數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要性

1、數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要性 南部二中：鮮楚月全國(guó)高考數(shù)學(xué)考試大綱摘要： 數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，同時(shí)兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性和現(xiàn)實(shí)性，重視試題間的層次性，合理調(diào)控綜合程度，堅(jiān)持多角度、多層次的考查，努力實(shí)現(xiàn)全面考查綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求。教材導(dǎo)引摘要： 在本書(shū)中，我們將利用數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，特別是蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比、推廣、特殊化、化歸等數(shù)學(xué)思考常用的邏輯方法，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考與推理，不斷提高數(shù)學(xué)思維能力。一、數(shù)學(xué)思想一、數(shù)學(xué)思想： 是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)

2、容的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，其具體化形式是數(shù)學(xué)方法。常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)方程不等式思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討函數(shù)方程不等式思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，論思想、數(shù)形結(jié)合思想，從特殊到一般數(shù)學(xué)研從特殊到一般數(shù)學(xué)研究思想、有限與無(wú)限思想，偶然與必然思想等。究思想、有限與無(wú)限思想，偶然與必然思想等。（一）函數(shù)方程不等式思想1、函數(shù)方程不等式思想就是用函數(shù)、方程、不等式的觀點(diǎn)和方法處理變量或未知數(shù)之間的關(guān)系，從而解決問(wèn)題的一種思維方式，是很重要的數(shù)學(xué)思想。函數(shù)與方程不等式有著密切聯(lián)系，它們之間相互滲透，很多方程、不等式的問(wèn)題需要用函數(shù)的知識(shí)和方法解決，很多函數(shù)的問(wèn)題也需要用方程、不

3、等式的方法輔助，函數(shù)與方程不等式之間的辯證關(guān)系，形成了函數(shù)方程不等式思想。2、函數(shù)思想：把某變化過(guò)程中的一些相互制約的變量用函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來(lái)，并研究這些量間的相互制約關(guān)系，最后解決問(wèn)題，這就是函數(shù)思想，函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象，概括與提煉，在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等其他內(nèi)容時(shí)，起著重要作用3、應(yīng)用函數(shù)思想解題，確立變量之間的函數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵，分兩個(gè)步驟：（1）根據(jù)題意建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題構(gòu)造函數(shù)；（2）利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題；4、方程不等式思想：在某變化過(guò)程中，往往需要根據(jù)一些要求，確定某些變量的值（范圍），這時(shí)常常列出這些變量的方程（

4、組）或不等式組，通過(guò)解方程（組）或處理不等式組求出它們，這就是方程不等式思想；是解決各類(lèi)計(jì)算問(wèn)題的基本思想，是運(yùn)算能力的基礎(chǔ)。5、教材把函數(shù)與方程不等式思想作為重要思想方法重點(diǎn)培養(yǎng)。例如：必修1P86，3-1函數(shù)與方程 必修5P76，3-2一元二次不等式及其解法 必修3P84，2-3變量間的相關(guān)關(guān)系6、高考也把函數(shù)與方程不等式思想作為重要思想方法重點(diǎn)考查。例如：2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國(guó)卷）第1、6、13、15、18、21題2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國(guó)卷）第2、12、16、21題2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國(guó)卷）第1、3、

5、8、12、21題2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（四川卷）第1、5、9、14、21題（共同特點(diǎn)，壓軸形式出現(xiàn)） 1、數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即數(shù)與形兩個(gè)方面，目的是為了發(fā)揮形的生動(dòng)和直觀性，發(fā)揮數(shù)的規(guī)范與嚴(yán)密性，兩者相輔相成，揚(yáng)長(zhǎng)避短。恩格斯定義數(shù)學(xué)：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)”。華羅庚曾指出：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非?！边@就是說(shuō)：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，宇宙間萬(wàn)事萬(wàn)物無(wú)不是數(shù)和形的和諧的統(tǒng)一。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中突出數(shù)形結(jié)合思想，借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性,或者借助于形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的某種關(guān)

6、系，充分讓學(xué)生把握住了數(shù)學(xué)的精髓和靈魂。（二）數(shù)形結(jié)合思想2、在一維空間，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在二維空間，實(shí)數(shù)對(duì)與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。3、高考選擇、填空側(cè)重突出考查數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，對(duì)于所研究的代數(shù)問(wèn)題，有時(shí)可研究其對(duì)應(yīng)幾何的性質(zhì)使問(wèn)題得以解決（以形助數(shù)）。高考解答題考慮推理論證嚴(yán)密性，突出形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，或者對(duì)于所研究的幾何問(wèn)題，可借助于對(duì)應(yīng)圖形的數(shù)量關(guān)系使問(wèn)題得以解決（以數(shù)助形），把數(shù)作為手段的數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)在解析幾何中，即用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題。4、教材把數(shù)形結(jié)合思想作為重要思想方法重點(diǎn)培養(yǎng)。（1）必修1、2、3、4、5封面，（2） 必修 1、4函數(shù)內(nèi)容中指數(shù)函數(shù)、

7、對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，初中學(xué)的常數(shù)函數(shù)，正反比例函數(shù)，一、二函數(shù)、選修的三次函數(shù)，老師們愛(ài)補(bǔ)充的雙勾函數(shù)，無(wú)一不通過(guò)圖象研究其性質(zhì)。（3） 必修2立幾內(nèi)容中引入向量，并把向量坐標(biāo)化（代數(shù)化）用數(shù)量關(guān)系證明幾何結(jié)論，幾何方法證明代數(shù)結(jié)論，簡(jiǎn)練精巧，解析幾何是幾何，得意忘形學(xué)不活。（4）必修3算法，程序框圖（流程圖），統(tǒng)計(jì)中各種統(tǒng)計(jì)圖表，概率中的幾何概型。（5） 必修5解三角形，無(wú)一不體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在教材中的重要性，不等式中的二元一次不等式組只能用幾何方法轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域處理。5、高考也把數(shù)形結(jié)合思想作為重要思想方法重點(diǎn)考查。例如：2016年全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)第1、4、7、8、9、10、11、13、1

8、4、15、16、18、19、20、21、22題2016年全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)第1、2、3、4、5、6、7、8、11、13、14、16、18、19、20、22題2016年全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)第1、4、6、7、9、10、11、12、16、17、18、19、20、22題2016年四川卷理科數(shù)學(xué)第1、3、6、7、8、9、10、13、15、16、17、17、19、20題6、我們要從以下幾點(diǎn)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力：(1) 學(xué)學(xué)幾何畫(huà)板Excel軟件輔助教學(xué)。例如幾何畫(huà)板在代數(shù)、幾何、解幾中的應(yīng)用（鏈接）(2) 研究距離、角或面積的問(wèn)題，可直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解即可(3) 研究函數(shù)、方程或不等式（最值）的問(wèn)題，可

9、通過(guò)函數(shù)的圖象求解（函數(shù)的零點(diǎn)，頂點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn)）.(4) 以下類(lèi)型的問(wèn)題需要注意：可分別通過(guò)構(gòu)造距離函數(shù)、斜率函數(shù)、截距函數(shù)、單位圓x2+y2=1上的點(diǎn)及余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化達(dá)到解題目的例如必修2，P110 求證并求使等式成立的條件。必修2，P115 7、設(shè) 求證：對(duì)于任意22222222(1)(1)(1)(1)2 2xyxyxyxy+-+-+-+-01,01,xy已知 , , ,a b c dR,p qR222222()()()()()()apbqcpdqacbd-+-+-+-+-（三）分類(lèi)討論思想 分類(lèi)討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)問(wèn)題的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)，然后

10、對(duì)每一類(lèi)分別研究，給出每一類(lèi)的結(jié)果，最終綜合各類(lèi)結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答。1. 引起分類(lèi)討論的原因大致可歸納為如下幾種：（1）涉及的數(shù)學(xué)概念是分類(lèi)討論的；（2）運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式、或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類(lèi)給出的；（3）求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)論有多種情況或多種可能性； （4）題中含有參變量，這些參變量的不同取值導(dǎo)致不同的結(jié)果的；（5）較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要采取分類(lèi)討論的解題策略來(lái)解決的。2.分類(lèi)討論是一種邏輯方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有極廣泛的應(yīng)用。根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)可以有不同的分類(lèi)方法，但分類(lèi)必須從同一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，做到不重復(fù)，不遺漏，包含各種情況，同時(shí)要有利于問(wèn)題研究。例如： 解關(guān)于x的不等式教材必修5，P

11、61習(xí)題：求和S=1+2x+3x2+nxn-12016年全國(guó)卷3理科數(shù)學(xué)第21題 2016年全國(guó)卷2理科數(shù)學(xué)第21題 2016年全國(guó)卷1理科數(shù)學(xué)第21題 2016年四川卷理科數(shù)學(xué)第21題2(1)10axax-+ （四）等價(jià)轉(zhuǎn)化思想1、將復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將較難問(wèn)題化為較易問(wèn)題，將未解決問(wèn)題化歸為已解決問(wèn)題，符合學(xué)生認(rèn)知，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想貫穿整個(gè)中小學(xué)教材2、 把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題，學(xué)以致用，是學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的目標(biāo)，也是我們的培養(yǎng)目標(biāo)3、高考重視常用變換方法：一般與特殊的轉(zhuǎn)化、繁與簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化（五）特殊與一般的數(shù)學(xué)研究思想1、通過(guò)對(duì)個(gè)例認(rèn)識(shí)

12、與研究，形成對(duì)事物的一般認(rèn)識(shí)2、由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)、由局部到整體、由實(shí)踐到理論，符合學(xué)生的認(rèn)知，教材中每一個(gè)新概念（集合，函數(shù)，向量，等比等差數(shù)列），都采用這種思想3、高考以構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊點(diǎn)、確立特殊位置，利用特殊值、特殊方程，突出考查特殊與一般思想必成為命題改革方向（六）有限與無(wú)限的思想：1、把對(duì)無(wú)限的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)有限的研究，是解決無(wú)限問(wèn)題的必經(jīng)之路2、積累的解決無(wú)限問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，將有限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)限問(wèn)題來(lái)解決是解決的方向3、立體幾何中求球的表面積與體積，采用分割的方法來(lái)解決，實(shí)際上是先進(jìn)行有限次分割，再求和求極限，數(shù)列中的遞推相減求通項(xiàng)，都是典型的有限與無(wú)限數(shù)學(xué)思想的應(yīng)

13、用（七）偶然與必然的思想：1、隨機(jī)現(xiàn)象兩個(gè)最基本的特征，一是結(jié)果的隨機(jī)性，二是頻率的穩(wěn)定性2、偶然中找必然，再用必然規(guī)律解決偶然3、等可能性事件的概率、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、隨機(jī)事件的分布列、數(shù)學(xué)期望是考查的重點(diǎn) 例重慶08年理科解法1：轉(zhuǎn)化成角度幾何模型22sin1( )(sin )2sin1)(cos )2cos1)xf xxxxx-=-+-+22sin1(cos1)(sin1)xxx-=-+-P(cosx-1,sinx-1)a動(dòng)點(diǎn)可看成 角終邊上一點(diǎn),( )sin1( )0f xf xa二、高考中數(shù)學(xué)思想方法往往綜合考察二、高考中數(shù)學(xué)思想方法

14、往往綜合考察解法2：特殊值法解法3：平方轉(zhuǎn)化例2016年全國(guó)卷3理科數(shù)學(xué)第21題（本題滿(mǎn)分12分）分析分析(1)直接利用求導(dǎo)公式求導(dǎo)即可直接利用求導(dǎo)公式求導(dǎo)即可(2)換元令換元令t=cosx 轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，再分類(lèi)討轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，再分類(lèi)討論論(3)利用正弦函數(shù)的有界性和基本不等式進(jìn)行放縮，再結(jié)合利用正弦函數(shù)的有界性和基本不等式進(jìn)行放縮，再結(jié)合a范圍分類(lèi)討論范圍分類(lèi)討論例2016年全國(guó)卷2理科數(shù)學(xué)第21題（本題滿(mǎn)分12分）分析分析（1）求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性）求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性（2）根據(jù)不等式特點(diǎn)構(gòu)造新函）根據(jù)不等式特點(diǎn)構(gòu)造新函數(shù)，通

15、過(guò)求導(dǎo)設(shè)出零點(diǎn)，并對(duì)零數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)設(shè)出零點(diǎn)，并對(duì)零點(diǎn)討論，研究新函數(shù)單調(diào)性，得點(diǎn)討論，研究新函數(shù)單調(diào)性，得出最值函數(shù)，并求其值域出最值函數(shù)，并求其值域例2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國(guó)卷）第21題分析（分析（1）求導(dǎo)再對(duì)參數(shù)）求導(dǎo)再對(duì)參數(shù)a分類(lèi)討論，分類(lèi)討論，確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)（2）通過(guò)（）通過(guò)（1）問(wèn)的）問(wèn)的x1,x2范圍及范圍及f(x)的的單調(diào)性，要證明單調(diào)性，要證明x1+x2f(2-x2)這道題算是最近幾年較常規(guī)的題目，形式上和2010年天津卷21及其相似，減元構(gòu)造函數(shù)算是導(dǎo)數(shù)題目常規(guī)思路，比如2013四川卷21，2010遼寧卷21，2009遼寧卷212016年

16、普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（四川卷）第21題分析分析(1)求導(dǎo)，對(duì)求導(dǎo)，對(duì)a討論，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間討論，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 （2）觀察函數(shù)）觀察函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為的零點(diǎn)為x=1,構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)g(x)=1/x-e1-x,h(x)=f(x)-g(x),再以再以a為標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)討論。為標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)討論。三、數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)三、數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng) 以上今年高考四例壓軸題，都以函數(shù)為載體，通過(guò)求導(dǎo)的代數(shù)手段，以上今年高考四例壓軸題，都以函數(shù)為載體，通過(guò)求導(dǎo)的代數(shù)手段，研究函數(shù)單調(diào)性，處理相關(guān)函數(shù)問(wèn)題，淋漓盡致地體現(xiàn)了函數(shù)方程不研究函數(shù)單調(diào)性，處理相關(guān)函數(shù)問(wèn)題，淋漓盡致地體現(xiàn)了函數(shù)方程不等式思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想。等式思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想。 這要求我們?cè)谄綍r(shí)的教研教學(xué)過(guò)程中這要求我們?cè)谄綍r(shí)的教研教學(xué)過(guò)程中做到：做到：1、認(rèn)真研究學(xué)生，新概念要符合學(xué)生認(rèn)知。、認(rèn)真研究學(xué)生，新概念要符合學(xué)生認(rèn)知。2、認(rèn)真研