數(shù)分選講講稿第28講

1、精品文檔講授內(nèi)容備注第二十八講3學(xué)時(shí)§ 5.2 級(jí)數(shù)一、幕級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂范圍1 .公式法jfanxn的收斂半徑R可按如下公式計(jì)算n1d若nmnn/ian存在或?yàn)閜則R=1,;若lim|=0,則R=收.limn|an|nn.ii）若lim_aL存在或?yàn)椤皀Tan1|則R=lim-ann二|an1注：求收斂區(qū)間時(shí)，要檢驗(yàn)級(jí)數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的收斂性.例1求級(jí)數(shù)£1sin工（x2+x+1）n的收斂區(qū)間.nm.3n解令t=x2+x+1,級(jí)數(shù)變?yōu)楣?#39;sinl'tnnm.3n.11sinR=lim3n:lim3n=1n一町1n一町1sin3n33n31當(dāng)t=1時(shí)，級(jí)數(shù)&

2、#163;sin工發(fā)散；nm3n,一二1,一當(dāng)t=-1時(shí)，級(jí)數(shù)工（-1）nsin2收斂.n+3n故原級(jí)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)-1Ex2+x+1<1時(shí)收斂.解不等式知，收斂區(qū)間為（-1,0）.而C母爾珈1n+2n+111+50n門(mén)x)n的收斂區(qū)間.例2求級(jí)數(shù)工3InJn1x解：.limn1n2n50n=50n5二精品文檔1R=5091n短？"0ng收斂,n4n250LT50在 n =4n50,50上收斂解不等式一工mLBh2501x50得原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為：翌WxW51.50492.缺項(xiàng)幕級(jí)數(shù)的收斂范圍（此時(shí)不能用上述公式）二23,一一，例3求級(jí)數(shù)£nnxn的收斂范圍.n1解看作函

3、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，用Cauchy根式判別法|x|-1|x|<1其收斂范圍為（-1,1）（x=±1時(shí)，破壞級(jí)數(shù)收斂的必要條件）注：|x|<1時(shí)，0<nn2xn3=fn<-In充分大時(shí).nn2例4求級(jí)數(shù)xx-的收斂范圍.nT2nnm加木）|x|<1x = 1解看作函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，用Cauchy根式判別法|x1|按Cauchy根式判別法知，原級(jí)數(shù)的收斂范圍為1,1.、初等函數(shù)展為幕級(jí)數(shù)10直接展開(kāi)法：求高階導(dǎo)數(shù)，帶入公式.20間接展開(kāi)法：熟記5個(gè)基本初等函數(shù)的展開(kāi)式.V11c1.一一e=1xxJl|xHIx(一七，二)1!2!n!352n1sinx=x-x-+x-+|+(

4、-1)n*-x-+HIxw(-«,y)3!5!(2n-1)!x2x4x2ncosx=1(-1)nxQ二，二)2!4!(2n)!234nln(1x)=x-|IT(-1)nJHIx(-1,1234n(1x)=1:xx2III-""(一以HI2!n!其收斂域情況如下：當(dāng)口E1時(shí)，收斂域?yàn)椋?1,1）；當(dāng)1<口<0時(shí)，收斂域?yàn)椋?1,1;當(dāng)口>0時(shí)，收斂域?yàn)?1,1.間接展開(kāi)法主要是通過(guò)變形、轉(zhuǎn)換、利用已知的展開(kāi)式.例5把下列函數(shù)展成x的幕級(jí)數(shù)，并說(shuō)明收斂范圍.1)f (x)=1(1 x)(1 x2)(1x4)解1)f(x)=1-x(1-x)(1x)(1

5、x2)(1x4)1-x1-x8|x|；1=(1-x)-x8nn=0”.8n8n-1=£x-Zxn0n0|x|；1c、,3312)f(x)=sinx=_sinxsin3x443J(1)nx2n1”二-4n衛(wèi)(2n1)!-4nz0(-1)n(3x)2n1(2n1)!x（-二，二）(2n1)!x（-二，二）lnx=2二-11x-1+-31Az1x+131x+1J5(x+1J證變量替換令"胃，則x=mInx=ln(1t)-Jn(1T)tt2t3二t23t4tn-nr(-1)nJhi4tnn|t卜1t3t5=2t+-+-+|35|t卜二1=2x-1+1xx-1x+131x+1j1&#

6、163;z15x12x例7或求f(x)=arctan2的吊級(jí)數(shù)展開(kāi)式.2-x解顯然f(x)f(t)dtXIarctan0利用逐項(xiàng)積分或逐項(xiàng)微分法：幕級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)微分.1+。.2J<2)21十-dt2)t2oO、(-1)n彳2、2Q2'f彳24I2I2I2I2+川dtV(-1)n=% (-1)22n 1 x2n (2n 1)|x|；、.21R樣方法：將函數(shù) f(x)arctanx -21ln 4三展成關(guān)于X的幕級(jí)數(shù).ans: f (x) = f (t)dt - %n=04n： ；1 x4n 1岡:二118求函數(shù)f(x)=-(1 + x)x按x的號(hào)的展開(kāi)式至三次項(xiàng)

7、.1f(x) (1 x)ex =e1-ln(1 x) 4 x,八n 1 xn d()一23-x x - 1-1-234二e二1vn 1n吐|x|；13-III412!3-HI二宜小2一33明|x|:1三、求和問(wèn)題1 .利用逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分利用逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分，將級(jí)數(shù)化為已知級(jí)數(shù)的展開(kāi)式求和.例9計(jì)算無(wú)窮級(jí)數(shù)2 345n| x|<1之和.xxxxIJ/、nx一-1(-1)IqQ解I （-1）n衛(wèi)21324354n(n-1)nnS (x) = J(-1)nxnn=0x=|x|：二11x兩邊從0至U X積分得、3xnn(1 x)n Z0 n 1|X|：:1再積一次上nnng(n 1)(

8、n 2)=(1 x) ln(1 x) -x|x|：1左邊級(jí)數(shù)正是原級(jí)數(shù).解II設(shè)S(x)=zn=0nn2(-1)x(n1)(n2)|x|;1S(x)一一n=0(-1)nxn1|x|；1|x|：1S(0)=0,S(0)xS(x)二.0S(t)dt=01t出二ln(1x)xS(x)=.0S(t)dtx=01n(1t)dt=(1x)ln(1x)-x|x|：1例10求級(jí)數(shù)£-（n+1），的和函數(shù).n1n!解該級(jí)數(shù)收斂區(qū)間為（,口）n1°一設(shè)S（x）xx（-二，二）n1n!則由逐項(xiàng)積分定理得:yn_X,x=x%=x(e-1)x三n4n!于是S(x)=(x(ex1)j=ex(1+x)1

9、xw.2例11求級(jí)數(shù)£_不的和.n4(1-a)18I-n6x1 -xn1上式兩端微分并乘以x,有x二x-='nx(1-x)n=1|x|<1，|x|：1x x2(1-x)3QO一 2 n-、n xn 1|x|;1再微分并乘以x,有在上式中取x=s(-1,1),有1an(x) = x ey*f (y)dy證10先證明該級(jí)數(shù)一致收斂.1a(1a)2(1a)(2a)n33nm(1a)n1,3af(x)在0,1上連續(xù),二f(x)在0,1上有界.三M>0,使得 f(x)WMx0,1,1a2 .方程式法例12證明：若函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)，令f0(x)=f(x).1fn由(

10、x)=1xfn(y)dy(xW0,1,n=1,2,111)QO則£fn(x)在0,1上一致收斂于n1由此可知，11fi(x)|=xfo(y)dy=xf(y)dy<M(1-x)iiM(1-x)2f2(x)=Lf1(y)dy<Mjx(1y)dy=2用數(shù)學(xué)歸納法知M(1-x)n,fn(x)<-VneL,xe0,1n!而級(jí)數(shù)ZM(1x)=Mej在U上處處成立.nn!原級(jí)數(shù)在0,1上一致收斂.qQ從而fn(x)在0,1上絕對(duì)一致收斂.n120(證明和函數(shù)滿足微分方程)記原級(jí)數(shù)之和為111(x)=.xf(y)dyxf(y)dyxfz(y)dyIH此式兩端同時(shí)加上f(x)111f

11、(x)(x)=f(x)xf(y)dyxf(y)dyxf2(y)dyIM二f(x)f1(x)fz(x)III兩邊在x,1上積分11xf(y)dyx(y)dy=(x)由此求導(dǎo)得-f(x)-：(x)=q：'"(x):(x)(x)f(x)=0而中(1)=0,解此微分方程，得中(x)=ey"f(y)dy.XqQ例13若f(x)=£-anXn(anA0,n=1,2,111)的收斂半徑為n£00且、annn z0!收斂.則1。+：e-f(x)dx也收斂,且+JCI00e'f(x)dx =、: ann!n=0+.；+二0e、(x)dx=. 0 e-XoO

12、 工 anxn dxn=030dx其中(1) 二=Aim：nA n -xx e dx- 0二="ann=0od二、ann =0A，二 0 Xne"dXlim+二二0 xn -xedx - ' an - (n 1) -an!n=0n=0an xne：= anX21 x 2!nX+ +n!n. an X、- nXn!= ann!-X -0oC且、annn=0qQ!收斂，故工anxne"在0, A上一致收斂，可逐項(xiàng)積 n =0分. * anf oXne'XManl o xnedx-an+ 二 nx e- o'dx = ann!A一已知£

13、ann!收斂，因此£anJ0xne"dx關(guān)于A在0,收)上一n旦n0致收斂，故可逐項(xiàng)求極限.二二n例14設(shè)f(x)=£勺(0<x<1).nn求證：當(dāng)0cx<1時(shí)，有2nf(x)+f(1-x)+(lnxIln(1一x)=.6二二n證f(x)=£的收斂半徑R=limvn=1.2 JIn4nn二一二1x=1時(shí)，f(1)=£-2=nz1n而級(jí)數(shù)在(0,1)內(nèi)可逐項(xiàng)微分，f(x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù).因此f(x)f(1-x)Inxln(1-x)=f (x)-f (1-x)ln(1 - x) ln x二 xn(1-x)n g n n 1 nx 1 -xn 1n 1x x 一-Z n 1 n nWn 4(1 x)n=0-x(0,1).f(x)f(1-x)Inxln(1-x)=Cx(0,1)人C,n二1二證考察號(hào)級(jí)數(shù)1 xnn 姓 n 2n令xt0+,得C