高中數(shù)學(xué)2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法教案(3)新人教版必修5

1、§ 2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法教學(xué)目的:1. 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生理解數(shù)列的概念，理解數(shù)列是一種特殊函數(shù)，把數(shù)列融于函數(shù)之中；2. 了解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng)，對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)前幾項(xiàng)寫出它的通項(xiàng)公式；3. 理解遞推公式的意思，能類比函數(shù)畫出數(shù)列通項(xiàng)公式的圖象；4. 理解通項(xiàng)公式與遞推公式的異同；5. 通過探究、思考、交流、實(shí)驗(yàn)、觀察、分析等教學(xué)方式，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，并通過日常生活重的大量實(shí)例，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手試驗(yàn)，大膽猜想，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)科學(xué)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度；6. 通過本節(jié)章頭圖的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，理解大自然的豐富多彩，感受

2、“大自然是懂?dāng)?shù)學(xué)的”從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.教學(xué)重點(diǎn)：1. 理解數(shù)列及其有關(guān)概念；2. 了解數(shù)列的通項(xiàng)公式和遞推公式的意義，并能根據(jù)通項(xiàng)公式或遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)；3. 了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系.教學(xué)難點(diǎn)：1. 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式；2. 理解遞推公式和通項(xiàng)公式的關(guān)系；3. 數(shù)列的遞推公式及其應(yīng)用的處理技巧.教學(xué)過程：一、引入新課：創(chuàng)設(shè)情景引導(dǎo)學(xué)生閱讀章頭圖幾文字說(shuō)明，“有人說(shuō)，大自然是懂?dāng)?shù)學(xué)的”“樹木的分叉、花瓣的數(shù)量、植物的種子或樹木的排列，都遵循了某種數(shù)學(xué)規(guī)律”，那么大自然是怎么懂?dāng)?shù)學(xué)的？都遵循了什么樣的規(guī)律 ?真是神奇而又奧妙.插圖右側(cè)是四種不同類型的花瓣 ，

3、其花瓣樹木分別是3,5,8,13，你看出這幾個(gè)數(shù)字的特點(diǎn)了嗎？前兩個(gè)之和恰好等于后一個(gè)，你說(shuō)奇妙不奇妙？這種規(guī)律就是我們將要學(xué)習(xí)的數(shù)列.引例1. 國(guó)際象棋中的每個(gè)格子中一次放入這樣的麥粒數(shù)排成一列數(shù)234631,2,2，2，2，22. 某班學(xué)生的學(xué)號(hào)由小到大排成一列數(shù)1,2,3,4，453.1984年至2008年，我國(guó)奧運(yùn)健兒在歷次奧運(yùn)會(huì)上獲得的金牌數(shù)排成一列數(shù)15,5,16 ,16,28,32 ,51像上面這些例子中，按一定次序排成的一列數(shù)，它們有什么共同特點(diǎn)？共同特點(diǎn)：(1) 每一項(xiàng)都是一個(gè)數(shù)；(2) 這些數(shù)在排列上按一定順序來(lái)二、講解新課：1. 數(shù)列的概念按一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，

4、數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，通常也叫做首項(xiàng)，排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)注：從數(shù)列定義可以看出，數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，如果組成數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么他們就不是同一數(shù)列，顯然數(shù)列和數(shù)集有本質(zhì)的區(qū)別2. 數(shù)列的記法數(shù)列的一般形式可以寫成：ai，a2,，an，可簡(jiǎn)記為an 其中an是數(shù)列的第n項(xiàng)3. 數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式a： f (n)來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式注:(1) 一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)不唯一女口 1,

5、0,1,0,1,0,1,0，1+(_1)n +n + 1它的通項(xiàng)公式可以是 an =,也可以是 an =| cos二2 2(2)通項(xiàng)公式的作用：求數(shù)列中的任意一項(xiàng)； 檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，并確定是第幾項(xiàng)4. 數(shù)列的本質(zhì)從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作一個(gè)定義域是正整數(shù)集N*(或它的子集1,2,3，n)的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值而數(shù)列的項(xiàng)是函數(shù)值，序號(hào)就是自變量，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.其圖象是一群孤立點(diǎn).由于函數(shù)有三種表示法，所以數(shù)列也有三種表示法：列表法、圖 象法和通項(xiàng)公式法通常用通項(xiàng)公式法表示數(shù)列5. 數(shù)列的分類(1) 按數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是否有限，分為有窮數(shù)列

6、和無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列；項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫做無(wú)窮數(shù)列(2) 按數(shù)列的每一項(xiàng)隨序號(hào)的變化趨勢(shì)，分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；各項(xiàng)相等的數(shù)列叫做常數(shù)列；一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做擺動(dòng)數(shù)列6. 遞推公式已知數(shù)列的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且任一項(xiàng)an與它前一項(xiàng)ana(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表 示,這個(gè)公式叫做數(shù)列的遞推公式注:已知數(shù)列的遞推公式時(shí)，采用逐次代值法，可以求出數(shù)列的其它項(xiàng)值用心愛心專心3三、講

7、解范例:例1寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列個(gè)數(shù)(1)1111,-2 34; (3)1,3,5,7(4)解：（1）(-1)n1a nn(2)(3)an =2n -1(4)an2,0,2,0 .2 2 2213-14-12，3，4n +1an = 2 | cos: |2(n 1)21n +125-15類型題：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值,寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式2 3456(1)1,0,1,0，JJJJ3 8152435(3)7,77 ,777 ,7777，(4)-1,7, -13 ,19,_25,31，(5)1,3,3,5,5,7,7,9,9，(6)1,3,7 ,15, (7)2,

8、 _6,12 , _20 ,30 , _42, (8)0.9,0.99,0.999 ,0.9999 ,1 416246810(9)_ Q BjjjJ(10)JJJJJ3 1535 63993 33n +答案：1 +(-1)2an= (-1)n n 1一(n +1)-1二 7(10 n -1)9an二(_1)n(6n _5)n11 +(1)=n +2n=2 1= (-1)n 1 n(n 1)(8)1=1 -n10用心愛心專心4用心愛心專心#(9)(10)2n(2n _ 1)(2n 1)點(diǎn)評(píng)：這種由“數(shù)”給出數(shù)列的“式”的題目，解決的關(guān)鍵是找出這個(gè)數(shù)列呈現(xiàn)的規(guī)律性的東西，然后在通過歸納給出這個(gè)數(shù)列

9、的通項(xiàng)公式但是學(xué)生應(yīng)該注意到，數(shù)列的通項(xiàng)公式并不是唯一的常用下列手段來(lái)解決這類問題： 用（_“n和（_1）n 1來(lái)調(diào)整符號(hào)； 各項(xiàng)均化為分?jǐn)?shù),平方數(shù)，指數(shù),對(duì)數(shù)及同類式子再找規(guī)律； 借助一些特殊的數(shù)列：丄, n2, 2 n - 1,an,匚口 , 燈 "n22 有些數(shù)列的通項(xiàng)公式可以用分段的形式來(lái)表示例2根據(jù)下面數(shù)列an的通項(xiàng)公式，寫出前5項(xiàng).(1) a n(2) an =(-1)，n (3) an =2n +1解：略 例3在數(shù)列an中,ai =3,ai° =21 ,通項(xiàng)公式是項(xiàng)數(shù)的一次函數(shù)(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式,并求a2008 ；(2) 若bn =a2n，求數(shù)列bn

10、的通項(xiàng)公式例4已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an二_2n 2 - 9 n 3.(1) 試問2是否是數(shù)列 an中的項(xiàng)？(2) 求數(shù)列an的最大項(xiàng)；(3) 若 an - 0 ,求 n .解：略7513例5已知數(shù)列1,2, , ,3 25(1) 寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an；(2) 根據(jù)an判斷數(shù)列an的增減性和有界性”3n _2解：(1) an 二n 2 2 2 2(2)因?yàn)?an 1 an =(3) 一(3 -一)0n +1n n n +1所以數(shù)列an是遞增數(shù)列2又因?yàn)? ： a n = 33n所以數(shù)列an是有界數(shù)列.1例6已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1 =1,且an =1(n 1),寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)a

11、 n解：略例7 (1)已知數(shù)列an的首項(xiàng)a2,且an1=an -4(n _1),試寫出這個(gè)數(shù)列的前 4項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式(2) 在數(shù)列an中，a1 =0, an 1二an * (2 n-1)( nN * ),試寫出這個(gè)數(shù)列的前 4項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式.解：略例8設(shè)數(shù)列 an是以1為首項(xiàng)的正數(shù)列，且(n T)a； .1 - na； a.=0(n N 8),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：略用心愛心專心6類型題1:已知數(shù)列滿足a.類型題2:已知數(shù)列滿足a.類型題3:已知數(shù)列滿足a,1. =2an，寫出前5項(xiàng)，并猜想an 2 a1二一,寫出前5項(xiàng),并猜想a, an 2仆=3an -2 ,寫出前5項(xiàng)，并猜想

12、a=3a n 1_ 2a n ,且 a1= 1, a 2例9已知數(shù)列an的遞推公式是(1) a5； (2)127是這個(gè)數(shù)列中的第幾項(xiàng)例10若記數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn ,試證明anSn 'Snn=1用心愛心專心#用心愛心專心#證明：變式題1:已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為二 2n變式題2:已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為變式題3:已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為-1 ,求 a用心愛心專心#用心愛心專心#例11如圖中的三角形成為謝賓斯基(Sierpinski) 三角形在下圖四個(gè)三角形中，著色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，請(qǐng)寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，并在直角坐標(biāo)系中畫出它的圖象.(P30例2)例12如圖XXXX

13、是第七屆國(guó) C處AA際數(shù)育大會(huì)的會(huì)徽， 會(huì)徽的主體 圖案是由如圖所示的一連串直角三角形演化而成，其中0A1 =A1A2 =人2人3二二A7A1，用心愛心專心#用心愛心專心#記0AOA2,OA3,，OA7,OA8的長(zhǎng)度所在的數(shù)列為 J (nN ，1 一 n_8)(1) 寫出數(shù)列的前4項(xiàng)；(2) 寫出數(shù)列J的一個(gè)遞推關(guān)系式；求的通項(xiàng)公式；如果把圖中的三角形繼續(xù)做下去，那么OA9,OA 2008的長(zhǎng)度分別為多少？1CME7A. -1B.1C.17D.1224815.已知數(shù)列an滿足a. 1 Fn,則數(shù)列an是(A )4.已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1 =1 且 a nan 1 (n2 -2A.遞增數(shù)列B.遞

14、減數(shù)列C.擺動(dòng)數(shù)列D. 常數(shù)列補(bǔ)充練習(xí)：1. 下列說(shuō)法正確的是（C ）A. 數(shù)列1,3,5,7可以表示為1,3,5,7B. 數(shù)列1,0,_1,_2與數(shù)列_2,_1,0,1是相同的數(shù)列n +11C. 數(shù)列的第k項(xiàng)為1 -nkD. 數(shù)列0,2,4,6,8, 可記為2n2. 設(shè)數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333,的通項(xiàng)公式是（B ）12_1) B.(1 -)C. n(103109an中,a!=1, a2 二:3, an =an 1 13B.C.43.已知數(shù)列D.33 n_2A. 55A.丄(1091(n-1)D. (10 n _1)10_3）,則a5等于（A ）1_2),則34等于(D

15、)6.已知數(shù)列 an滿足an ,2二an1an,若at二1, a5 = 8 ,則a3等于(D )A. -1B.2C.1D.33 15 3n + 27. 數(shù)列，一，一, ,的一個(gè)通項(xiàng)公式是 .( an =)5 2 11 73n +28. 數(shù)列an滿足an =log 2(n2 +3) 2,則log 2 3是這個(gè)數(shù)列的第 項(xiàng).(3 )619. 數(shù)列an的前n項(xiàng)的積為n2 ,則這個(gè)數(shù)列的第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的和是.( 一 )1610. 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,且Sn = 2(an -1),則a2 =.( 4 )11. 數(shù)列an滿足a, =2,a2 =3, a.Wa. 1 -2an( n _ 1),寫

16、出數(shù)列的前6項(xiàng).(前 6 項(xiàng)依次為 2,3,5,9,17 ,33 )12.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a n = cn亠dn亠,且a23,a4=,求an禾口 a22n2*27(an-(n - N ), a10)4n1013.已知數(shù)列an滿足 a1 = 1 , an -ana1(n - 2),求an . n 、n T(an 二 n(n N )14.(1)已知數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn = 2 n2，3n,求 an .( a. = 4 n - 1 (n N*)1 (n =1)(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n2,求an.(an= n 1)2 ,3 一 (n > 2)15已知數(shù)列a.中，at =1,an.3 - a