全國高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

1、含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間在高考導(dǎo)數(shù)的綜合題中， 所給函數(shù)往往是一個含參數(shù)的函數(shù)， 且導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)， 在分析函數(shù)單調(diào)性時面臨的分類討論。 本節(jié)通過一些例題總結(jié)參數(shù)討論的方法與技巧， 便于更加快速準確的分析含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。一、基礎(chǔ)知識：1、導(dǎo)數(shù)解單調(diào)區(qū)間的步驟：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，大致步驟可應(yīng)用到解含參函數(shù)的單倜區(qū)間。即確定定乂域求出導(dǎo)函數(shù)令f x 0解不等式f得到遞增區(qū)間后取定義域的補集（減區(qū)間）-單調(diào)性列出表格2、求含參函數(shù)單調(diào)區(qū)間的實質(zhì)解含參不等式，而定義域?qū) 的限制有時會簡化含參不等式的求解3、求單調(diào)區(qū)間首先確定定義域，并根據(jù)定義域?qū)?dǎo)數(shù)不等式中恒正恒負的項處理掉，以簡化討

2、論的不等式4、關(guān)于分類討論的時機與分界點的確定（ 1 ）分類時機：并不是所有含參問題均需要分類討論，例如解不等式： x a 0 ，其解集為 a, ，中間并沒有進行分類討論。思考：為什么？因為無論參數(shù)a 為何值，均是將a移到不等號右側(cè)出結(jié)果。 所以不需要分類討論， 再例如解不等式x2 a 0 ， 第一步移項得：x2 a （同樣無論a 為何值，均是這樣變形） ，但是第二步不等式兩邊開方時發(fā)現(xiàn)a 的不同取值會導(dǎo)致不同結(jié)果，顯然a 是負數(shù)時，不等式恒成立，而a 是正數(shù)時，需要開方進一步求解集， 分類討論由此開始。體會：什么時候開始分類討論？簡而言之， 當參數(shù)的不同取值對下一步的影響不相同時， 就是分類

3、討論開始的時機。 所以一道題是否進行分類討論不是一開始就決定的，而是在做的過程中遇到不同值導(dǎo)致不同步驟和結(jié)果，就自然的進行分類討論。（ 2 ）分界點的確定：分類討論一定是按參數(shù)的符號分類么？不一定。要想找好分界點，首先 要明確參數(shù)在問題中所扮演的角色 。例如上面的不等式x2 a ， a 所扮演的角色是被開方數(shù)，故能否開方是進行下一步的關(guān)鍵，那自然想到按a 的符號進行分類討論。（ 3 ）當參數(shù)取值為一個特定值時，可將其代入條件進行求解（ 4 ）當參數(shù) a 扮演多個角色時，則以其中一個為目標進行分類，在每一大類下再考慮其他角色的情況以及是否要進行進一步的分類。1 一 例如：斛不等式： ax 1 x

4、 10,可得：x1 a 0 ,x2 1此時a扮演兩個a角色，一個是x的系數(shù)，將決定解集是小大根之外還是小大根之間，另一個角色是決定 x1的大小，進而要和 x2來角逐大小根。那么在處理時可先以其中一個為主要目標，例如以x系數(shù)的正負，進行分類。當a 0時，此時不等式的解集為小大根之間，而由于a 0,以此為前提x1 0 1 x2,1故小大根不存在問題，解集為一,1a當a 0時，不等式變?yōu)閤 1 0 x ,1當a 0時，不等式解集為小大根之外，而x1 1 0,x2 1, %,*2的大小由a的取值a決定，所以自然考慮再結(jié)合小大根進行進一步討論了。（重視的對比）八，一，1X x20 a 1時，不等式解集為

5、，1 U ,a2x1 x2a 1時，不等式化為 x 10 x 1， 一，1 .x x2a 1時，不等式解集為 ，一 U 1,a希望通過此例能夠體會分類討論的時機與分界,若能領(lǐng)悟，其分類討論不再是一個難點，而是有線索可循了。、典型例題:1 x例1：已知函數(shù)f x lnx,求f x的單調(diào)區(qū)間ax解：定義域x 0,In xj11 ax 1f x2 -2-ax x ax.，ax 1令f x 0,所解不等式為0a,_ , 一一-1當a 0時，即解不等式ax 1 0 x -f x的單調(diào)區(qū)間為:x0,1 a1, a, f x+f xZ當 a 0時，ax 1 0, a 0'f x 0恒成立f x為增函

6、數(shù)：3例2：已知函數(shù)f xax3 3x2 1 1，一，-x 1垂直，求實數(shù)a的值3a(1)若f x的圖像在x 1處的切線與直線 y(2)求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間解：(1)由切線與y'2f x 3ax 6x1-.八-x 1垂直可得：f 133f 1 3a 6 3 a 1(2)思路：導(dǎo)函數(shù)f' x23ax 6x ,令 f x0解單調(diào)增區(qū)間，得到含參不等式。分類討論時注意a扮演兩個角色：一個是影響最高次項的符號，一個是影響方程的根解：f' x3ax2 6x 令 f' x 0 即 3ax2 6x 03x ax 20G八2 a 0 x1 0,x2 x2 x1 (將a的范圍分

7、類后，要善于把每一類的范圍作為已知條a使用件，在本題中使用 a 0的條件使得x1，x2大小能夠確定下來，避免了進一步的分類)f x的單調(diào)區(qū)間為:x,00? a2, af x+f xZZD a 0x2 xf x的單調(diào)區(qū)間為:x2, a±0 a0, f x+f xZZ2例3：已知函數(shù)f x 2ln x ax ,求f x的單倜區(qū)間解：定義域：x 0,2 c 2 2ax 八一 八一2- 2ax ,令 f x 0,可得：2 2ax 0xx即 ax21當 a 0時，x2 - x 0, aaf x的單調(diào)區(qū)間為:x。百, a, f xf xZ當a 0時，f x21nx為增函數(shù)22 2axr當a 0時

8、，f x 2ax 0恒成立 f x為增函數(shù)xx例4：討論函數(shù)f x a 1 In x ax2 1的單調(diào)區(qū)間/c 2/a 1 小 2axa 1'解：f x 2ax 令 f x 0xx22即2ax a 1 0 2ax a 1（注意定義域為 0,+,所以導(dǎo)函數(shù)分母恒正，去掉后簡化所解不等式）2 a 12a a 0時 x （求解x需要除以2a后開方，進而兩個地方均需要分類討論， 先從2a的符號入手）Qa 0a1 0 f' x 0恒成立，f x在0, 單調(diào)遞增2aa 0函數(shù)f xIn x 1為增函數(shù)2 a 1a 1a 0時x2（下一步為開方出解集，按 的符號進行再分類）2a2aa 1當

9、0即a 1時，f x 0恒成立，f x在0,單調(diào)遞減2a當0_J2aa 0時，解得：0 xa 12af x的單調(diào)區(qū)間為:x0,J展V 2a, f x+f xZ小煉有話說：本題定義域為0,故對單調(diào)區(qū)間既有促進作用又有制約作用：促進作用體現(xiàn)在對所解不等式的簡化，請大家養(yǎng)成一個良好習(xí)慣，當已知變量范圍時，一邊關(guān)注范圍一邊解不等式。制約作用體現(xiàn)在單調(diào)區(qū)間應(yīng)該是定義域的子集，所以在 1 a 0時，表格中自變量的區(qū)間是從 x 0處開始分析的2一 例5：已知函數(shù)fx x a 2 ln x ,討論f x的單倜性 x解：定義域為 0,2j / 2ax ax 2'2八八f x 1 2令 fx 0即 x a

10、x 2 0x x x考慮 a2 8 （左邊無法直接因式分解，考慮二次函數(shù)是否與x軸有交點） 02近a 2我時x2 ax 2 0恒成立，故f x在0,單調(diào)遞增 a272"時x2ax 20 的解 x1 a8 ,x2 a8x1,x20222aa28a. a2 8x2 ax 2 0 的解集為 0, U 22f x的單調(diào)區(qū)間為:x0 a _'a2 8a Ja2 8 a Ja2 8a 4 a之 82,22, f x+f xZZ a 2、”4x1,x20 x 0, f x 0f x在0,單調(diào)遞增小煉有話說：本題亮點在于的討論， 判斷極值點是否在定義域中。 進而確定單調(diào)性。除 了解出根來判斷

11、符號之外， 本題還可以利用韋達定理進行判斷。 x1 x2 2,說明兩根同號, 而xi x2 a,說明a的符號決定xi,x2的正負，從而在0的情況下進行再次分類討論例6：已知函數(shù)f x eax a a 1 ,其中a 1.x(1)當a 1時，求曲線y f x在點1,f 1處的切線方程;(2)求f x的單調(diào)區(qū)間.v 1解：（1） f xex - 2x3e, f 12e切線方程為:y 3e 2e x 1 ,即 y 2ex eax x 1 a 1 x 10,axae 2, xx令f' x 0,即解不等式： a x 1 a 1 x 10x,11,00,f x+當a 1時，解得：x1,故f x的單調(diào)

12、區(qū)間為:f xZZ11當1 a 0時x11,x2 0,所以解得： 1 x a 1a 1故f x的單調(diào)區(qū)間為:x,11,00, a 11a 1，, f x+f xZZa 0,則f x 1,常值函數(shù)不具備單調(diào)性a 0時，解得：x 1或x 故f x的單調(diào)區(qū)間為: a 1x,11,00a1a 1，, f x+f xZZj 一 乙一一、r,， _1 2.例7：已知函數(shù)fx - x ax a ln x 1 a R .求函數(shù)f x的單倜區(qū)間.2后刀jax2a 1 x x x a 1解：f x x a x 1x 1x 1令 f' x 0,即 xx a 10,xi0,x2a 1 （參數(shù)a角色： 刈，溝的

13、大小， x2是否在定義域內(nèi)，以為目標分類）x2 x1a 10即a1 （此時不等式的解集為 1 x 0或xa 1a 1 一定在定義域中，故不再分類）f x的單調(diào)區(qū)間為：x1,00, a 1a 1 , f xf xx2x1a 1 f xx20 fx在 1,單調(diào)遞增X2 xi 0 a 1 ,要根據(jù)X2是否在1,0進行進一步分類當1 a 0時，x20,1不等式的解集為x 0或1 x a 1x1, a 1a 1 ,00, f xf xf x的單調(diào)區(qū)間為：當a 0時，則x a 1 0,不等式的解集為 x 0 , f x的單調(diào)區(qū)間為:x1,00,+, f xf x小煉有話說：(1)在求單調(diào)區(qū)間時面臨一個 f

14、' x 0的根是否在定義域中的問題，由此也可體會到定義域?qū)握{(diào)區(qū)間“雙刃劍”的作用，一方面縮小自變量的范圍從而有利于不等式的化簡，另一方面也圈住了單調(diào)區(qū)間，極值點所在的范圍。(2)體會參數(shù)起到多重作用時，是如何進行分類討論的，以及在某個大前提下，參數(shù)討論也可進行些簡化。例8：已知函數(shù)f xln x ax2 a 2 x ,求f x的單調(diào)區(qū)間解：定義域 x | x1f x 一 2axx22ax2x 1 ax 1令f x 0,即解不等式2x 1 ax 10a 0時，x11一, x22a?；?x2時，即11八.一 a 2 ,解得x2a2xD x1f x的單調(diào)區(qū)間為:x0,- a1 1a，212

15、，f xf xZZf x為增函數(shù)D x1 x2a 2 ,代入到 f x x x22 a 0,解得：x22x 1x0恒成立1 -1一或0 xa2，一i j，1(1)當a 0時，可得ax 1 0,則不等式的解為 x 2x0,212，f x+f xZf x的單調(diào)區(qū)間為:當f x的單調(diào)區(qū)間為：x0,21 12, a1, af xf xZZ132例9：設(shè)函數(shù)f x -ax 2ax 1 2a x,a 0,求f x的單倜區(qū)間; 3解：f x ax2 4ax 1 2a,令 f x 0 即 ax2 4ax 1 2a 02216a2 4a 1 2a 24a2 4a 4a 6a 1則f x 0恒成立 f x在R上單調(diào)遞增(2)14a . 24a2 4a- x 62a6a2 a1(1)00a-66a2 a - 6a2 a0時，解得 2 x 2 aa1. 6a a當a 一時，解得： x 2 或x6a26a2 a2 V6a2 a ? J 6a2 a6a2 a2 例10：已知函數(shù)f x nx xn,xR,其中n N ,n 2 ,試討論f x的單調(diào)性思路：f' x n nxn 1 n 1 xn 1可令f' x 0 ,則需解不等式xn