數(shù)值積分(論文)

1、精品文檔目錄第一章數(shù)值積分計(jì)算的重述.1.1.1 引言1.1.2 問(wèn)題重述2.第二章復(fù)化梯形公式2.2.1 復(fù)化梯形公式的算法描述32.2 復(fù)化梯形公式在C語(yǔ)言中的實(shí)現(xiàn)32.3 測(cè)試結(jié)果4.第三章復(fù)化simpson公式5.3.1 復(fù)化simpson公式的算法描述5.3.2 復(fù)化simpson公式在C語(yǔ)言中白實(shí)現(xiàn)63.3 測(cè)試結(jié)果6.第四章復(fù)化cotes公式8.4.1 復(fù)化cotes公式的算法描述8.4.2 復(fù)化cotes公式在C語(yǔ)言中的實(shí)現(xiàn)84.3 測(cè)試結(jié)果9.第五章Romber則分法.105.1 Romberg積分法的算法描述1.05.2 Romberg積分法在C中的實(shí)現(xiàn)1.15.3 測(cè)試結(jié)

2、果12第六章結(jié)果對(duì)比分析和體會(huì)134參考文獻(xiàn)1.4附錄1.4.精品文檔數(shù)值積分je，2dx(一)第一章數(shù)值積分計(jì)算的重述1.1 引言數(shù)值積分是積分計(jì)算的重要方法，是數(shù)值逼近的重要內(nèi)容，是函數(shù)插值的最直接應(yīng)用，也是工程技術(shù)計(jì)算中常常遇到的一個(gè)問(wèn)題。在應(yīng)用上，人們常要求算出具體數(shù)值，因此數(shù)值積分就成了數(shù)值分析的一個(gè)重要內(nèi)容。在更為復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題中，數(shù)值積分也常常是一個(gè)基本組成部分。在微積分理論中，我們知道了牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式bf(x)dxF(F(aa其中F(x)是被積函數(shù)f(x)的某個(gè)原函數(shù)。但是隨著學(xué)習(xí)的深入，我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題：對(duì)很多實(shí)際問(wèn)題，上述公式卻無(wú)能為力。

3、這主要是因?yàn)椋核鼈兓蚴潜环e函數(shù)沒(méi)有解析形式的原函數(shù)，或是只知道被積函數(shù)在一些點(diǎn)上的值，而不知道函數(shù)的形式，對(duì)此，牛頓萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式就無(wú)能為力了。止匕外，即使被積函數(shù)存在原函數(shù)，但因找原函數(shù)很復(fù)雜，人們也不愿花費(fèi)太多的時(shí)間在求原函數(shù)上，這些都促使人們尋找定積分近似計(jì)算方法的研究，特別是有了計(jì)算機(jī)后，人們希望這種定積分近似計(jì)算方法能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，并保證計(jì)算結(jié)果的精度，具有這種特性的定積分近似計(jì)算方法稱為數(shù)值積分。由定積分知識(shí)，定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而在對(duì)被積函數(shù)做插值逼近時(shí)，多項(xiàng)式的次數(shù)越高，對(duì)被積函數(shù)的光滑程度要求也越高，且會(huì)出現(xiàn)Runge現(xiàn)象。如n&

4、gt;7時(shí),Newton-Cotes公式就是不穩(wěn)定的。因而，人們把目標(biāo)轉(zhuǎn)向積分區(qū)間，類似分段插值，把積分區(qū)間分割成若干小區(qū)問(wèn)，在每個(gè)小區(qū)間上使用次數(shù)較低的Newton-Cotes公式，然后把每個(gè)小區(qū)間上的結(jié)果加起來(lái)作為函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上積分的近似，這就是復(fù)化的基本思想。本文主要研究的公式有：復(fù)化梯形公式、復(fù)化Simpson公式、復(fù)化Cotes公式、Romberg積分法。1.2 問(wèn)題重述本文主要介紹微積分方程的復(fù)化解法。通過(guò)運(yùn)用復(fù)化梯形公式、復(fù)化Simpose公式、復(fù)化cotes公式和Romberg積分法這四種積分法方法，解出微分方程的近似解。并進(jìn)行誤差分析和結(jié)果比較。當(dāng)積分區(qū)間a,b的長(zhǎng)度較大，

5、而節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n+1固定時(shí)，直接使用Newton-Cotes公式的余項(xiàng)將會(huì)較大，而如果增加節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，即n+1增加時(shí)，公式舍舍入誤差又很難得到控制，為提高公式的精度，又使算法簡(jiǎn)單易行，往往使用復(fù)化方法。即將積分區(qū)間a,b分成若干個(gè)子區(qū)間，然后在每個(gè)小區(qū)間上使用低階Newton-Cotes公式，最后將每個(gè)小區(qū)間上的積分的近似值相加。將定積分的積分區(qū)間ab分割為n等份b-a各下點(diǎn)為xk=a+kh,k=0,1,-nh=在子區(qū)間x.xk書(k=0,1,1；.n-1)上n使用NewtonCotes公式將子區(qū)間分割為l等份，節(jié)點(diǎn)為xk,xk*,xk2h,xk'=xk1記為xk,x1,x2,xl=xk1k

6、-k-k-lll在子區(qū)間上作f(x)的l階Newton-Cotes求積公式af (x)d(x)：口)=(xk 1b廣 G(l)f(xkD»尸f(xkPi -0i =0由積分的區(qū)間可加性，可得f(x)d(x)cf(x)dxkfxkn 4復(fù)化求積公式JI胃k=0n 4 1=h' '、Ci f 區(qū).i) =I n k =0 i =0第二章復(fù)化梯形公式2.1 復(fù)化梯形公式的算法描述n1nJ1復(fù)化求積公式，I胃=卜;1二Cif(Xki)=InkOk=0i=0an11當(dāng)L=1時(shí)可得復(fù)化梯形公式：f(x)d(x)%Tn=h££Cif(xkQbk=0i=0n1=h

7、-f(Xk)f(Xk1)k=02b-an1復(fù)化梯形公式=f(a)2vf(Xk)f(b)2n«2.2 復(fù)化梯形公式在C語(yǔ)言中的實(shí)現(xiàn)復(fù)化梯形公式運(yùn)用的程序如下：T0=(a-b)*(f_x(a)+f_x(b)/2;n=1時(shí)的cotes公式即梯形公式for(i=1;i<=100;i+)/計(jì)算sum_num、xishu、s_point(startpoint)、d_pointsum_num=pow(2,i-1);xishu=double(a-b)/sum_num;s_point=double(b)+double(a-b)/pow(2,i);d_point=double(a-b)/pow(2

8、,i-1);for(j=1;j<=sum_num；j+)add_T=add_T+f_x(s_point+(j-1)*d_point);add_T=add_T*xishu;T1=(T0+add_T)/2;err_T=(T1-T0)/3;/outputprintf("%d%d%10.8f%10.8f",i,pow(2,i),T1,err_T);printf("n");if(err_T<=0)err_T=(-1)*err_T;if(err_T<=E)break;elseT0=T1;T1=0;add_T=0;err_T=0;在這個(gè)函數(shù)中我們將復(fù)

9、化梯形公式和積分過(guò)程都用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言表示出來(lái)。首先我們給出復(fù)化梯形公式，進(jìn)行迭代，直到精確度達(dá)到設(shè)定要求，算出最后結(jié)果。2.3測(cè)試結(jié)果用復(fù)化梯形有效數(shù)字四位求得的結(jié)果如下：用復(fù)化梯形有效數(shù)字七位求得的結(jié)果如下由以上結(jié)果可以看出取兩個(gè)不同的精度相對(duì)誤差比較小，但計(jì)算次數(shù)大大的增加，復(fù)化梯形公式計(jì)算次數(shù)多。第三章復(fù)化simpson公式3.1 復(fù)化simpson公式的算法描述n1n11復(fù)化求積公式、11的大，二Cif(xk.i)=1nkfk=0i=0an41當(dāng)L=2時(shí)可得復(fù)化梯形公式：Jf(x)d(x)%Sn=h££Ci(2)f(xk+)bk=0i=0n4 1咤”4%)f(xk 1

10、)n-1復(fù)化simpson公式二n-4f(xk1)2'f(xk)f(b)2k=03.2 復(fù)化simpson公式在C語(yǔ)言中的實(shí)現(xiàn)復(fù)化梯形公式運(yùn)用的程序如下：T0=(a-b)*(f_x(a)+4*f_x(a+b)/2)+f_x(b)/6;n=2的cotes公式即simpson公式for(i=1;i<=100;i+)/計(jì)算sum_num、xishu、s_point(startpoint)、d_point/longpowl(longdoublex,longdoubley)sum_num=pow(2,i-1);/thesameasTxishu=double(a-b)/sum_num/6;s

11、_point=double(b)+double(a-b)/pow(2,i);d_point=double(a-b)/pow(2,i-1);sd_point=double(a-b)/sum_num/4;for(j=1;j<=sum_num;j+)add_T=add_T+2*f_x(s_point+(j-1)*d_point)-4*f_x(s_point-sd_point+(j-1)*d_point)-4*f_x(s_point+sd_point+(j-1)*d_point);add_T=add_T*xishu;T1=(T0-add_T)/2;err_T=(T1-T0)/15;/output

12、printf("%d%d%10.8f%10.8f",i,pow(2,i),T1,err_T);printf("n");if(err_T<=0)err_T=(-1)*err_T;if(err_T<=E)break;elseT0=T1;T1=0;add_T=0;err_T=0;在這個(gè)函數(shù)中我們將復(fù)化simpose公式和積分過(guò)程都用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言表示出來(lái)。首先我們給出復(fù)化simpose公式，進(jìn)行迭代，直到精確度達(dá)到設(shè)定要求，算出最后結(jié)果。3.3 測(cè)試結(jié)果用復(fù)化simpose迭代取有效數(shù)字四位求得的結(jié)果如下：ca"C:Document!andn

13、XPCLIENT*而'囊學(xué)軟件專區(qū)DcbugK口口,MM I .1 zzzJ=數(shù)值積分/U用復(fù)化Simpson公式i2AiT_2Ai010.2455820512013901594380.13937155Tl-0.1393715Pressanykeytocontinue<T_2Ai-T_2A<i-l>>/30-0.00656349-0.000540920.00002371用復(fù)化simpose迭代取有效數(shù)字七位求得的結(jié)果如下:由以上結(jié)果可以看出兩次不同精度要求的計(jì)算可以看出不同精度計(jì)算計(jì)算次數(shù)相差較多。精度為四和七間計(jì)算次數(shù)相差了三次。第四

14、章復(fù)化cotes公式4.1 復(fù)化cotes公式的算法描述n_1n_11復(fù)化求積公式1胃斗9'Cif(Xk.i)=Ink0k=0i衛(wèi)an4當(dāng)L=4時(shí)可得復(fù)化梯形公式：Jf(x)d(x)生Cn=h££C(4)f(xi)bk=0i=0k-n 二90 k£2復(fù)化cotesa bn 1公式二7f(a)90ny7f(xJ32f(xki)12f(xk2)32f(xkj)7f0)44432f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(b)k4k4k44.2 復(fù)化cotes公式在C語(yǔ)言中的實(shí)現(xiàn)復(fù)化cotes公式運(yùn)用的程序如下：T0=(a-b)*(7*f_x(1)+32*f_x

15、(2)+12*f_x(3)+32*f_x(4)+7*f_x(5)/90;四階(n=4)cotes公式。for(i=1;i<=100;i+)sum_num=pow(2,i-1);/thesameasTxishu=double(a-b)/sum_num/90;s_point=double(b)+double(a-b)/pow(2,i);d_point=double(a-b)/pow(2,i-1);sd_point=double(a-b)/sum_num/8;for(j=1;j<=sum_num;j+).add_T=add_T-2*f_x(s_point+(j-1)*d_point)-3

16、2*f_x(s_point-sd_point+(j-1)*d_point)+20*f_x(s_point-2*sd_point+(j-1)*d_point)-32*f_x(s_point-3*sd_point+(j-1)*d_point)-32*f_x(s_point+sd_point+(j-1)*d_point)+20*f_x(s_point+2*sd_point+(j-1)*d_point)-32*f_x(s_point+3*sd_point+(j-1)*d_point);add_T=add_T*xishu;T1=(T0-add_T)/2;err_T=(T1-T0)/63;/outputp

17、rintf("%d%d%10.8f%10.8f",i,pow(2,i),T1,err_T);printf("n");if(err_T<=0)err_T=(-1)*err_T;if(err_T<=E)break;elseT0=T1;T1=0;add_T=0;err_T=0;在這個(gè)函數(shù)中我們將復(fù)化cotes公式和積分過(guò)程都用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言表示出來(lái)。首先我們給出復(fù)化cotes公式，進(jìn)行迭代，直到精確度達(dá)到設(shè)定要求，算出最后結(jié)果。4.3測(cè)試結(jié)果用復(fù)化cotes有效數(shù)字四位求得的結(jié)果如下：用復(fù)化cotes有效數(shù)字七位求得的結(jié)果如下:-J.n| x|ca&#

18、39;L:DucumentsandSetting號(hào)JtPCLIENT桌面,麴學(xué)軟件專區(qū)Debug、匚口pLexe"數(shù)值積分/用復(fù)化cute將公式i2rT_2Ai<T_2Ai-T_2A<i-l>>/3U10.140566270120.13847502-0.00003319240139402760.000000124160.13940279T1=0.1394028Pressanvkeytocontinue由以上結(jié)果可以兩次不同精度計(jì)算的結(jié)果相差相對(duì)前面的方法要大，計(jì)算次數(shù)增加了三次。第五章Romberg積分法5.1 Romberg積分法的

19、算法描述Romberg方法也稱為逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式之間的關(guān)系的基礎(chǔ)上，構(gòu)造出一種加速計(jì)算積分的方法。作為一種外推算法，它在不增加計(jì)算量的前提下提高了誤差的精度。在等距基點(diǎn)的情況下，用計(jì)算機(jī)計(jì)算積分值通常都采用把區(qū)間逐次分半的方法進(jìn)行。這樣，前一次分割得到的函數(shù)值在分半以后仍可被利用，且易于編程。對(duì)區(qū)間a,b,令h=b-a構(gòu)造梯形值序列T2K。T1=hf(a)+f(b)/2把區(qū)間二等分，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為h/2=(b-a)/2,于是T2=T1/2+h/22f(a+h/2)把區(qū)間四(22)等分，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為h/22=(b-a)/4,于是T4=T2/2+h/2f

20、(a+h/4)+f(a+3h/4)把a(bǔ),b2k等分，分點(diǎn)xi=a+(b-a)/2ki(i=0,1,22k)每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為(b-a)/2k,由歸納法可得面所說(shuō)的的第一個(gè)公式.(二)計(jì)算公式如下：整個(gè)程序就是循著這四個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算的。Sn,Cn,Rn分別代表特例梯形積分，拋物線積分，龍貝格積分.當(dāng)然，編程的時(shí)候統(tǒng)一處理即可。5.2 Romberg積分法在C中的實(shí)現(xiàn)Romberg公式運(yùn)用的程序如下：doubleT0=0,S0=0,C0=0,T1=0,S1=0,C1=0,R0=0,R1=0;doubleerr_T=10;inti=0,j=0;intsum_num=0;doublexishu=0;/系

21、數(shù)doubles_point=0,d_point=0;doubleadd_T=0;T0=(a-b)*(f_x(a)+f_x(b)/2;/n=1時(shí)的cotes公式即梯形公式。for(i=1;i<=100;i+)/thefirstbasenumbersum_num=pow(2,i-1);xishu=double(a-b)/sum_num;s_point=double(b)+double(a-b)/pow(2,i);d_point=double(a-b)/pow(2,i-1);for(j=1;j<=sum_num;j+)add_T=add_T+f_x(s_point+(j-1)*d_po

22、int);-add_T=add_T*xishu;T1=(T0+add_T)/2;add_T=0;/計(jì)itsiS1=4叮1/3-T0/3;if(i>=2)C1=16*S1/15-S0/15;if(i>=3)R1=64*C1/63-C0/63;/checkusingthe"1"dataerr_T=(R1-R0)/255;if(err_T<0)err_T=(-1)*err_T;if(err_T<E)&&(i>=4)break;/完成計(jì)算后，準(zhǔn)備下一次循環(huán)T0=T1;T1=0;S0=S1;S1=0;C0=C1;C1=0;R0=R1;R1

23、=0;在這個(gè)函數(shù)中我們將romboerg公式和的積分過(guò)程都用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言表示出來(lái)。首先我們給出romboerg公式的T0,進(jìn)行迭代，分別算出S1,C1,R1直到精確度達(dá)到設(shè)定要求，算出最后結(jié)果。5.3 測(cè)試結(jié)果用romboerg有效數(shù)字四位求得的結(jié)果如下：r"r:nnrun-ipntsanriSettinqC.MPClIENT'卓面'救學(xué)軟件專區(qū)tDEbug'CpfJ1=數(shù)值積分加用ru皿加9公式($階=i2Ai(T_2i-T_2*<i-l)>/3918.73575988BIl=B.14324283B1-8.1393715SCl=0.13939525

24、Bl=0,13946986err_Tl=0,0000B38flPressanykeytocontinue-IDI-Xl用romboerg有效數(shù)子七位求得的結(jié)果如下：c|HC;Doturnenf5andSctHng八XP(J.TFZ卓面,敏中軟件專區(qū)，6hiiqXpp，數(shù)值積分環(huán)用nbcrg公式8介2i£T_2&1_2氣IT)>/30.7357saes0=0,1403613181=0,13940080Cl=0,13940276Hl-0-13740287err_Tl=0,00000>B3Pressanykeytocontinue由以上結(jié)果可看出，用romboerg取不

25、同的精度對(duì)T1,S1,C1,R1的結(jié)果影響大小不相同，T1影響最大，R1影響最小，迭代次數(shù)越多精度影響大小越小。第六章結(jié)果對(duì)比分析和體會(huì)通過(guò)對(duì)不同精度的測(cè)試發(fā)現(xiàn)復(fù)化梯形公式的計(jì)算量增加最快，而romberg達(dá)到一定的精度要求結(jié)果無(wú)法正常計(jì)算顯示。如下圖所示當(dāng)精度要求達(dá)到20時(shí)結(jié)果無(wú)法正常顯示。而其他可正常顯示結(jié)果但是計(jì)算次數(shù)相對(duì)較大如復(fù)化梯形計(jì)算次數(shù)為三十三次，由以上程序測(cè)試的數(shù)據(jù)結(jié)果的對(duì)比顯示可知不同求積公式各有特點(diǎn).梯形求積公式和Simpson求積公式雖然計(jì)算簡(jiǎn)單、使用方便，但是精度較差，但對(duì)于光滑性較差的被積函數(shù)有時(shí)比高精度方法更為有效。尤其梯形公式對(duì)被積函數(shù)是周期函數(shù)的效果更為突出。n

26、>7時(shí),復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式在保留了低階公式的優(yōu)點(diǎn)，又能獲得較高的精度，因此在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)用的最為廣泛。利用二分技術(shù)得到的Romberg方法的算法簡(jiǎn)單,易于編程實(shí)現(xiàn)。當(dāng)節(jié)點(diǎn)加密提高積分近似程度時(shí)，前面計(jì)算的結(jié)果可以為后面所用，對(duì)減少計(jì)算量很有好處，并有比較簡(jiǎn)單的誤差估計(jì)，能得到若干積分序列，如果在做收斂性控制時(shí)，同時(shí)檢查各行、各列，對(duì)于不同性態(tài)的函數(shù)可以用其中最快的收斂序列來(lái)逼近積分。參考文獻(xiàn)1李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析M.武漢.華中科技大學(xué)出版社，2006.7.2清華大學(xué)、北京大學(xué)計(jì)算方法編寫組.計(jì)算方法M.北京.科學(xué)出版社，19803呂同斌復(fù)化梯形公式及其應(yīng)用期

27、刊論文安徽水利水電職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)2002年4期4溪梅成數(shù)值分析方法M合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2003附錄1 .復(fù)化梯形源程序#include<stdio.h>#include<math.h>#definea5#defineb1#defineE0.00000005/即保留七位有效數(shù)字0.5*10A-7/原函數(shù)doublef_x(doublex).doubley;y=exp(-(x*x);return(y);)intpow(intx,inty)(intz=1;inti;for(i=0;i<y;i+)(z=z*x;)returnz;)voidmain()(/計(jì)算T1,

28、T2.T4.T8doubleT0=0,T1=0;doubleerr_T=10;inti=0j=0;intsum_num=0;doublexishu=0;doubles_point=0,d_point=0;doubleadd_T=0;T0=(a-b)*(f_x(a)+f_x(b)/2;/n=1時(shí)的cotes公式即梯形公式printf("n");printf("=數(shù)值積分一利用復(fù)化梯形公式=n)；printf("n");printf("i2AiT_2Ai(T_2Ai-T_2A(i-1)/3n");printf("n&q

29、uot;);printff'O%d%10.8f0",pow(2,0),T0);printf("n");for(i=1;i<=100;i+)計(jì)算sum_num>xishu、s_point(startpoint)、d_pointsum_num=pow(2,i-1);xishu=double(a-b)/sum_num;s_point=double(b)+double(a-b)/pow(2,i);d_point=double(a-b)/pow(2,i-1);for(j=1;j<=sum_num;j+).add_T=add_T+f_x(s_poin

30、t+(j-1)*d_point);-add_T=add_T*xishu;T1=(T0+add_T)/2;err_T=(T1-T0)/3;/outputprintf("%d%d%10.8f%10.8f",i,pow(2,i),T1,err_T)；printf("n");if(err_T<=0)err_T=(-1)*err_T;if(err_T<=E)break;elseT0=T1;T1=0;add_T=0;err_T=0;./resultprintf("n");printf("T1=%9.7f",T1);

31、printf("n");printf("n");2 .復(fù)化simpose源代碼#include<stdio.h>#include<math.h>#definea5#defineb1#defineE0.00000005/即保留七位有效數(shù)字0.5*10A-7/原函數(shù)doublef_x(doublex)(.doubley;y=exp(-(x*x);return(y);)intpow(intx,inty)(intz=1;inti;for(i=0;i<y;i+)(z=z*x;)returnz;)voidmain()(/計(jì)算T1,T2,

32、T4,T8doubleT0=0,T1=0;doubleerr_T=10;inti=0,j=0;intsum_num=0;doublexishu=0;doubles_point=0,d_point=0,sd_point=0;doubleadd_T=0;T0=(a-b)*(f_x(a)+4*f_x(a+b)/2)+f_x(b)/6;/n=2的cotes公式即simpson公式一一一printf("n");printf("=數(shù)值積分_利用復(fù)化simpson公式=n");printf("n");printf("i2AiT_2Ai(T

33、_2Ai-T_2A(i-1)/3n");printf("n");printf("0%d%10.8f0",pow(2,0),T0);printf("n");for(i=1;i<=100;i+)(計(jì)算sum_num>xishu、s_point(startpoint)、d_point/longpowl(longdoublex,longdoubley)sum_num=pow(2,i-1);/thesameasTxishu=double(a-b)/sum_num/6;s_point=double(b)+double(a-b

34、)/pow(2,i);d_point=double(a-b)/pow(2,i-1);sd_point=double(a-b)/sum_num/4;for(j=1;j<=sum_num;j+).add_T=add_T+2*f_x(s_point+(j-1)*d_point)-4*f_x(s_point-sd_point+(j-1)*d_point)-4*f_x(s_point+sd_point+(j-1)*d_point);一一一一add_T=add_T*xishu;T1=(T0-add_T)/2;err_T=(T1-T0)/15;/outputprintf("%d%d%10.8

35、f%10.8f",i,pow(2,i),T1,err_T);printf("n");if(err_T<=0)err_T=(-1)*err_T;if(err_T<=E)break;elseT0=T1;T1=0;add_T=0;err_T=0;./resultprintf("n");printf("T1=%9.7f",T1);printf("n");printf("n");3 .復(fù)化cotes源代碼#include<stdio.h>#include<math.

36、h>#definea5#defineb1#defineE0.00000005/即保留七位有效數(shù)字0.5*10A-7/原函數(shù)doublef_x(doublex)(doubley;y=exp(-(x*x);return(y);)intpow(intx,inty)(intz=1;inti;for(i=0;i<y;i+)(z=z*x;)returnz;)voidmain()(/計(jì)算T1,T2,T4,T8doubleT0=0,T1=0;doubleerr_T=10;inti=0,j=0;intsum_num=0;doublexishu=0;doubles_point=0,d_point=0,

37、sd_point=0;doubleadd_T=0;T0=(a-b)*(7*f_x(1)+32*f_x(2)+12*f_x(3)+32*f_x(4)+7*f_x(5)/90;四階(n=4)cotes公式printf("n");printf("=數(shù)值積分_禾1用復(fù)化cotes公式=n");printf("n");printf("i2AiT_2Ai(T_2Ai-T_2A(i-1)/3n");printf("n");printf("0%d%10.8f0",pow(2,0),T0);p

38、rintf("n");for(i=1;i<=100;i+)(計(jì)算sum_num>xishu、s_point(startpoint)、d_point/longpowl(longdoublex,longdoubley)sum_num=pow(2,i-1);/thesameasTxishu=double(a-b)/sum_num/90;s_point=double(b)+double(a-b)/pow(2,i);d_point=double(a-b)/pow(2,i-1);sd_point=double(a-b)/sum_num/8;for(j=1;j<=sum

39、_num;j+).add_T=add_T-2*f_x(s_point+(j-1)*d_point)-32*f_x(s_point-sd_point+(j-1)*d_point)+20*f_x(s_point-2*sd_point+(j-1)*d_point)-32*f_x(s_point-3*sd_point+(j-1)*d_point)-32*f_x(s_point+sd_point+(j-1)*d_point)+20*f_x(s_point+2*sd_point+(j-1)*d_point)-32*f_x(s_point+3*sd_point+(j-1)*d_point);一一一一add_

40、T=add_T*xishu;T1=(T0-add_T)/2;err_T=(T1-T0)/63;/outputprintf("%d%d%10.8f%10.8f",i,pow(2,i),T1,err_T);printf("n");if(err_T<=0)err_T=(-1)*err_T;if(err_T<=E)break;elseT0=T1;T1=0;add_T=0;err_T=0;./resultprintf("n");printf("T1=%9.7f",T1);printf("n");printf("n");1. romberg源代碼#include<stdio.h>#include<math.h># definea5# defineb1# defineE0.00000005/即保留七位有效數(shù)字0.5*10A-7/原函數(shù)doublef_x(doublex)(.doubley;y=exp(-(x*x);return(y);)intpow(intx,inty)(intz=1;inti;for(i=0;i<y;i+)(z=z*x;)returnz;)vo