)鍵對應(yīng)練習(xí)：細(xì)心觀察圖，認(rèn)真分析各式，然后解答問題2+1=2，S1=；2+1=3，S2=；2+1=4，S3=；1請用含nn是正整數(shù)的等式表示上述變化規(guī)律；2推算出OA10的長；3求S12+S22+S32+S102的值易錯

9、警示例6、在RtABC中，a=3，b=4，求c錯解：由勾股定理，得.錯解分析：這里默認(rèn)了C為直角其實(shí)，題目中沒有明確哪個角為直角，當(dāng)ba時，B可以為直角，故此題解答遺漏了這一種情況正解：假設(shè)C為直角，那么有；假設(shè)B 為直角，那么有.例7、RtABC中，B=90，求.錯解：由勾股定理，得錯解分析：這里錯在盲目地套用勾股定理“，殊不知，只有當(dāng)C=90時，才成立，而當(dāng)B=90時，勾股定理的表達(dá)式應(yīng)為.正解：B=90，.課堂練習(xí)評測考點(diǎn)1：利用勾股定理比較線段大小1、如圖，每個小正方形的邊長為1，的三邊的大小關(guān)系式： A. B. C. D. 考點(diǎn)2：利用勾股定理計(jì)算線段長度2、如圖是一張直角三角形的紙

10、片，兩直角邊AC6 cm、BC8 cm，現(xiàn)將ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，那么BE的長為 A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm3、如圖，和都是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)、在同一條直線上，連接，那么的長為 A. B. C. D.4、如圖，ABC中，C=90，AC=3，點(diǎn)P是邊BC上的動點(diǎn)，那么AP長不可能是 A2.5 B3 C4 D5 5、，在ABC中，A= 45，AC= ，AB= +1，那么邊BC的長為 考點(diǎn)3：利用勾股定理作線段6、如圖是由4個邊長為1的正方形構(gòu)成的“田字格只用沒有刻度的直尺在這個“田字格中最多可以作出長度為的線段_條.考點(diǎn)4：勾股定理的

11、簡單應(yīng)用7、假期中，小明和同學(xué)們到某海島上去探寶旅游，按照探寶圖，他們登陸后先往東走8千米， 又往北走2千米，遇到障礙后又往西走了3千米，再折向北走了6千米處往東一拐，僅走了1千米就找到寶藏，問登陸點(diǎn)A到寶藏埋藏點(diǎn)B的間隔 是多少千米？課后作業(yè)練習(xí)一、填空題：1在ABC中，C=901a=24，b=32，那么c=_2c=17，b=15，那么ABC面積等于_3A=45，c=18，那么a2=_2直角三角形三邊是連續(xù)偶數(shù)，那么這三角形的各邊分別為_3ABC的周長為40cm，C=90，BC：AC=15：8，那么它的斜邊長為_4直角三角形的兩直角邊之和為14，斜邊為10，那么它的斜邊上的高為_，兩直角邊分

12、別為_二、選擇題5在RtABC中，其兩直角邊長a=1，b=3，那么斜邊c的長為 A2 B4 C2 D6直角三角形的兩直角邊分別為5cm，12cm，其中斜邊上的高為 A6cm B5cm Ccm7如下圖，ABC中，CDAB于D，假設(shè)AD=2BD，AC=5，BC=4，那么BD的長為 A B C1 D8如圖，長方形ABCD中，AB=4，BC=3，將其沿直線MN折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，那么CN的長為 A B C D三、解答題9如圖，每個小正方形的邊長是1，在圖中畫出一個面積是2的直角三角形；一個面積是2的正方形.10如圖，等腰三角形ABC的腰為10，底邊上的高為81求底邊BC的長；2SABC11在圖中，

13、BC長為3厘米，AB長為4厘米，AF長為12厘米，求正方形CDEF的面積12如下圖，為得到湖兩岸A點(diǎn)和B點(diǎn)間的間隔 ，一個觀測者在C點(diǎn)設(shè)樁，使ABC為直角三角形，并測得AC長20米，BC長16米，A、B兩點(diǎn)間間隔 是多少？四、探究題13小明的叔叔家承包了一個矩形魚池，其面積為48m2，其對角線長為10m，為建柵欄，要計(jì)算這個矩形魚池的周長，你能幫助小明算一算嗎？14如下圖，長方形紙片ABCD的長AD=9cm，寬AB=3cm，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合求：1折疊后DE的長； 2以折痕EF為邊的正方形面積15、鐵路上A、B兩站視為直線上兩點(diǎn)相距25 km，C、D兩村莊視為兩個點(diǎn)DAAB于A，CBA

14、B于B，DA15 km，CB10 km，如今要在鐵路上建一個土特產(chǎn)收購站E使得C、D兩村到E站的間隔 相等，那么E站應(yīng)建在距A站多少千米處？16、某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開拓為生物園，如下圖，ACB=90，AC=80米，BC=60米，假設(shè)線段CD是一條小渠，且D點(diǎn)在邊AB上，水渠的造價為10元/米，問D點(diǎn)在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)處時，水渠的造價最低？最低造價是多少？17、如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形.1直接寫出單位正三角形的高與面積.2圖中的平行四邊形ABCD含有多少個單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？3

15、求出圖中線段AC的長可作輔助線.4求出圖中四邊形EFGH的面積.14.1.1對應(yīng)練習(xí)答案：1.提示：1；2.答案：1c=5；2b=8.2.答案：B.3.答案：84.解：延長BC交AD的延長線于E，那么ABE和CDE均為直角三角形.因?yàn)锳=60，所以E=30.又，CD=1，所以AE=2AB=4，CE=2CD=2，由勾股定理得，所以 .5.答案：12+1=n+1，Sn=；2OA10=課堂練習(xí)作業(yè)參考答案：1、答案：C 2、答案：B3、答案：D 4、答案：A 5、答案：26、答案：87、答案：10參考答案：一、114 260 3162 26 8 10 317cm 44.8 6和8 二、5D 6D 7

16、A 8B 三、9提示：面積是2的直角三角形，兩條直角邊分別是1和4，或2和2；面積是2的正方形邊長是.答案：10答案：因?yàn)锳DBC于D所以在RtABD中，由勾股定理可得AD2BD2AB2 ，即 BD21006436 所以BD6，所以BCBD212 等腰三角形，底邊上的高平分底邊即“三線合一，SABCBCAD12848平方單位.11169厘米2 1212米 四、13解：矩形相鄰兩邊分別為am，bm，根據(jù)題意可得：，a+b2=a2+b2+2ab=196，即a+b=14，那么矩形周長為28米.14提示：設(shè)DE長為xcm，那么AE=9-xcm，BE=xcm，那么在RtABE中，A=90，x2-9-x2=32，故x+9-xx-9+x=9，即2x=10，那么x=5，即DE長為5cm，連BD即BD與EF互相垂直平分，即可求得：EF2=12cm2，以EF為邊的正方形面積為144cm215、答案：如圖，假設(shè)設(shè)AEx，那么BE25x因?yàn)镈AAB于A，在RtADE中，由勾股定理得AD2AE2DE2，因?yàn)镃BAB于B，所以在RtECB中 EB2BC2CE2，因?yàn)镈ECE 所以DE2CE2，所以AD2AE2EB2BC2